Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 95
Текст из файла (страница 95)
(22) $ ь одно квлзплЕЕнелпов уРАвнвнив Аналогично предыдущему отсюда следует новая оценка: ~ —,е +А(х, Е) — ~(М$'(Е)+Дф+аД), (28) где константа М зависит, в частности, от числа линий разрыва решений и и й. Мы предполагаем, что каждое из решений и и й удовлетворяет условию устойчивости, т. е. и(х — О, Е)~)и(х+ О, Е), й(х — О, Е) ~й(х+ О, Е), Так же как и раньше, из этого следует, что в точках разрыва функции А(х, Е) выполнено неравенство А (х — О, Е) ь А (х + О, Е). Следовательно, через каждую точку трапеции (11) проходит хотя бы одна интегральная кривая уравнения (14), пересекаЕощая ось Е = О.
Интегрируя вдоль этой кривой неравенство (28) и применяя лемму 1 из п. 5 9 6 главы 1, получим и! ~ о (х, Е) ! =' о,е"' + [Дф+ аД[) ', (29) где оо= !пах! Фо(х) — Еро(х)!. !к!~а Учитывая, что х о (х, Е) = $ [и ($, Е) — й ($, Е)) йК, ч приходим к выводу, что неравенство (29) устанавливает непрерывную зависимость обобщенных решений квазилинейных уравнений от входных данных задачи Коши в потенциальной метрике. К .сожалению, однако, в оценку (29) входит константа М, зависящая от числа линий разрыва решений и, и.
В связи с этим заметим, что эта величина может быть оценена с помощью вариации функций и(х, Е), й(х, Е), а последние оцениваются из начальных условий. Для однородных законов сохранения, когда Е" = Е = О, оценка (29) упрощается: ~о(х Е) ~(оа+ДфЕ В частности, если рассматривать лишь зависимость решений задачи Коши одного квазилинейного уравнения от начальных данных, т. е.
полагать, что Дф = О, то эта оценка показывает, что построенные выше решения удовлетворяют принципу непрерывной зависимости (1.5.4), (1.5.5) из главы !. К вопросу о непрерывной зависимости обобщенных решений от начальных данных примыкает один способ построения раз- 554 ГЛ. (, ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ рывных решений, который мы назовем «методом потенциального сглаживания». Для простоты рассмотрим однородный закон сохранения 0 )О д( ' дх ' фаа (30) и (х, 0) =ио(х); (32) при этом ио(х) = — и (х) при (х~)~6 и ио (х) монотонна при ~ х ((6. Рис. 427, Поэтому мы рассмотрим лишь второй случай, когда и — ) и+.
В этом случае решение и(х, () при достаточно малом Т имеет в полосе 0 ( с ( Т единственную линию разрыва 02', выходящую из точки (0,0) начальной оси (рис. 4,27). На рис. 4.27 изо- бражены линия разрыва 0,21' и характеристики решения и(х,с). Будем решать вместо задачи (30), (31) задачу (30), (32), предполагая, что и'(х) — = и,(х) при ~х~ ~6, функция и'(х) монотонна при (х~(6 и обладает константой Липшица на от- резке ~х~( 6, не превосходящей величины М(6, и, наконец, что ~ (ио (х) — и' (х)1 с(х = О. (ЗЗ) Введем потенциалы решений и и ио с помощью соотношений (», С) Ф(х, ()= ~ ссссх — ф(и, х, с)с(х, (-а, о) (» и (1)о(х, 0= $ ио((х — ф(ио, х, () Й. (-а, о) для которого поставлено начальное условие и(х, О)=ио(х).
(31) Будем считать, что функция ф удовлетворяет предыдущим требованиям, а ио(х) задана на отрезке (х~ ( а, имеет единственную точку разрыва первого рода х = О, а во всех остальных точках отрезка обладает ограниченной константой Липшица. Обозначим и — = ио( — 0), и+ = ио(+0). Как мы видели выше, если и- и+, то решение задачи (30), (31) непрерывно при ( > 0 в некоторой окрестности 0 < с < Т начальной оси. В част.
ности, оно может быть получено как предел классических решений ио(х, () при 6-»0, где ио (х, () есть решение уравнения (30) с начальным усло- вием 4 а одно квхзили!!егпюе УРАВне!!ие Тогда из соотношения (33) следует, что Ф(х, 0)— = Фб(х, 0) при ~х~' ьб. (34) При сделанных ограничениях на функцию иб(х) существует решение иб(х, 1) в широком смысле задачи (30), (32), которое непрерывно и может быть построено классическим методом характеристик при 0(Е(1!, где 1! -116.
Обозначим через х= Х! и х=Х! уравнения характеристик этой задачи, выходящих б соответственно из точек х = — 6 и х = 6 начальной оси (рнс. 4.28). Очевидно, что ввиду условия (34) и(х, 1)=иб(х, 1), Ф(х, Е)= — Фб(х, 1) при (х — Х! (1)1(х — Х! (1)1 ) 0 и 0(1(1!, т. е. и(х, 1), Ф(х, 1) совпадают соответственно с иб(х, 1), Фб(х, !) вне криволинейной трапеции, образо- -Ю х ванной прямыми 1=0, Е=Еб! и отрез-б б Рис 4.28. ками характеристик х = Х!, х = Х!. Пусть при Е=Е! решение иб(х, 1) имеет особенность (неограниченность константы Липшица либо разрыв первого рода) иа отрезке (Х~ (1!), Х!(Е!)1 прямой 1=1!.
Очевидно, что Х! (1!) — Х! (1!) ( 26, Выберем отрезок прямой 1=1! длиной 26, внутри которого целиком лежит отрезок ( Х! (Е!), Х! (1!)1, и снова сгладим функцию иб(х, 1!) на этом отрезке, т. е. введем функцию иб(х, Е!)! б которая удовлетворяет тем же требованиям, что и иб(х), именно: иб!(х, 1б) = — и (х, 1б) вне отрезка сглаживания и ь, ~ ( иб (х, 1б) — и' (х, Еб!)) !Ех = О, и где (аи 6!) — отрезок сглаживания. По-прежнему потребуем, чтобы функция и'(х, Еб) обладала константой Липшица, ограниченной величиной М16, и была монотонной на отрезке сглаживания (а„б!1, Будем искать решение иб(х, 1) при Еб(1(1з считая, что иб(х, 1) удовлетворяет уравнению (30) и начальному условию иб(х, Еб!) =иб(х, 1б). 566 Гл.
«ОБОБщенные Решения КБАзилинеиных уРАВненин Для построения и,(х, 1) в полосе 1«1<1<1~ снова применим классический метод характеристик, Снова обнаруживаем, что вне трапеции, образованной прямыми 1=1н ! = 1, и отрезками б б характеристик х = Х, (1), х = Хз (1), выходящими из концов отрезка сглаживания, решения и(х, 1) и иб(х, 1) и потенциалы Ф (х, 1) и Фб (х, 1) совпадают.
Продолжая этот процесс, мы сможем последовательно с помощью сглаживания и решения классическим методом характеристик задач Коши достичь прямой 1= Т, т. е. исчерпать интересующую нас область. При этом нам придется решать задачу Коши с гладкими начальными условиями порядка Т)б раз. В результате этого процесса мы получим решение иб (х, 1), которое непрерывно всюду, кроме отрезков сглаживания на прямых 1=1б. Отрезки характеристик, выходящих из концов отрезков сглаживания, образуют «поясок», внутри которого заключены особенности и разрывы функции иб(х,1). При уменьшении величины б этот «поясок» будет стягиваться к линии разрыва 02'. Так как потенциалы Ф(х,1) и Фб(х,1) совпадают вне «пояска», а решения и(х, 1) и иб(х, 1) предполагаются ограниченными, то ~ Ф (х, 1) — Фь (х, 1) ~ < 2Мб.
Отсюда следует сходимость «метода потенциального сглаживания» при 6-»0 в потенциальной метрике. Ясно, однако, что вне «пояска» решения и(х,1) и иб(х,1) совпадают. Изложенный метод позволяет приближенно строить разрывные решения квазнлинейных уравнений, аппроксимируя их непрерывными решениями.
Однако наибольший интерес представляет применение этого метода к случаю системы квазилинейных уравнений. К сожалению, на этом пути пока еще не получены окончательные результаты. б. Асимптотическое поведение обобщенных решений при г- ао. Пусть и(х,1) — обобщенное решение однородного закона сохранения (() коэффициенты которого не зависят от независимых переменных х, 1. Пусть далее, ( и при х<0, и (х, 0) = иб(х) = ~ + (2) а в промежутке (О,Ь) иь(х) принимает произвольные ограниченные значения, Функцию иб(к) будем считать кусочно-непрерывной. Итак, (иб(х)!(М, |и(х, 1)!(М.
5 Е ОДНО КВАЗИЛИНЕЙР!ОЕ УРАВНЕНИЕ 56Т Обозначим 3= гпах /ф„'(и)), А= шах р'„'„(и), !Р3<М ! !м. а = пн)п ф„"„(и), О < а < А !о!Мм (4) ~ ио($) йв = Фо(х). о Решению и(х, т) поставим в соответствие потенциал !к о Ф(х, 1) = ~ и г(х — ф(и) г(г, Ф(х, 0) = Фо(х).
(6) !о, и Ввиду условий (2), (3) имеем: Фо(х)=и х при х~(0, Фо (х) = Фо (Ь) + (х — Ь) и+ при х «) Ь, ! Фо (х) ) < Мх. ио (Хо) = й ф„' (и ) ! — х = Ь, Ь4ы изучим поведение решения и(х, Т) при Т-~ оо, Если бы начальные данные (1) были заданы лишь при х < 0 (ио(х) = и-), то, очевидно, решение задачи Коши (1), (2) могло бы быть определено лишь при х -ф„'(и-)1 -lотт — ! и совпадало бы там тождествен. ! ',О но с и-.
Оценим ширину обла- "; " эо сти слева от прямой х = ф„'(и-)1, в 'Ф которой решение и(х,1) задачи (!), (2) не совпадает с и-, т. е. и(х, Т) Ф Ф и-; при этом и(х, Т) 7ь и- за счет характеристик, выходящих из отрез- Рис. 4.2ц ка,'О, Ь). Очевидно, что никакая характеристика х = Х(Т, хо, и,(хо) ) при 0 ~ хо < Ь не может лежать слева от прямой х = — Ег' ввиду ограниченности начальной функции ио(х); однако такая оценка области влияния отрезка [О, Ь) является слишком грубой.
Пусть и (х, () ~ и-, ф„(и ) ! < 0 и в точку (х, !) приходит характеристика, выходящая из точки хо отрезка 0 < х, ( Ь, и и(х,1) = ио(хо) (рис. 4,29). Для простоты обозначим ева Гл. с ововшенные Решения кВАзилинейных РРАвнении Имеем равенства *) Ь=ф„'(и-)1 — х, (8) х — х, = ф„' (й) 1 или Ь = 1 [Ф„' (и-) — Ф„'(йЦ вЂ” х,. (9) По формуле (2.3.46) вычислим Ф(1, хо): Ф(1, хо)=Ф (х,)+ 1[йф„'(й) — Ф(йЦ. (10) С помощью формулы (9) исключим из (10) величину 1йф„'(й): 1йф„' (й) = й1Ф„'(и ) — йх, — йй, (11) Ф (1,хо) = Фо(хо) — йхо йл + 1 [йф„(и-) — Ф (йЦ. (12) С другой стороны, в эту же точку (х, 1) при х — ф„'(и-)1< 0 приходит характеристика х = Х (1, х,, и-) при значении х- < 0 (рис. 4.29). Эта характеристика переносит в точку (х, 1) значение и = и- и значение потенциала Ф (1, х ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
