Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 83
Текст из файла (страница 83)
3.24). т л! Как мы уже отмечали выше, в этом случае из теоремы Цемплена следует, что за фронтом ударной волны устойчивая схема не может быть т) тттг л явной, В то же время из той же теоремы 1Аемплена следует, Рис. 3,24. что перед ударной волной выполняется критерий устойчивости Куранта. Поэтому оказы- вается удобной явно-неявная схема, Пусть в точке !)! в момент времени ! находится ударная волна, имеющая массовую скорость О! .
Тогда величины й! 9г+ — г)! ты =1 +! — (ы связаны соотношением т Ь! О! = —. ты Здесь возможны два варианта: или при фиксированной пространственной сетке (д!) выбирается шаг т, или, наоборот, при фиксированном шаге т ударная волна сама размечает сетку. В точках д!, д!+! расчетные формулы имеют вид ( '+' ) '+' + а'" '+' ( ' ) = О тс! !+! Ь! (15) т+! ( т) ( п~+!) п~+! +( ) "" ' -О, ( )— !и+!т+ т !и /л тг+! ) лг+! а!+2 тг+! — а'" тс! г+! Аг+! (16) (17) ") Предложеио М. В. Кслдышем. Схемы такого рода были реализоиаиы и работе Д.
Е. Охоиимского и др. [!9571. 490 ГЛ. 3. РАЗИОСТИЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИИАМИКИ (г~!!~!') — (г!+!') = <р(8!+! ), ф(0) =с(8 — — +!пО~), ф(0) =с(0 — — — 1пО'), (18) Ог»+! Г пз+! !+ ю»А-! Г ш+!Ъ+ ' »в+$! ~ ' + !Г!+! — ! и,+! ) ! р!+! ) О,+, с с можно определить О!+~!~, 0!+~!~, (р!+~!~) и продолжить счет.
Для уточнения траектории можно пересчитать точку д!+! по формуле »т,»! 1 ~»!+! !+! Ф+! = Ч!+ Указанная схема была реализована в работе Н. Н. Яненко, И, К. Яушева [1960). Неявные схемы счета являются почти неизбежными в случае, когда в уравнениях гидродинамики учитываются теплопровод- ность и вязкость. Приведем несколько примеров разностных схем для расчета течений с вязкостью и теплопроводностью. Рассмотрим систему уравнений газовой динамики с тепло- проводностью и вязкостью (искусственной или физической) в лагранжевых координатах: — + — =О, ди др д! дс дс ди — — — =О, д! дч ди Р=Р+ !и дс ' е=е(о, Т), и=и(о, Т).
(19) (20) (22) (23) (24) р=р(о, Т), )А= р(о, Т), где значки ~ соответствуют величинам перед и за фронтом волны. Формулы (16), (16) устойчивы и позволяют определить (г, +')+, (г',++'), т. е. инвариант г перед и за фронтом волны на момент времени ! +ь Формула (17) определяет (з',++')+, следовательно, известно (и,++')+. После этого из условий Гюгонио в точке (д!+!, ! +,) 4 2. схемы В зйлвровых ХООРдииАтАх и ивявныа схемы 491 Применим к уравнениям (19) — (21) неявную аппроксимацию, в которой градиенты по д берутся с весом 11 на верхнем и весом р = 1 — а на нижнем шагах.
В результате получим схему а(р~ ! — Рт+!) Ь Рт+' !ит+! — ит+1~ — !2т+! !ит+! — ит+') 1+ 2 2 а Ь2 ит ит+ Р ! — Р 1+- 2 2 , т 1 22т, (ит, — и1 ) — ит, (и1 — и'1",) +р 61 г !1 (26) ит+! ! 1+- 2 т и",'+,' — ит1+! 1+ — ит+ — ит ! е +' ! 1+— 2 ит+' — и +' +.~.р;;~+рр„) '"' „' + ит — ит 1+! 1 Т т.1-! +б-т А ~~ Р14' Р14 ')- Ы х"+! Хтт+' -Тт+'" — хт+! Атт+' — Т +" ет + — 4у~ ' ~ +. — у) +ф а а2 — + и!4!(т — т,) — х (т, — т,) Система уравнений (25) — (27) представляет собой нелинейную алгебраическую систему относительно и1, о 1, Т т+! т+! т+! !+у' 1+- с известными правыми частями г,1 (з 1, 2, 3). Для нахождения и1, о,, Т ! следует применить метод т+! т+! т+! 1+ — !+в 2 2 последовательных приближений, провести линеаризацию уравнений (25) — (27) и решить получающуюся систему линейных 492 ГЛ.
3, РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ уравнений методом векторной прогонки. Для этого положим (28) где под )' можно понимать любую из функций р, е, )ь, и; Й вЂ” номер итерации. Подставив (28) в уравнения (25) — (27) и выразив с помощью (26) о, через и(+1 „и) и известные величины на т-м т+! (А+ П (А) 1+- слое, получим уравнения вида (А) (В+Н (М (А+П (М (А+П (А) (А+Н А„)и) 1+ В,)и(+ С,)+)и,, + Ве( )Т,, + (А) (А+0 (А) ()1+)) (А) + Е„Т, + 6,1+1 Т„, = Н„, (29) где коэффициенты А, В, С,,0, Е, 6, Н берутся с предыдущей итерации. В качестве нулевого приближения можно принять значения величин на нт-м слое, т. е. ) (е) 1+ —, )+в Линейные уравнения (29) с учетом краевых условий решаются методом векторной прогонки*).
Неявная схема указанного типа была разработана И. К. Гельфандом, О. В. Локуциевским, В. Ф. Дьяченко. Естественно, что эта схема применима и для расчета тече. иий без теплопроводности. Кожно, понизив порядок точности схемы, перейти к неявной схеме, разрешаемой обычной трехточечной прогонкой (схема последовательной прогонки, см. В. Е. Неуважаев, Н.
Н. Яненко [1966] ). Для этого при аппроксимации уравнения (20) и дальнейшей линеаризации (28) полагаем (30) откуда следует (а+в (А) др (( +1' (А) 1 (А) В этом случае уравнения (29) решаются обычной трехточечной прогонкой, Рассмотренные нами в предыдущем пункте неявные схемы были нелинейными. Для их решения требовалась предварительная линеаризация с последующей итерацией по нелинейности. Ясно, что это сильно усложняет алгоритм. ') См., например, С. К. Годунов, В.
С. Рябенькнй ()973), Р. Рнктмайер, МоРтон ()эа7) 4 а схемы В эилеровых хооодин!!тлх и неявные схемы 493 Этих затруднений можно избежать, отказавшись от дивергентности схемы, Например, для уравнений ди др до д'и ди о до д'и — + — — —;. — = — — а' — — !„— = О д! до дд ' дд! д! до ' дд! до ди — — — =О д! дд можно написать линейную неявную схему второго порядка точности ит+' — ит „ т+ — д,-~-д-, от+' -1- от д,д , ит -~-ит+' 1 ( ')» ! ! 2Ь 2 1! Ь! 2 =О, от+1 от Д + Д ит 1 от+1 2Ь 2 ! т+— где (а')» определяется, например, экстраполированием по значениям а на (т — 1)-м, и !и-м шагах или с помощью одного пересчета.
Однако потеря дивергентности разностной схемы нежелательна. Для преодоления этих затруднений можно применить метод «предиктор — корректор», известный еще в теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, для квазилинейного уравнения теплапроводности (см. Дж. Дуглас 11958]) 1 Г '1 т-~-- т+-~ и — и Д, т Д,и 2 т 12 а ~к!") а 1» 1т ит+ ит д! Г ! т+- д ! т+— ! [ ~~ 9) -! о~ т ь ь ь (32) (33) Уравнение (32) дает линеаризованную схему первого порядка точности, но зато максимально устойчивую; уравнение (33), используя запас устойчивости„созданный первым уравнением, уточняет расчет.
Схема (32), (33) является устойчивой, дивергентной, безитерационной и имеет точность второго порядка. В работе С. К. Годунова, А. К. Семендяева (1962) для метода характеристик был предложен корректор, восстанавливающий разностные законы сохранения. схема, основанная на идее «предиктор — корректор», имеет следующий вид: 494 Гл. 3. РАзностные методы ГАзовои динАмики ! 1 т+ т+, г 1 Р ! Р 1+- 2 2 1 т+ —, 2 т и, — и, Т/2 + — О, ! т+— 2 и! П ! — П !+- !+в 2 2 1 1 т+ — т+- и!+, — а 2 2 (34) — О, 1 т+— Р ! Р !+- !+- 2 2 т!2 де — +Р дп с= де др ! т+— 2 ) (с2)т "!+! А 2 ! т+— и ! =О которая решается методом векторной прогонки.
После этого схема (34) уточняется дивергентными уравнениями второго порядка точности, использующими запас устойчивости схемы (34): 1 1 ит+' — ит !+- 1— Р ! Р О Т Ь и!+1 т 1 1 П ! — П т+ — т+- !+- !+- и 2 — и '+' Т Ь (35) (36) 1 1 1 1 т+ — т+ и!+ »1+ 2 2 2 2 Р !" ! Р и т+! дт + 2 2 2 2 Т Ь О, Е=е+ —, (37) 1 т+- где е',"+', е',", и 12 получаются соответствующей интерполяцией. 2 Уравнение (37) может быть заменено уравнением т+ т+ и!+ 2 т+ т+1 т 1 1 1 2 2 2 и 2 2 2 Р!+! и! 1-1 Р! ! '+ — О 1 1 т+-, т+- где и, '. р, ' получаются интерполяцией. С.
К. Годуновым предложена схема интегрирования уравнений газовой динамики, основанная на идее «предиктор — корректор». Поясним эту схему на примере уравнений газовой динамики (19) — (21) без вязкости и теплопроводности. Первый полушаг рассчитывается по устойчивой линеаризо. ванной неявной схеме 4 г схемы В эилеРОВых кооРдинАтАх и неяВные схемы 495 Ясно, что схемы «предиктор — корректор» могут быть использованы и для уравнений газовой динамики с теплопроводностью. Рассмотренная схема «предиктор — корректор», являясь безитерационной, выгоднее неявной методики (25) — (27), требующей итераций по нелинейности.
Однако алгоритм разрешения уравнений (35) — (37) с помощью векторной прогонки также довольно сложен. Мы сформулируем метод «предиктор — корректор» в более общем виде. Рассмотрим систему законов сохранения $и„с(х — ф»(иь ..., и„) с((=0, (38) которой соответствует дивергентная система уравнений ди дф — + — = О. дг ди (39) Аппроксимируем соотношения (38) на разностной сетке и'и+' — и'и 1 * * +г +г Ф~+~ фг + „О, (40) где величины ф', относятся к некоторому промежуточному моменту времени 1'=1 +т' в интервале (1, 1 +1) (рис. 3.25).
Задача интегрирования разбивается на два этапа. На первом этапе вычисляются величины ф* с помощью произвольной максимально устойчивой схемы, как правило, недивергентной. На втором этапе применя- ~ ис,~ ются уравнения (40). При 1*= Г«д = 0,5(г +1 +1) схема (40) будет иметь второй порядок «« точности, а осцилляциоиные эффекты будут велики. Пере- Вг:Х мешая 1* вверх, мы смещаем характеристические корни ,У внутрь единичного круга„ что 'гг Рд приводит к затуханию осцил- Рис. 3.26. ляций, При 1* = 1 ~ схема (40) имеет первый порядок точности, но зато устойчивость схемы и затухание осцилляций становятся максимальными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
