Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Если для некоторого ( )и = О, то в схеме предиктор — корректор соответствующий инвариант Римана не подвергается действию вязкости и переносится без изменения (стоячая волна), в то время как в схеме Лакса действию вязкости подвергаются все инварианты. При переходе к уравнениям гидродинамики в лагранжевых координатах это означает, что в схеме пре. диктор — корректор энтропия (инвариант, сохраняющийся вдоль контактной характеристики — контактной границы) не подвергается действию вязкости, контактный разрыв не сглаживается, В то же время, как было показало, вязкость Лакса сглаживает контактные разрывы. Вязкость Лаков — Вендрофа обладает аналогичным свой ством сохранения контактной границы.
4б4 ГЛ, 3, РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЭОВОИ ДИНАМИКИ Р. Мак-Кормак [!969] предложил двухшаговую схему второго порядка точности, которая в применении к системе (5) имеет вид Другой вариант этой схемы получается из (22), (23), если в правых частях (22), (23) поменять местами разностные фор- мулы дифференцирования вперед и назад. В работе Д. Андер. сона [1974[ эта схема рассматривается как нецентральный ва- риант схемы Лакса — Вендрофа. В работах П. Катлера и Г.
Ло- макса [1971[, П. Катлера и др. [1975[ предложено добавить в правую часть уравнения (23) член, аппроксимирующий величину 4 д'и б)44 —,, а=сонэ( с целью сглаживания численного решения, дх' ' Отметим, что схема Мак-Кормака широко применяется в аэро- динамических расчетах.
В работах Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокина [1968), Ю. И. Шо- кина [19?3[ рассмотрен вопрос о схемах вида иа>+2 (Х) = Х В и'"(Х+ ай), а (24) аппроксимирующих гиперболическую систему (13) с постоянной матрицей А, допускающих контактные разрывы (свойство К). Матрицы В„постоянны и удовлетворяют условиям Ва = Е, ~ ОВа = иА> х = Рассмотрение ведется на базе первого дифференциального приближения схемы (24), которое имеет вид ди ди д'и — =А — +С вЂ”, дГ дк дка ' где «2 а а Пусть матрица А имеет различные собственные значения, $ь ..., $„. Зафиксируем одно из них ~1= ~ и определим соответствующий левый собственный вектор Е 1А = $1. Будем говорить, что разностная схема (24) обладает свойством К, если (С = О. й "' (х) = и'" (х) + —,', [>р (и (х + й)) — 2р (и (х))), (22) и + (х) 2 (и (х) + й + (х) + ь [2р (й + (х)) Ф(й + (х Й))[) ! т (23) э А ОдноРодные РАзностные схемы В работах Н.
Н. Яненко и Ю. И. Шокина [1968), Ю. И. Шокина [1973) для ряда классов разностных схем найдены необходимые и достаточные условия наличия у разностных схем свойства К. В качестве примера сформулируем одно такое утверждение. Теорем а. Для того чтобы трехточечная разностная схема вида (24) (а = — 1, О, 1) обладала свойством К, необходимо и достаточно выполнение условия 1ВР =(1 — хаааа)1. В частности, из указанного утверждения вытекает, что рази' И' постная схема Лакса [С= — (1 — х'Л'), 1С = — (1 — ха$') 1) не 2т ' 2т обладает свойством К (исключая случай х~ = 1) и что мажорантная схема (а = — 1, О, 1, В1 = хА+, В ~ = — хА, А+) О, А — ( О, А = Л++ А-) обладает свойством К, если Е = О (аналог системы уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах), либо $х = 1. Нетрудно видеть, что наличие у разностной схемы для уравнений газовой динамики свойства К для собственного числа $ = О в случае лагранжевых координат и для $ = — и в случае эйлеровых координат означает, что в системе уравнений первого дифференциального приближения на энтропию аппроксимационная вязкость не действует, и, следовательно, контактные границы не размазываются.
4. Схемы С. К. Годунова и В. Ф, Куропатенко. Рассмотренные в предыдущем пункте схемы исходили из аппроксимации уравнений газовой динамики с искусственной вязкостью, обеспечивающей сглаживание ударного фронта. В настоящем пункте мы рассмотрим схемы, основанные на другом подходе, который можно сформулировать следующим образом.
Расчетные формулы должны в основном носить единообразный характер и аппроксимировать законы сохранения, так что получающаяся схема аппроксимирует обобщенные решения как в области гладкого течения, где она аппроксимирует уравнения газовой динамики, так н на разрывах, где она аппраксимирует условия Гюгонио. В силу единообразности расчетных формул течение в гладкой области при этом рассчитывается так же, как и течение в окрестности разрыва, что приводит к появлению аппроксимационной вязкости. Таким образом, схема предполагает наличие разрывов в каждом счетном интервале и построение расчетных формул с учетом возможных разрывов.
Первой схемой такого рода явилась схема распада разрыва, предложенная С. К. Годуновым [1959). В каждый рассчитываемый момент г Функции Р (ч) Р (ч), е~(д), и (д), описывающие течение, аппроксимируются кусочно- постоянными функциями, которые характеризуют средние зна- 466 ГЛ 2 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ $иг(г( — рг(! =О, $ о 1(и+ иггг=О, 2 Е г(г) — ри г(1 = О, Е = е +— 2 следующими формулами: и~'+ ! — и'" ! 1+- 2 2 ри р!и + 1+' ' О и !и+! „т ! 1+т 1+— 2 2 (2) Еги+ ! !и ! ! 2 2 р гг руэгг + 1+! 1+! « О ' ) где величины й 1, о 1, Р 1, Е ! суть средние значения 1+- 1+ — 1+ —, !+в 2 2 г соответствующих функций на интервале (г)„г)1+!) в момент вре- МЕНИ 1 . Так как взаимодействие интервалов (г)1-1, г) ), (Ч1, г)1+!) Рассматривается на основе распада разрыва, то У";, Р, суть величины скорости и давления, образующиеся на границе д = о, вследствие распада разрыва, характеризуемого величинами ги и 2 Е 1, г)(г)н г о 1, г и 2 О 1+— 2 Е,, г))дг.
2 Для определения У1', Р, могут быть использованы известные формулы распада разрыва (см. гл. 2, $ 6, и. 8). чения величин р, р, е, и в счетном интервале. Взаимодействие масс газа, заключенных в счетных интервалах и характеризуемых осредненными параметрами р, р, е, и'", описывается с помощью формул распада разрыва на каждой границе двух интервалов. Считая скорость контактной границы между интервалами (дг 1, дг), (г)1, дг+!) постоянной в промежутке времени (1,1 +,), можно рассчитать состояние газа в интервалах на следующий момент времени 1 +1, осреднить параметры в интервалах, после чего расчет повторяется.
Аппроксимируем законы сохранения $ В. ОднОРОдные РАзностные схемы 467 Если разрывы величин и, р невелики, например, по относительным амплитудам и, — и 2 Р ~ Р 24 — 2— 2 2 и \ -о 2 Р 2 -~— 2 то можно применять линеаризованные формулы распада. Линеаризованные формулы распада разрыва для политропного газа име2от вид (см. гл. 2, 5 6, п. 10) Π— С- р1с| т р~ Р— Ро со Р— Ро У вЂ” по= росс то ро (3) — +— Р! РО и, — ио, р1с| росо Р=ро — 1 1 + — + — — +— р1с~ росо р~с~ роса у р~ — ро + росоио+ р|с~и1 У =иов росс + р,с, р,с, + р,с, которыми можно пользоваться в расчетных формулах схемы распада разрыва, когда величины Ои, Ор малы. Рассмотрим„например, изотермический газ. Тогда 2 с,=со — — с, Уо — — У,=1, Ро=с.
Кроме того„в формулах (3), где иΠ— ио, Р— рь Р— ро являются малыми первого порядка, можно в знаменателях полагать рО = ро = р, р2 = ро = р. Тогда формулы (3) примут вид Р-р, . (Р— РО Ро с (' Ро) и — У=, '=; У вЂ” ио= —, 1 Отсюда имеем 2с( ~ о)+ 2 2Р Учитывая соотношение йр ао р о где У, Р означают скорость и давление, образуемые на контакт. ной границе двух сред, из которых левая обозначена индексом 1, правая — О, сь со — скорости звука в средах 1 и О, соответственно.
Отсюда получаются выражения для Р, У: 4бз гл. к гизностныв мвтоды гизовои дннимнкн фр сс— 3 (7) иис ! -~-и'и с — с+— з 2 ис= — ' ~о — о,~,)+ 2 разностной схемы (2), Подставляя (7) в первые два уравнения получаем разпостную схему и+! — и ! Р" -Р с+-, с+-, ! з 3 с+ — с --' 2 2 т 2И иис — иис ! ! !+в 3 з иис иис ! с+- !+в 2 з сИ 1 2 Из ис !+в 3 2 (8) и!+! иги ! ! с+ —, !+в 3 3 и — иси 3 !+в з з пс ис ! ! !+в 3 3 з ис пс с+ — !+в з з т з !+в 3 Для лииеаризованного уравнения состояния Р = Рз — а'о (а — массоваЯ скоРость звУка7 формулы (7), (8) принимают вид 1 — ' с+' !+в Р ! Р— !+в Ос з У!в 2и + и, +иис с+- с з 2 3 верное с точностью до малых второго порядка, формулы (5) можно преобразовать к виду с и!+ из сс' = — — (о! — оз) + 2о 2 Применяя о мулы (б), получаем % 8.
ОДнОРОДБЫЕ РАЗностные схемы 4б9 соответственно и + — ит 1 1 с+- !+в '+ Т Р 2 Р !+в 2 2 8 — Еи !+и с+ — с+ — с— 2 2 2 р И' !и+1 т 1 1 с+- !+в 2 2 т ас 8 с+- с— 2 2 ат 2ит +и !+- 2 1+ —, 2 2 (10) ЕИ и' аИ и=— 2 Возможны различные реализации схем такого рода.
Мы рассмотрим только одну схему, где размещение величин в сетке аналогично схеме Неймана — Рихтмайерас термодинамические величины относятся к полуцелым, скорость — к целым точкам. Система разностных уравнений имеет вид Р 1 Р ит+1 итс + , О, (12) ,!и+1,!а 1 1 С 8- С+- 2 2 '+' ' — 0 и (13) -т 1 Рт-81 ~~о 1 — о 1 =О, + 22 ( !+ в С+-) 2 ет+1 — Ет 1 1 !+в 2 2 (14) Если считать 12 в формулах (10) произвольным параметром, то аИ видим, что при 12= — они дают схемы распада разрыва и 2 Ис ает бегущего счета, при 12= — — схему Лакса, при и= — — симметрическую схему второго порядка точности.
ат При и= — =1 все указанные схемы совпадают. И Схема, предложенная В. Ф. Куропатенко [1962, 19661, основана на аппроксимации волны сжатия или ударной волны конечной интенсивности последовательностью («цугом») ударных волн меньшей интенсивности. В отличие от схемы распада разрыва, в ней применяется разнородная аппроксимация на волнах сжатия и ударных волнах, с одной стороны, и волнах разрежения, с другой. Для различения волн сжатия и разрежения по-прежнему служит условие Ьи < 0 (волны сжатия), Ли) 0 (волны разрежения). (11) 4то ГЛ 2. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОН ДИНАМИКИ где (15) т ( ап па е а=е(р а, О 1+- а а ~--, 2+-2 2 ~ 2 2/ (16) «Вязкий» добавок в" а равен О в случае волны разрежения и вычисляется по особым формулам в случае волны сжатая (ударной волны).
Таким образом, на волне разрежения схема (12) †(16) аналогична схеме «крест» и имеет второй порядок точности. Уравнение (14) требует итераций в силу нелинейности уравнения состояния (16). Порядок расчета в этом случае таков: из уравнения (13) определяется ( р В е ь' о "а, из уравнения (14) с ис! 2 ! пользованием (15) итерационно а1 р определяется р а = р т.~-а -па-~.а Э2Х а+ — 2+- 2 2 после этого из уравнения (12) определяется и'," "' ла лг 2 В случае волны сжатия 2,а, А (эпрон (ударной волны) 22 Ф О. Член ез в (15) учитывает наличие ударной волны в интервале (да, а)а+а) (рис. 3.16). -т-';а Для определения р 1 привлекаются уравнения сч("-,' -ааа+а ап ! 2 т /-тЧ-! т е й=е а+ — Ли — р ~~б а — и с+- 2 а+-( а+- 2+-у' 2 2 2/ (18) ГдЕ Ет"', рт+', аат+' ПО-ПрЕжНЕМу СВяэаНЫ СООТНОШЕНИЕМ (16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
