Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 82
Текст из файла (страница 82)
1 РŠ— риŠ— ир Первое дифференциальное приближение разностной схемы (10) имеет вид где С=(1 — — Л', А= — „,. Те о р е м а. Если в раэностной схеме(10) элементы матрицы 11 удовлетворяют условиям дцн д110 — — д' — — 0 (1,1=1,2, 3), (" Пх д, +Рх д +Рк д +В1»хх ди + "" дихх д д +ВР» д +йР »,,1 %,= Л(~„, Рхх дРкх ~ 484 гл. з. РАзностные мвтоды газовой дпнхмики еде / У, 'х У = У~ = С)Р'„, пз то разностнап схема (10) допускает гу зке группу преобразований, что и система уравнений (! 1), Заметим, что если Мз — — О, в системе уравнений первого дифференциального приближения разностной схемы выполнен закон сохранения массы.
В работе 3. И. Федотовой и Ю. И. Шакина (19?5] показано, что если С =оеЕ+ а~А+ азАз, то разностная схема (10) инвариантна, если матрицу С можно представить в виде С = реЕ + ~~ (Л вЂ” иЕ) + б, (Л вЂ” иЕ)', где ~~' = лх = Е ' — — 0 (1=0, 1, 2). Заметим, что случай, когда матрица С (и, следовательно, матрица 11) зависит от старших степеней матрицы А, сводится к предыдущему, так как имеют место соотношения (А — иЕ)'"+'=с '(Л вЂ” иЕ), (Л вЂ” иЕ) + =с (Л вЂ” иЕ) (12) (у=О, 1, 2, ...), где с — скорость звука. В случае лагранжевых координат соотношения (12) имеют вид (а — массовая скорость звука) Аы+~ ы 1 Ли+2 ыА2 (й На рис.
3.22 и 3.23 приведены профили скорости стационарной ударной волны в трех различных эйлеровых системах координат, получающихся одна из другой с помощью преобразования Галилея, Кривые на рис. 3.22 получены при расчете по явной пнвариантной разностной схеме, кривые на рис. 3.23 получены по схеме Лакса — Вендрофа, которая не является инвариаптной. 2. Неявные схемы. Представляется довольно очевидным, что при прочих равных условиях разностное решение воспроизводит решение дифференциального уравнения тем точнее, чем ближе область зависимости разностного уравнения и область зависимости дифференциального уравнения.
Из этого общего соображения, казалось бы, следует вывод о том, что для гиперболических уравнений нужно применять явные, для параболических уравнений неявные схемы. И действительно, первые А 9 схемы в эвлегоиых ХООРдинАТАх н неяВные схемы 435 схемы интегрирования гиперболических уравнений были явными, в то время как для параболического уравнения диффузии сразу же получила признание неявная схема прогонки, Однако более конкретное и детальное рассмотрение приводит к выводу о целесообразности неявных схем для некоторых задач гидродинамики.
Иы приведем ряд соображений в пользу неявных схем. 1. При большой неоднородности гидродинамического потока местная скорость звука с в ряде точек может сильно превышать у га 4» АП ВЮ ЮО л> Рис. 3.23. Ряс. 3.22. среднее значение скорости звука, характерное для данного потока. В этом случае локальный критерий устойчивости — „(1, (1) имеющий место для явных схем, может привести к неоправданно малому шагу, при котором область зависимости разностного уравнения становится значительно больше области зависимости дифференциального уравнения. Последнее обстоятельство уменьшает точность расчета и приводит к сглаживанию профилей. 2.
Для точного счета ударной волны желательно, чтобы фронт волны переходил на каждом п>аге из точки сетки в близле>кащую точку. По теореме Цемплена (см. гл. 2, 5 3, п. 4) это означает, что в области за волной критерий устойчивости (1) нарушается.
Следовательно, в этом случае нужна неявная схема, 3. Величина временного шага схемы определяется двумя требованиями: точности и устойчивости. 486 гл, 3. Рлзност!!Ые методы глзовоп динамики Требование точности определяется в основном величиной градиентов; чем больше градиенты, тем быстрее протекает гидро- динамический процесс, тем меньше допустимый шаг, и наоборот. Требование устойчивости схемы относительно локальных возмущений определяется, в силу критерия (1), величиной скорости звука, т. е. никак не связано с градиентами потока.
Поэтому в случае гидродинамических потоков с малыми градиентами (длинноволновые профили) шаг, допустимый по точности, намного превышает шаг, допустимый по устойчивости (устойчивость схемы относительно коротковолновых возмущений), Таковы, например, задачи метеорологии, русловых потоков, газопроводов и т. д. Ясно, что в этом случае является необходимой неявная схема. Заметим, что явные и неявные схемы не противопоставляются друг другу.
Требование максимального сближения областей зависимости разностного и дифференциального уравнений означает, что явный и неявный методы счета должны входить как элементы в алгоритм расчета. На одних участках может применяться явная, на других — неявная схема. Перейдем теперь к рассмотрению конкретных неявных схем. Первое теоретическое рассмотрение неявных схем для урав. пения колебаний с переменными коэффициентами методом априорных оценок принадлежит О. А. Ладыженской [1952]. Первая неявная схема интегрирования характеристических уравнений гидродинамики была опубликована Л.
Д. Ландау, Н, Н. Мейманом, И. М. Халатниковым 11958~ *). Для уравнений изоэнтропического течения да да — — а — =г!, д! дч дг дг — +а — =г, д! дд а ач Коши: поставим смешанную з д у и = я =1(1), д=О, г — э= д(1), !)=йм (3) г(д, 0)=г (е!), з(д, 0)=за(д), 0- !) до (4) Простейшая неявная схема решения задачи (2) — (4) имеет вид т ао+! а! мж г+ — г ~+ — + (5) го +зо =2) и з!и й7л я+! м+! го г зо з (а!+1)а *) Схема предложена и применена лли расчетов в 1ВЗ1 г. $ о. схемы В эилеРОВых хоогдннАТАх и неяВные схемы 437 От+! т т т а (1О) Т Л т+! т о! о! т-!-! т+! т а+! т — а!, г!!, (11) т+! т ( т+! т+! х! > 1. В тех случаях, когда на одной из границ выполняется условие х ( 1, явно-неявная аппроксимация позволяет простое репгенис граничных условий. Пусть для определенности такой границей является левая.
Тогда формула (9) является устойчивой позволяет начать рекуррентный счет г',"+' по формулам (10), (6), При обратном рекуррентном счетеа',"+', подходя к левой границе, мы вновь перейдем к явной схеме, которая не будет противоре. чить фор муле (9) . Формулы (5) позволяют устойчиво считать гт+' слева направо, пробегая последовательно индексы ! = 1, 2, ..., У+ 1, Аналогичио устойчивый счет справа налево дают формулы (5) и для Краевые условия рассчитываются следующим образом. Величина зо ~ определяется по формуле явного счета зо+ =(1 — хо)зо +хоа +г!ог, (9) после чего го+' определяется с помощью (6).
Из соотношений (5) рекурреитно — слева направо — определяются г, +'. Из условия (7) определяется зт++,', после чего из соотношений (5) рекуррентно — справа налево — определяются ат+! ! Пришедшее в левую границу значение з +' не совпадает со значением, определенным из (9); поэтому необходимо уточнить значение з'"+'. Так как формулы (5) определяют г ++,' как линейную функцию от г, +', а з +' — как линейную функцию от зт++,', то достаточно сделать один пересчет с последующей линейной интерполяцией.
Применение неявной схемы может привести к излишнему расширению области зависимости. Если критерий Куранта нарушается только на сравнительно небольшой области сетки, то в остальной части, где он соблюдается, следует применить явную аппроксимацию, Этой цели удовлетворяет схема явно-неявной аппроксимации 488 ГЛ. 3, РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Указанные схемы бегущего счета имеют первь1й порядок точности.
Схеме (5) соответствует схема второго порядка точности т+1 т т+1 т 1 Г т+1 т+1 щ щ л 1 '+ '+' '+' — а ' '+' ' ' '" ' — 2г" т л!+1 т л$+1 л! 1 г т+! т+1 т т л г, — г! г, 1 — г, 1 т+-, г г, — г, , г, — г, , ! 1 = 2Р,„', (! 2) т+ а, +а т+ Р +Р'л! 1 т+! т 1 л3+1 л! а, 2 л! 2 (О )~ 2) которая требует линеаризации коэффициентов а',"+', гт+! и последующих итераций (см. формулы (25) — (29) настоящего пункта). Можно указать также схему второго порядка точности, основанную на приеме предиктор — корректор. Сначала делается вспомогательный половинный шаг по формулам 1 ! т+- 2 т т+- т+- 2 2 т '!+! '! т т/2 — а! Л =гн, 1 1 ! т+щ 2 л! !л+- !л+- г 2 2 Г! — Г! щ Г! — Г! ! щ т/2 Л ((3) 1 г т+1 т т+1 т 1 2 т -)- ' ~ — а ! р т Л ! г т+1 т т+1 т 1 ! гг! — г! г1, — г " т+- г! — г — а 2 т т Л ()4) 1 1 1 1 !л+ —, л!+- т+- та г где а, ', г„' вычисляются по г, ', а, ' из ()3).
Схема ()3) имеет точность первого порядка, но зато имеет запас устой- чивости, который достаточен для того, чтобы была устойчивой схема ()4), имеющая второй порядок точности, На примере плоского изотермического течения с единственной ударной волной, распространяющейся слева направо, покажем применение неявной схемы для алгоритмов, явно выделяющих ударные волны, После этого делается поправочный целый шаг, улучшающий точность: 4 т.
схемы В эилеРОВых кооРдинАТАх и неяВные схемы 439 Если формулы расчета явно зависят от положения относи- тельно сетки ударной волны, то при переходе ударной волны из одного интервала в другой счетный интервал будет происходить смена одних расчетных формул другими. Это приводит к скачку в параметрах ударной волны и гидро- динамических величинах, который может быть погашен некото- рыми операциями или применением формул высокой точности, Удобным методом, позволяющим исключить такие скачки, является выбор сетки в зависимости от движения ударной волны. Будем считать *), что на каждом шаге ударная волна переходит из одной точки сетки д! в следующую д!+! (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
