Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Таким образом, для того чтобы иметь возможность последовательно, шаг за ша- х гом, применять изложенный выше метод р 4 е4 явного выделения особенностей, необходимо еще рассмотреть случай, когда начальная функция ио(х) имеет в точке х= 0 неограниченную производную, а сама остается непрерывной (рис. 4.24).
При этом достаточно рассмотреть лишь случай, когда в окрестности точки х = 0 (х) < 0 (26) зэк ГЛ *!. ОБОБШЕННЫЕ РЕ!БЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ огибающу>о семейства характеристик х = Х(1, хн ив(хБ) ), хБ(0, т. е, характеристик, выходящих слева от точки О; под линией О — огибающую семейства характеристик х = Х(1, хм и«(х,) ) КБ) О. В этом случае линии ОА и ОВ касаются одна другой прн 1= 0, решения и-(х,1) и и+(х,1) имеют неограниченные производные соответственно на линиях ОА и ОВ, в остальном картина вполне схожа с рассмотренной выше. Так, поле направлений для дифференциального уравнения (22) имеет вид, изображенный на рис.
4.22, а единственность линии разрыва 00 в условиях неограниченности производных функции А(х, 1) следует из касания линий ОА и ОВ при 1 = О, Таким образом, применяя метод явного интегрирования условия Гюгонио, мы сможем определить решение и(к,1) задачи Коши (1), (2) в любой интересующей нас области, в которой число линий разрыва остается ограниченным, что чаще всего и бывает в практических задачах.
Отметим еще, что в случае, когда )(и, »,1) = О, после введения потенциала обобщенного решения Ф(х,1), мы можем записать; дх и Х~ = д» д! ' Р( (' ' ' д! ') (29) где Ф (х, 1), Ф+(х, 1) однозначно определяются в области АОВ из «уравнений полоски». Поэтому условие Гюгонио принимает вид д ~Ф+(х, 1) — Ф (х, 1Ц!(1+ — ~Ф+(х, 1) — Ф-(х, 1Ц1(х=О, (30) откуда следует, что линия разрыва ОВБ х=х(1) есть линия, где Ф+(х, 1) =Ф-(х, !).
(31) Равенство (3!) показывает, что в случае кусочно-гладких решений и(»,1) метод явного выделения линий разрыва эквива. лентен для однородных законов сохранения изложенному в п. 3 аналитическому методу нахождения решения. Задачу Коши (1), (2) можно в некотором смысле свести к задаче для однородного закона сохранения, пользуясь метов> дом последовательных приближений, Положим и(х, 1)=п»(х). !» — 1> и> Считая известным приближение и (х, 1) определим и(х, 1) как $ а одно кВАзилинсйное ЕРАВнение решение задачи Коши аи а <') <*-') кн — "+ — „ф(и, х, ))=(( и (х, <), х, ~), (н и(х, 0)=и,(х). (32) (33) Вводя функцию (о (~-О Р(х, 0= 1)( и ($, 1), $, 1) Ц, о (34) запишем уравнение (32) в виде <)и д (и (и (о ! + ~ (ф(и, х, () — Р(х, 1)]=0.
(35) Для уравнения (35) применима теория построения разрывных решений, развитая в п. 3, однако мы должны учесть несколько деталей, Характеристическая система для уравнения (35) записывается в виде их <) <) !((( <~) () <и ко (8 !) (н (я) — =ф„'(У, Х, <), д, = — ф„(У, Х, !)+7( и (Х, ~), Х, !), (36) (37) (г) где Ф(1, х()) определяется квадратурой (~> с с (н, и) и) (о <8) (!) (г) ф(~,,)=Ф,7,)+ ~[иф„'(и, Х, ) — ф(и, Х, )+Р(Х, )1 ( о (38) <м <и (в формуле (38) У= У(т, хо ие(хе))) (г) Последовательность Ф (х, 1) равномерно сходится в любой ограниченной области переменных х, й Поэтому, переходя к пределу в (37), получаем потенциал Ф(х, ~) обобщенного решег ния задачи Коши (1), (2) (8-о при этом функция 7( и (х, <), х, 1) является разрывной функцией переменных х, 1.
В точках разрыва ) мы ставим условие ел (н непрерывности величин Х, ()'. Аналогично предыдущему решение задачи (35) с начальным условием (33) дается формулой (5) Ф(х, ~)= пи)пФ(~, хо) бба Гл. !. Ововшеиныв Ре!Пения КВАзилииеиных уРАВ!!енин 5. Единственность обобщенного решения при условии гр„"„> О. Убедимся теперь, что обобщенное решение задачи Коши — + 'Р("' ' =1'(и, х, 1) (гр„"„> 0), (1) и(х, 0) =и (х), (2) удовлетворяющее условию устойчивости и (х — О, 1) '=» и (х + О, 1), (3) единственно.
Мы докажем эту теорему в классе кусочно. непрерывных и кусочно-дифференцируемых ре!пений. Предположим, что существуют два ограниченных кусочно- непрерывных и кусочно-дифференцируемых при 1> 0") решения задачи (1), (2) и(х,1) и й(х,1), каждое из которых удовлетворяет всюду вне линий разрыва уравнению (1), а на линиях разрыва — условию устойчивости (3). Пусть Ф(х,1) и Ф(х,у) — потенциалы, отвечающие этим двум решениям.
Эти функции непрерывны и всюду, кроме линий разрыва решений и, й, удовлетворяют уравнению (4) а а при 1= Π— начальному условию к Ф(х, 0)=Фо(х)= ~ и,($) с(5. а л! +А(х, !) ~ = ~ В(ь, 1) ~~' !!в= о — о ($, 1) с($+ В(х, 1) о (х, 1) — В(0, 1) о (О, 1) + (' ав(й, О о +'5 о(х!(1), 1)(В(х!(1)+О, 1) — В(хс(1) — О, 1)]. ! (6) ') Мы рассматриваем решения, которые также могут иметь особенности Г х — хе типа К ~ ! , !1 и не являются непрерывными при != О. Разность о=Ф вЂ” Ф удовлетворяет всюду, кроме линий раз- рыва и и й, уравнению $ а одно квхзилинеяное КРлвнение Е59 Суммирование в х=х)(1) решений (6) производится по всем и(х, 1), й(х, () таким, что 0 ф(и х, О, х, 0 — ф й (х, 2), х, 0 линиям разрыва < х~ (1) < х, а А(х, () = при и~й, (7) при и=й, и(х, )) — й(х, 0 ф„(и (х, 1), х, 1) 1(и (х, О, х, 0 — ((й(х, 2), х, )) В (х, () = при иФй, (8) при и=й и(х, 0 — и(х, )) )„'(и (х, (), х, () о(х, 0) = — О.
(9) Пусть !и(х, ()) < Мо, (й(х, ()! < Мо )ф'„(и, х, 1))<М, при (и((Мо. У Докажем, что при произвольном а ) 0 в трапеции х+ а > МА х — а (~ — М~(, О <( < Т (10) функция о(х, 1) =О. (12) а максимум в формуле (12) берется по пересечению трапеции (11) с полосой 0 < т ( б Итак, в трапеции (11) функция о(х, () удовлетворяет ус- ловию ~ — + А (х, () — ~ < М, Р' (1), (13) а при 1=0 — условию (9). Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение — „" =А(х, 1), (14) в котором правая часть разрывна на линиях х = х2(1).
Интегральной кривой уравнения (14) будем называть непрерывную кривую х = х(1), которая удовлетворяет уравнению (14) во рсех точках непрерывности А (х,)). При сделанных предположениях относительно и и й и тре- бованиях и. 4 на функции ф, 1 функция В(х, 1) имеет, очевидно, ограниченную вариацию по переменному х, а число линий раз- рыва х = х;(() функций и, й (они же являются линиями раз- рыва величин А(х, 1), В(х, 1)) конечно в рассматриваемой тра- пеции (11).
Поэтому правая часть уравнения (6) оценивается величиной Мой((), где Р(1) =Рвах(о(й т)!, ББО ГЛ. С ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЛНЫХ УРАВНЕНИИ Предположим, что через каждую точку трапеции (11) проходит интегральная кривая уравнения (14), пересекающая ось 1 = 0 на основании трапеции — а ( х ( а. Тогда, интегрируя неравенство (13) вдоль интегральной кривой, проходящей через точку (х,1), получим, с учетом условия (9), !0(х, 1)!(1М2) (т)йт.
о Отсюда следует, что х Рис. 4М. Р (4) ~~ Мг ~ " (т) 44т 0 и, на основании леммы 1 из п. 5 $6 главы 1, что о(х, 1) О. (17) Так как и — й = ', то из (17) вытекает доказательство до (х, 4) дх сформулированной нами теоремы. Итак, доказательство теоремы сводится к доказательству следующего факта: Через любую точку (х,1) трапеции (1!) проходит интегральная кривая уравнения (14), пересекающая ось 1= О.
Покажем, что если и и и удовлетворяют условию устойчивости (3), то это действительно так. Для этого заметим, что через точку ($,т), если она является точкой непрерывности А (х, (), проходит интег1ьт ральная кривая уравнения (14), опредс. ленная при 1 ~ т. Если эта интегральная кривая при 1 ( т не пересекает линии разрыва х = х4(1), то она пересечет ось 1 = 0 на отрезке — а =' х ( а, так как ~А(х,1) ) ( Мь Поэтому, если через любую точку Я, т), лежащую на линии разрыва х = = х;(1), проходит интегральная кривая уравнения (14), определенная при 1 ( т, то через любую точку трапеции (11) проходит интегральная кривая, пересекающая ось 1= 0, Рассмотрим случай, когда точка ($, т) лежит на линии разрыва функции А(х, ~) х = х;(1) (рис. 4.25).
Согласно нашим предположениям, в точке (с, т) существуют левое и правое предельные значения А ($ — О, т), А ($ + О, т) . Если Аф — О, т))А(с+О, с), (18) то через точку Я,т) обязательно проходит интегральная кривая уравнения (14), определенная при 1 ( т. з з одно квхзилннеиное уехвпеннв В самом деле, если обозначить В,.=х',О), то в этом случае выполнено одно из двух неравенств: а) А (е — О, т) > О,, б) А ф + О, т) ( Оь (19) На рис. 4.25 изображены направления интегральных кривых уравнения (14) в случаях а) и б). Как видно из рис, 4.25, в любом из этих случаев через точку Я,т) проходит интегральная кривая, определенная при 1 ( т.
Итак, доказательство теоремы сведено нами к установлению неравенства (18). Поскольку ($,т) — точка разрыва А(х,1), то в этой точке разрывна либо и(х,1), либо й(х,1), либо они разрывны одновременно. Поэтому будем считать, что иф — О, т) >и(й+О, т), й($ — О, т)~й($+О, т). (20) Изобразим на рис, 4.26 график функции ~р(и, В, т) при фиксированных $„т. Так как <р'„'„> О, то эта кривая выпукла вниз, Согласно формуле (7) величина А($ — О,т) равна наклону хорды, соединяющей точки А, В, а А(5+0, т) — наклону хорды А+В+. Из условия (20), вытекает, что каждыи конец интервала [й(Š— О, т), и($ — О, т) ) лежит правее соответствующих концов интервала [й($+ О, т), и($+ О, т) ~. Для выпуклых кривых [~р„"„> 0) отсюда следует, что наклон хорды Л В больше ва- клона хорды А+В~. Это же об- и а стоятельство следует из рис.
4.2Г>. Я Итак, в каждой точке разрыва функции А (х, 1) выполнено условие (18). Значит, через каждую точку трапеции (11) проходит хотя бы одна интегральная кривая уравнения (14), пересекающая ось 1= О. Значит, в эточ трапеции имеет место условие (17) и и(х, 1) = и(х, Г). Рассмотрим вопрос о непрерывной зависимости обобщенных решений от входных данных. Пусть и(х, ~) и й(х,1) — кусочно-гладкие устойчивые обоб- щенные решения квазилинейных уравнений, определенные условиями — + '„' =1(и, х, 1), и(х, 0)=из(х), <р'„'„> О, (21) д + — ~ — д„— '=[(й, Х, г), й(х, 0) =йз(х), ф'„'„> О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
