Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 97
Текст из файла (страница 97)
(5) Первый вопрос, который сразу же возникает, — это вопрос о существовании решения и„и его свойствах. Изучение этого вопроса вывело бы нас далеко за рамки излагаемого предмета, посвященного в основном системам квази- линейных уравнений гиперболического типа и уравнениям газовой динамики. Поэтому„отсылая читателя по этому поводу к специальным исследованиям (см., например, Т. Д. Вентцель [(957], О. А.
Ладыженская [(956], О. А. Олейник [!955]), мы будем предполагать известным следующее: !. Ограниченное решение и„(х, !) существует при любом !)О и единственно. 2. Для любой начальной функции и,(х), удовлетворяющей условиям (2), (5), производные и„существуют и остаются ограниченными для всех ! =» О.
В частности, при ! ) 0 существуют непрерывные производные, входящие в уравнение (3). див 3. Решение и и его производная р„= — удовлетворяют принципу максимума, который формулируется в виде неравенств ]~„]((М, (6) (7) справедливых при любых х, ! ) О.
Проиллюстрируем принцип максимума (6) следующими наглядными рассуждениями. Пусть функция и„(х, !1), рассматриваемая как функция переменного х на прямой ! = (и имеет в точке х = х~ относительный максимум (мииимум). Тогда в этой точке выполнены соотношения — (хь1~)=0, —,(хн г~)(0 ()0). 57б ГЛ. !. ОВОВЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗНЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИЙ Согласно уравнению (3) заключаем: ди„(хь с,) Г дтии т дии 1 д! (.)а дт, — Ф'„(ии) д ) ~(0 (~)0). к х, с-с, Это неравенство показывает, что каждый относительный мак- симум по переменному к функции и (х, !) не возрастает с рос- том времени б Отсюда, однако, еще не вытекает неравенство (6), так как функция н„может не принимать свое максималь- ное (минимальное) значение ни в какой конечной точке.
Более детальное доказательство принципа максимума учи- тывает, что начальная функция ио(х) ограничена. Что касается принципа максимума для производной р„, то обратим внимание, что неравенство (7) ограничивает производ- ную ри лишь с одной стороны, именно сверху. Это связано с тем, что уравнение„ получаемое дифференцированием (3): позволяет лишь утверждать, что относительный максимум р„(х, !) не возрастает с ростом времени б Что касается минимумов р„, то они могут и убывать. 4. При всех )т ) 0 и произвольных х, ! ) 0 имеем ! В!-' где С вЂ” некоторая положительная величина, не зависящая от р. Докажем *) неравенство (8). Обозначая дии г= р —,— Ф(ии)* (9) ди!„дг запишем уравнение (3) в виде — = †. Дифференцируя уравнения (9) по переменному ), найдем дх д т' дии 'т дии дии дх дх , дх дзх Подставляя сюда — = —, получим — +ф'(и ) — =)а —.
д! дх' д! и и дх дх* ' Таким образом, функция г удовлетворяет нелинейному уравнению теплопроводности. Следовательно, из принципа максимума получаем ) г (х, 7) ) ( !пах! г (х, О) ). к ') Это доказательство было сообщено нам студентом МГУ В. Г. Сущ ко а !964 г. Вта ГЛ, < ОВОВШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ Ввиду неравенств (6), (8) заключаем, что [ Фи (х 1) ! < М [ х [ + [С + ф) ! (! 4) Так как правая часть (11) не зависит от р, то отсюда следует, что для любой конечной области У полуплоскости 1=»0 р ~ ~~ ) Ых<11:.Р, где константа Р зависит только от области У.
Применим неравенство Буняковского ~ ~ ! ип1й а<х (,~ /~ ~ ии <(< <(х ~ ~ ох Ж <(х, т дии в котором положим и=!< —, В =1. Тогда получим дх Р[!< г <й и<,~ х У[!(д,") ЙЫ*и1<~ -~х Р, 02< где Яу — площадь области У, Неравенство (!2) показывает, что дии — ~Ж«х стремится к нулю при !А — ~0, как т/р. Теперь мы наметим путь доказательства сходимости в сред- нем при р- 0 решений и„(х,1) к решению и(х, <) задачи Коши (1), (2). Введем потенциал Ф„(х, !).
Согласно уравнению (3) контурный интеграл <х, и дии Ф„(, <) = 1 и г<х+ ~[!А „ф(и„)т г<г <о, о> не зависит от пути интегрирования и определяет непрерывную н дифференцируемую функцию, производные которой удовле- творяют равенствам дФи дФР дии — =и, — = р — — ф(и„). дх и' д< дх Исключая из этих равенств величину и„, получим д< ~дх! дх< (13) Потенциал Ф„принимает следующие начальные значения: х Ф„(х, О) = Фи (х) = ~ и, (0) <(0. о $ Е ОДНО КВАЗИЛИНЕПНОЕ УРАВНЕНИЕ где ) ф(и) ~ ( ~р при ~ и) ( М и семейство функций Ф„(х, 1) ограыичено при всех р) О в любой точке (х,г). Наконец, мы запишем очевидные неравенства: ~ —,„"~«М, ~ — „" ~<С+~.
Докажем равномерную сходимость в любой конечной части полуплоскости 1) О потенциала Ф„(х,1) при р- О. Для этого продифференцируем уравнение (13) по переменному р. ОбознадФР чая Ф = —, получим ди а согласно начальному условию Ф„(х, О) — = О. Считая функцию и„заданной, мы видим, что величина Ф„' удовлетворяет линейному уравнению теплопроводности (15) и нулевому начальному условию. Согласно неравенству (!4) Ф (х,1) Р растет не быстрее линейной функции при х-ь ~со, поэтому ФР удовлетворяет принципу максимума для уравнения (15): ди„($, т) Ф„(х, Г) (1гпах им ди11 Так как согласно (7) — (~К, то Ф„(х, 1) Кг.
Поэтому для функции Чг„= Ԅ— 2К1р выполнено неравенство дЧ'Р— ( — К1, ди так что последовательность функций Ч' (х,г) монотонно убывает при р- О, следовательно, в силу равномерной ограниченности ее снизу, равномерно по х, 1 сходится. Поэтому существует предел Ф(х, 1) =!НпФ„(х, г). я+О Выясним некоторые простейшие свойства потенциала Ф(х, г), де>Р Так как ~ и„~ КМ и — = и„, то (Ф(х+ 22х, 1) — Ф(х, 1) ~ (М1йх!.
ЕЗО ГЛ. К ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Аналогично (Ф(х, (+ Ьг) — Ф(х, ()1((с+41 Ь(1. Таким образом, потенциал Ф(х,() — липшиц-непрерывная функция своих переменных, которая принимает начальные значения х Ф(х,о)=ФВ(х)=$ .(ц) 1Ч о и, как всякая липшиц-непрерывная функция, почти всюду обла- дФ дФ дает производными —, —. Покажем, что почти всюду эти дх' д! производные удовлетворяют уравнению (16) а последовательность и„стремится прн )х — ~0 к и(х, 1) почти всюду, где дФ(х, !) дх Для этого заметим, что из равномерной ограниченности и„(6) и односторонней ограниченности производной р„ (7) следует ограниченность вариации функций и„ на любом конечном отрезке прямых г' = сопз1.
Пользуясь этим обстоятельством, можно показать, что почти всюду дФР дФ дФР /дФ ) — -Ф Ф дх дх ' д! ~дхх при )х- О, так что потенциал Ф(х, г) почти всюду удовлетворяет уравнению (16). Таким образом, потенциал Ф(х,() липшиц-непрерывен, почти всюду удовлетворяет уравнению (!6) и принимает нужные зна- дФ чения при 1= О.
Поэтому функция и = — определена почти дх всюду, ограничена и измерима, удовлетворяет ввиду следствия из (7): Ф(х+ Ьх, !) — 2Ф(х, !) + Ф(х — Ьх, !) Ьх~ <К, условию устойчивости и является тем самым обобщенным решением задачи Коши (1), (2). Отметим еще, что с помощью метода вязкости может быть рассмотрена задача Коши также и в случае произвольной, ограниченной, измеримой начальной функции иВ(х) (см. О. А, Олейник [1967]). $ а одно кВАзилинеиное уРАВнение 58! Пусть в точке х!, !! ) 0 решение и(х, !) разрывно, и(х! — О, !!) = = и-, и(х! + О, !!) = и Р и разрыв перемещается в плоскости х, ! вдоль кривой х = х(!), при этом х'(г!) = О. Естественно считать, что в малой окрестности точки х!, !! решение и(х, !) представляется приближенно в виде и(х, !) = = й(х — В!), где й(х) = и- при х(0 и й(х) = и+ при х) О.
Будем считать, что решение и (х, !) в малой окрестности точки хь 1! также представляет собой бегущую волну, т. е. и„(х, !) = Гх — гЗгч =йи ( );при этом йи(х)- и — при хз- — си, йи(х)-э и+ при х-и ио (при этом мы считаем, что параметр р достаточно мал). Итак, будем искать стационарное решение и„(х, !) уравнения (17) в виде и„(х, !) =йи ( ). х — !з! Обозначая е = х, получим из (17) обыкновенное диффеи ренциальное уравнение для йи($): при этом из (18) следуют краевые условия для уравнения (19): 1' и при е — и — ии, (20) Интегрируя уравнение (19) от точки $ = — аи до й и считая, дйи что — -иО при е-и~ ои, получим ди В(й„) — „=ф(й„) — ф(и ) — 0(йи — и )=-В(йи) (2!) дии Для того, чтобы — — О при йи-ив+, необходимо также, да чтобы Р(и'!)=О, т.
е. И ч (и+ (22) и+ — и (19) Покажем еще одно из применений метода вязкости. Следуя И. М. Гельфанду, получим условия устойчивости обобщенного решения одного квазилинейного уравнения с невыпуклой функцией ф(и) (см. также 5 1). Пусть кусочно-непрерывное решение и(х, !) является пределом решений и (х,1) уравнения с вязкостью дии дф (ии! д / дии ~ — + = р — ~В (и„) †), В (ии) > О, р > О. (17) ззй ГЛ. 4. ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИИ В(й„) — (и„— и ) = 2 (й„— и ) Г (й„).
~ц и Теперь очевидно, что для существования йи($) необходимо также, чтобы правая часть (23) была неотрицательна, т. е. 2(й„— и )Р(йи)~)0. (23) В самом деле, так как В(й ) ) О, то иэ существования йи($) вытекает, что величина (и„— й)' не убывает с ростом переменного й, так как в противном случае на интервале (и-, и+) функция Р(и) меняет свой знак. Аналогично легко получить, что величина (и„ вЂ” и+)' не возрастает с ростом $, поэтому 2(й„ вЂ” и+)Г(йи) ~ О. Деля каждое из последних двух неравенств на положительные величины 2(й„— и )', 2(йи — и+)х, придадим им следующий вид: ф (йи) — ф (и ) ф (и+) — ф (и ) ф (йи) — ф (и+) ии и при этом, очевидно, й„— любое число из интервала (и-, и+). Итак, мы приходим к заключению, что разрывное решение и(х, г) может рассматриваться как предел решений и„(х, г) при р- 0 лишь в том случае, если на линии разрыва х=х(!) в каждой ее точке выполнено условие (24). Легко заметить, что полученное здесь условие (24) совпадает с условием устойчивости, полученным нами ранее в $ ! из совершенно других соображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
