Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Условия, при которых это имеет место, носят сравнительно сложный характер, и мы не будем их приводить. Если Х(г, хо, ио), (г(г, хо, ио) ограничены, то они имеют непрерывные первые производные по всем своим переменным. Это следует из непрерывной дифференцируемости правых частей характеристической системы (3) . Наконец, мы предположим еще, что Х(1, ха ио) — >=Е со при хо -~ ~ оо. (у) Вторая задача, которую мы рассмотрим для характеристической системы (3), есть краевая задача со следующими условиями. Требуется найти решение х(Г) = Х(1, т, $, хо), и(!) = = 0(й т, а, хо) характеристической системы (3), удовлетворяющее следующим краевым условиям: х(0)=Х(0, т, $, ха)= — хо, х(т)=Х(т, т, $, хо)— = $, (8) где хо, й — произвольные числа, а т ) О.
Будем по-прежнему предполагать, что эта задача имеет единственное ограниченное решение при произвольных ха, $, т ~ О, не выписывая сложных достаточных условий, при которых это имеет место. Однако если это предположено, то функции Х, (7 непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам. а а. ОПНО КВАЗИЛИНВИНОЕ УРАВНЕНИЕ и Х (Г, хм из) = ха + иаГ, й(1, хо, но) =им (12) Х(г, т, $, х,) =х, + '," Г, й (~, т, $, х,) =:,"'. (1З) Из формул (13) легко можем заметить, что решение и(х, 1) задачи Коши (2.2.1), (2.2.2), заданное формулами (2.2.48), может быть также записано в виде и(х — О, г) =й(Г, Г, х, $ (х, Г)), 1 (14) и (х + О, Г) =ТI (1, Г, х, $+ (х, а) ), 3 где величины $-(х, 1) и $+(х,() определены (см.
п. 2) как точные нижняя и верхняя грани множества значений $, на котором функция )а(Г, х, $)=Фо($)+ зг = ~«о(Ч)пЧ+ о принимает минимальное значение при фиксированных х, Г. За- метив, что для уравнения Э. Хопфа ~ (1, х, $) = А (Г, х, $) — — ', = ~ (иа (а1) — й (О, Г, х, а1)] Й1 = о =~ ~из(Ч)+ — "," ~г(1, а (15) можем утверждать, что в атом частном случае величины $-(х, 1) и $+(х, 1) могут быть определены также как точная нижняя и точная верхняя грани множества значений $, на котором функция У(1, х, $) = ~(и (а1) — й(0, г, х, а1)]г(а) (16) о Перечислим следующие очевидные соотношения: Х(0, т, $, х,) = — хм Х(т, т, $, х,) = — $, (9) Х(Г, х„й(0, т, $, х,)) = — Х(г, т, $, х ), (10) (.г(г, х, й(О,, $, х)) = — й(г, г, $, х).
(11) Для уравнения Э. Хопфа, рассмотренного в предыдущем пункте, ца ар(и, х, г) =— 2 540 ГЛ. !. ОБОБЩЕННЫЕ РЕ!БЕНИЯ КВЛЗНЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИЯ принимает наименьшее значение при фиксированных значениях переменных х, () О. Как показала О. А. Олейник, формулы (14) дают решение задачи Коши (1), (2) при требованиях, которые мы наложили выше на функцию ф(и, х, (), если под $-(х,() и $л(х,() понимать теперь точную верхнюю и точную нижнюю грани множества значений $, на котором (((, х, $) принимает наименьшее значение.
Из требований, наложенных на ф(и,х,(), вытекает, что й(0, (, х, 9- ~ со при 5 — + ~ со, (17) а так как мы предполагаем начальную функцию ил(х) ограниченной, то (((, х, $) -+ + со при 1$~- оо. (18) Значит, непрерывная функция ((й х, $) при фиксированных значениях х, () 0 принимает наименьшее значение ( 1„(х,() на некотором ограниченном множестве л!(х, () значений переменного $.
Точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества обозначим соответственно $-(х, (), в+(х, (). Величины $-(х, (), $л(х, () удовлетворяют соотношениям (2.2.24), (2.2.25) и (2.2.26). Доказательство проводится аналогично п. 2 и здесь опускается. Обобщенное решение и(х, () задачи Коши (1), (2), определенное формулами (14), удовлетворяет неравенству (2.2.47) . Введем в рассмотрение функцию $ У((, х, $)=~и,(л))1(11+ ~фр„'(й, Х, ) — ф(й, Х, т)~1(т, (19) о о где для краткости опущены аргументы у функций 17 = = (7(т, (, х, в), Х = Х(т, (, х, $).
Продифференцируем подынтегральное выражение во втором члене формулы (19) по переменному $. Мы получим (йф'„(й, Х, ) — ф(й, Х, )~'=й'ф„'(й, Х, )+й(ф'„(О, Х, )'),'— — ф'„(й, Х, )й,'— ф'„(й, Х, )Х;= =й~ф'„(О, Х, тЦ' — фР(О, Х, г)Х', (20) Но й(, Х вЂ” решение характеристической системы (3), поэтому !р'„(й, Х, т)=Х',, — !р'(О, Х, т)=~',. (21) Подставляя формулы (21) в (20), получим (йф„' — ф)' = йХ; + й,'Х, = — ~й(т, (, х, $) Х'(т, (, х, $Ц. $ Х ОДНО КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ Подставляя это выражение в формулу (19), найдем с А У (1, х, В) = ~ ие (Ч) (Ч + ~ ~ + [О (т 1.
х, Ч) Х', (т, 1, х Ч)1 с(т 1Ч+ о о о с + ~ [(1вфи ((1сс' Хм т) ф((1м Хм т)1 с(т (22) о где О,=О(т,1, х, 0), Х,=Х(т,1. х, 0). Рассмотрим второй член в формуле (22): с е 1 1 ~ [О(т 1. х, ч)хс(т, 1, х, ч)1жс(ч= о о = ~(О(1, 1, х. ч) х'„(1,1, х, ч) — О(о, 1, х, ч)х'„(о,'1,, ч))с(ч, сс Но согласно формулам (8) Хч(0, 1, х, Ч) = — 1, Хч(1, 1, х, Ч)=0. Поэтому У (1, х, $) = ~ (и, (Ч) — О(0, 1, х, Ч)) с(Ч + г (х, 1), (23) а где Р (х, 1) = ~ [О ф'„(О, Х, т) — ф(О, Х, т)1 с(т. (24) о является однозначной и непрерывной функцией переменных х, 1. Из формул (25) и ()9) заключаем, что непрерывная функция Ф(х,1) принимает при 1=0 следующие значения: Ф (х, 0) = ~ ио 6) с$ = Фо (х).
о (26) Формулы (23), (!9) дают новое представление для 1(1, х, $), из которого мы заключаем, что при фиксированных х,1) 0 непрерывная функция У(1,х, ~) принимает наименьшее значение на том же множестве т(х, 1) переменного Е, что и функция 1(1, х, Е) . Значит, функция Ф(х, 1) =У(1, х, $ (х, 1)) = У(1, х, $+ (х, 1)) =!И(У(1, х, ф) (25) 54О ГЛ.
4. ОБОБЩЕН!!ЫЕ РГ!ИЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ Так как функция У(1, х, я) — липшиц-непрерывная функция вбех своих аргументов в любой ограниченной области переменных г .з. О, х, $, т. е. ! У (г + Дт, х + Дх, й + Д$) — У (1, х, $) ! ( ср( (! Д1! +! Дх! + ( Д$! ), (27) то тем же свойством обладает и ее абсолютный минимум по переменному $ — функция Ф(х, с), т.
е. сФ(х+Дх, 1+ДУЮ) — Ф(х, 1)((~М()Дх~+(Д1~). (28) Липшиц-непрерывная функция Ф(х, 1) обладает почти всюду непрерывными производными по переменным х, б Вычислим эти производные пока формально. Мы имеем ЕСР, СС с Ф(х 1)= $ и (Ч)с(Ч+$[йф„'(й, Х, т) — р(й, Х,т)1с(т, (28) о о где по.прежнему обозначаем $(х, 1)=$ (х, 1), й=й(т, ), х, $(х, с)). Дифференцируя (29) по переменному х, получим ~ с д„= ио В (х, 1)) — „' + ~ — „[йф„' — ф1 с(т. (30) о Аналогично предыдущему ,' [йф„'(й, Х, т) — р(й, Х, ЕЦ= ф (йх'„), (3Ц где Хх — — Х(т, 0 х, $(х, 1)). Подставляя (31) в (30), найдем — — ио($(х, 1)) + У(1, 0 х, $(х, 1)) Х, (О 1, х, я(х, 1))— — й(О, 1, х, Цх, 1)) Х„(О, 0 х, ~(х, 1)). (32) Но из формул (8) следует, что Х,(0, 1, х, $(х, 1)) = „', Х,(1, 1, х, $(х, 1)) = 1, (33) поэтому (32) принимает вид л — — [ио1е(х, 1)) — й(0, 1, х, $(х, 1))) й("' 1 +й(1, г, х, $(х, с)) (иоф(х, с)) — (с'(О, 0 х, $(х, с))) '("'' +и(х, с).
(84) 4 2 ОДНО КВАЗ!!ЛН!!ЕЛНОЕ УРАВНЕННЕ Аналогичные выкладки приводят к формуле д! [!та(Е (Х, т!) — й(О, (, Х, Е(Х, з!)) — "[д."-; — '-' — р(й, Х, з) В=[и ($(х, ()) — й(0, (, х, В(х, ())) (,' — ср(и(х, ~), х, (). (35) Формулы (34) были получены нами формально, и мы предполагали при этом существование производных — ' д$(х, О д$(х, !) дх ' д! Но эти производные существуют в точках (х, !), для которых $-(х, т) = $+(х, (), независимо от того, дифференцируема или нет в точке Е = $+(х, () начальная функция ив($).
Строгое обоснование этих формул несложно, но громоздко. Например, обоснование формул (34), (35) может быть получено, если рассматривать иа(х) как предел непрерывно дифференцируемых функций. Теперь, однако, легко заметить, что если $-(х,~) = = $4(х, (), то выражения [ио(В(х, ()) — (/(О, (, х, В(х, ~))) [;В(х, ()) — й(О, (, х, ~(х, ())1 "',";" обращаются в нуль в), и формулы (34), (35) при этом условии превращаются в более простые: д — — И(Х, О, д! = — Я~(ы(Х, (), Хз О дФ дФ (36) Если же 5 (х, ~)Ф$~ (х, (), то — (х — О, ()=и(х — О, (), — (х+О, О=и(х+О, О. (37) дФ дФ Итак, почти всюду существуют производные —, —, при дх' д!' этом они вычисляются по формулам (36). Отсюда следует, что почти всюду непрерывная функция Ф(х, () удовлетворяет урав. нению — +!р(д, х,()=0 и принимает начальные значения (26).
') Нслн С (х, О=й+(х, О н из(Е) непРеРывна в точке $ Е(», !), то нз(в(х, 0) =П(о, (, х, Е(х, О); если же $(х, !) — точка разрыва иа (е), то — — =О. дх д! ВО4 гл. ь ововпГвггньгг. вещания хвхзгглпнгппых лчвнвнии Итак, мы заключаем, что решение и(х, 1), заданное формулой (14), для любого замкнутого контура С удовлетворяет тождеству ф и (х, Г) г1х — ф (и (х, 1), х, Е) г11 = О. с Так как, кроме того, и(х, 1) принимает начальные значения (2) в следующем смысле: к к ~и(х, г)г1х- ~ио(х)г(х при Г- О, о о (40) (41) имеет единственное решение хо =хо(х, 1) относительно хо, как мы видели в главе 1, решение является непрерывным и задастся формулой и (х, 1) = У(С хо, ио(хо(х, 1))).
(42) Если же уравнение (41) имеет более одного решения относительно хо в некоторых точках или областях переменных х, г, то формула (42) определяет некоторую многозначную функцию переменных х, Г, из ветвей которой должно быть построено обобщенное решение. существование обобщенного решения и(х, г) задачи Коши (1), (2) предполагает существование липшиц-непрерывного по- н удовлетворяет условию устойчивости и (х — О, Г) ) и (х+ О, г), то разрывная функция и(х, 1), заданная формулой (14), является устойчивым обобщенным решением задачи Коши (1), (2). Выше мы получили доказательство того, что формула (14) определяет обобщенное устойчивое решение задачи Коши (1), (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
