Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Для системы $ К СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ввз определяется, в отличие от систем двух квазилинейных уравнений, не только величиной (7,=тах1~и,(х)з, но и величиной х производных)[ — '~. Поэтому решение системы (15) при а ) 3, вообще говоря, становится неограниченным при некотором Г-» О.
Это показывает, что, вообще говоря, для таких систем задача о распаде произвольного разрыва теряет смысл, так как в этом случае решение задачи нельзя рассматривать как предельное при сглаживании начальных данных. В работах В. А. Тупчиева [1972, 1973] рассмотрен более подробно вопрос об единственности непрерывного решения задачи о распаде разрыва для систем из трех и более уравнений. Показано, что при а ) 3 в любой окрестности данного непрерывного решения задачи о распаде разрыва может оказаться другое решение той же задачи. Решение задачи о распаде разрыва называется в этом случае неизолированным. Рассматриваются условия, при которых всякое непрерывное решение задачи о распаде изолированно, при этом рассматриваются как консервативные, так и неконсервативные системы уравнений. Показано, что для консервативных систем исследование изолированности и единственности решения задачи о распаде облегчается.
Отметим другие осложнения, которые могут возникнуть в задаче о распаде разрыва. В п. 2 мы привели простую систему из двух квазилинейных уравнений, для которой кривые и= 0А (й = 1,2) лежат в ограниченной области полуплоскости и ) О. Отсюда, в частности, следует, что задача о распаде разрыва не имеет решения при (и ) и (ич) достаточно далеких друг от друга; а при достаточно близких (и-) и (и+) может иметь несколько различных решений (см. В. А. Боровиков [19691). В работе В. А.
Боровикова [19721 изучаются условия единственности решения задачи о распаде произвольного разрыва при и = 2 для случая «выпуклых» систем (гьуЕА Ф О, й = 1, 2). 5. Задача о распаде для системы двух квазилинейных уравнений. В случае л = 2 система квазилинейных уравнений приводится к инвариантам Римана (гл. 1, ф 3) и записывается в виде — +$А(г) — — — О (А=1, 2). дгА дгА (1) Будем считать выполненным условие (3.2.6), которое для системы (1) записывается в виде (2) Кривая и = У» (у, ив) в плоскости переменных иь из переходит в прямую гг = сопз( (1~ й) в плоскости переменных гь гз ВО4 ГЛ.
В ОВОВШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ (рис. 4.37). Таким образом, волна разрежения для системы (1)' соответствует отрезку прямой Г~ = сопз(. Согласно предыдущему через каждую точку г = ГВ проходят две кривые и = 0" (у, иа), изображающие семейства состояний, могущих быть связанными с состоянием ич посредством ударного перехода. Как мы видели выше, эти кривые имеют в точке ич касание второго порядка с прямыми г =г,'4 поэтому по крайней мере в некоторой окрестности точки г = Г2 уравнения этих кривых могут быть записаны в виде ь 1 Г К (Гн Г г2) 12 (Гр Г ) 1 (3) т. е.
эти кривые однозначно проектируются соответственно на прямые г, = сопз(, г1 = сопз(. На рис. 4.37 стрелками показано направление возрастания переменного б У = — в волнах РазРежениЯ Гг = = сопИ и в ударных волнах Г2 = Я~', при этом мы требуем у~ — — )О, дала (г) дгь (4) что всегда можно считать выполненным ввиду (2). Рис. 4.37. Вопрос об однозначной разрешимо- сти задачи о распаде в классе автомодельных решений существенным образом зависит от поведения кривых г, = )т2 и Г~ = )т1 в целом, т. е. при достаточно больших значениях )à — ГВ!.
Однако изучить поведение в целом этих кривых трудно, так как они определяются из существенно нелинейных уравнений. Поэтому мы укажем сейчас некоторые достаточные условия, при которых задача о распаде произвольного разрыва для системы двух квазилинейных уравнений имеет единственное автомодельное решение.
При предположениях, сделанных выше, будем считать дополнительно, что условия Гюгонио разрешаются в форме (3) при любых ги Г2, Гн Г2, т. е. соответствующие кривые Однозначно проектируются на оси Г2 = сопз( и г, = сопз( при любых г, Г'. Пусть, далее, дгг2(ги г1, г2) ди1 (г2, ги г2) В каждой точке кривой 7 г2 = Д2(гога) известно значение 0 = у, входящее в условия Гюгонио. Обозначим вдоль кривой 7 $ 3. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 605 величину 0 через 0 = О, (гн гон тоо) = О, (г„т'), а на кривой П 0 — 0 (г го г') — 0 (г го) (6) (7) Как мы показали в п.
2, в точке г= г' 0 (го, г') =е (го), 1 0(то г) — $(г) (8) и дР, (ть то) ! ! о г~ т~ д!2 (т') О >О, 2 дто '2 '2 (9) = О. (!О) о 2 ~2 дт ~ (то) дпо (то, та) дт~ ' дто дно(.о .) =О дл!(то "' о дто дт1 Предположим, что при любых го г, 'и г, < го г, > г, 'выполнены, помимо (5), условия )о ( о)) 0 ( .о) 2 (о) 62 (г„Р2 (гн го)) > О, (т„го), г, < твои (1 1) ьо (И~ (т„г ), г2) > О, (т„т') > ь2 (т ), й, (Я, (г„г ), г,) < 0,(г„г ), г, > г,. о о о ! (12) Условия (11), (12) означают, очевидно, что решения г2 = )72, 0 = 0~ и г1 = )гь 0 = 02 условий Гюгонио удовлетворяют условиям устойчивости. Если при любых го и г, < т'„го > г.'", выполнены неравенства (11), (12), то при г, > го и г, < г, 'в этих неравенствах знаки изменяются на противоположные.
В самом деле, пусть г, > го. Через точку (ти )то(ги г)) проходит кривая г2=)72, которая, согласно условиям Гюгонио, удовлетворяет уравнениям Ро(тн т„Р2(гн г')) = г.'„О, (го, гн )72(гн т')) = О, (г„го). (13) Уравнения (13) выражают тот очевидный факт, что условия Гюгонио не меняются, если левое и правое значения решения поменять местами.
Из формул (13) теперь легко следует справедливость нашего утверждения. Условия (5), (11), (12) носят сравнительно сложный характер. Поэтому на простом примере мы проверим их выполнение. Рассмотрим систему двух квазилинейных уравнений, описываю- аоа гл. с ОБОБщенные Решения кВАзилинепных уРАВнениЙ ших движение изотермического газа в лагранжевых переменных (гл.25 2,п.7): — — — —,+ " '=О, р'(Р)<0, рс(Р)>0, (14) которая записывается в инвариантах Римана: —" — с(1') д" — — О, д' +с()') д' =О, (15) где г, =и — ~ с(т)) с(т), г,=и+ ~ с(2)) с(2), с'('у') = — +.
(16) др У У Уравнения (16) позволяют выразить величину у' через разность г,— г,. Вычислим производные — для проверки выполнения д!А дс условия (2): д$~ д$2 с'(У) р"()с) дс, дсо 2с(У) со(У) (17) Приступая к проверке условий (5), (!1), (12), запишем для системы (!4) условия Гюгонио: Р (11 — 1'ю) = ио — и, 0 (ию — и) = р ($'о) — р (у'), (18) откуда ( — .)'=(р(Ю вЂ” р(ро)) (ро — )г), 02 Р (У ) — р (2 о) (20) Из формулы (20) получаем, что величина 0 может иметь положительные и отРицательные значениЯ.
ПУсть 0,(гого)( О, а 02(г,,го) О. Тогда, так как р'(12)(0, р" ()2): О, то если $'~ > К, то — с(У) < Р, (гн го) < — с(Ро), (21) С (1 о) < 02 (г2 г ) < С (1 ) (22) — „1 = и' + с ()') (с' = 1. (24) Для проверки выполнения неравенств (5) будем дифференцировать условия Гюгонио (18), считая, что 1', и, 0 зависят от г1 и 0 =Р~(гьго)(0. Обозначая производные по г1 штрихом, получим из (18) р)с'+ Р'(У вЂ” )с ) = — й, Ри'+ Р'(и — ио) = — с'(У) )с' (23) н $ 3. системА кВАзнлнненных уРАВнениЙ 607 Из уравнений (23), как д)7 (Г, го) дг! н О!(г„г') < О, то (24) определяются значения )г', и', Р'. Так =и' — с(1') )Г'= 1 '( ' )+ ( 1 (25) 1(7 ( ') — с ((Г)1' О д)(т (Гь г') дг! (26) Аналогичные вычисления приводят к результату д)7~ (г„гс) (ттт (гм ге) — с ()Г)1' дгз 10т (Гм Г ) + с ()' )! и мы убедились, таким образом, что для системы двух уравнений (14) выполнены требования (5).
Так как вдоль кривой гз = г(з(г!, го) га) )Г'= =, ', >О, (28) дРг ") Если в условинх (б) потребовать, чтобы ~ — ~ < д < 1, то тогда дг! можно утверждать также, что автомодельное решение задачи о распаде су- ществует, а вдоль кривой г, = )т! (гз, г') )Г' ( О, то неравенства (21) „(22) приводят к выполнению условий (11), (12). Возврашаясь к обшему случаю, покажем, что если система двух квазилинейных уравнений удовлетворяет нашим условиям, то задача о распаде разрыва для такой системы имеет не более одного автомодельного решения '). lл Через точку г- проведем отрезок кривой г,=)тз(г,, г ) при Ю г К~г, и луч г =г, при г,)г !(ч (рис, 4.38), а через точку г+ отрезок кривой г, = )т! (Г„г~) при гзьгт и луч г = г, 'при г < г+.
Кривая 1 изображает семейство г г состояний, которые могут быть Л' связаны с состоянием г-, если / + последнее считать левым; кривая 11 изображает состояния, ко- Рис. 4.88. торые могут быть связаны с состоянием г+, которое считается правым. Из условий (5) следует, что пересечение кривых! и П может иметь место только в одной точке. Это и означает единственность автомодельного решения задачи о распаде. 808 Гл. (. Ововшенные Решения квлзилингяных уРов!)ени!т Легко заметить, что если Г;(г(, г, (Г2, то автомодельное решение состоит нз двух волн разрежения (рис. 4.39,а); если г, (г+, а г, > Г24, то решение состоит либо из волны разрежения и ударной волны (рис. 4.39,б), либо из двух ударных волн (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
