Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 106
Текст из файла (страница 106)
ОБОЮЦЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (!) (О) (!) Э((г)(0, 0), г,(0, 0», О, 0) < Р ! (г! (О, 0), ги (О, 0), О, 0) < < $)(г, (О, 0), О, 0), непрерывности этих функций мы заключаем, что при малом Т на линии Ох'! выполнено неравенство (о Р! (г! (х, 1), ги(х, (), х, 1) < <$)(г,(х, (), х, 1), (16) (!) а на линии 02'(~ — неравенство (П м) $, (г, (х, 1), гг(х, !), х, () < д Х (() 4.50.
< Р, (г! (х, (), ги(х, 1), х, 1). (17) Отсюда по достаточно тд Гд е+ Рис Неравенства (16) и (!7) означают, что на линиях 02( и (!) Р2'(+ поле направлений дл я дифференци ального уравнения ( 1 5) имеет вид, который изображен на рис. 4.50. Мы заключаем, что существует, и притом единственная, интегральная кривая уравнения (15), проходящая через точку (0,0). Обозначим эту (!) (!) КРИВУЮ ЧЕРЕЗ О,'Тли ОЧЕВИДНО, ЧтО КРИВаЯ О.УО, ЯВЛЯЕТСЯ гладкой, в частности дифференцируемой, кривой.
о) (!) После определения кривой О.УВ, определим функцию гг(х, () (() „ в зоне,У')~О,х'г как решение уравнения н) дгг (о (!) диг (!) д! + Вг(г! (хг ()г гг хг ()г д = )г(г! (Х !) гг хг !) (18) (!) (в котором г, (х, () является известной функцией), удовлетво(н ряющее начальному условию, поставленному на кривой РЫ'ш! (!) (о гг(х, 1) $ ш = 1))г(г! (х, 1), ги(х, 1), х, (). ол4), для которого поставим начальное условие х(0) = О. Замечая, о) что при достаточно малом Т г, (х, () является дифференцируемой функцией своих переменных, заключаем, что правая часть уравнения (15) является также дифференцируемой функцией своих переменных.
В точке (0,0) из условий (3.5.11) следует, что 5 2. системз квхзнлннепных уРАВненил 627 (1) Эта задача, очевидно, имеет решение г,(х, 1)„однозначно (1) определенное во всей зоне,У) 0'Р2, дифференцируемое в этой зоне при достаточно малом Т; при этом значения решения (1) в зоне Ы(ОЫ, непрерывным образом примыкают к значениям функции г,с.(х, 1) на линии 02; —. (1) „ (1) Слева от линии Олл[ функцию г)(х, 1) положим не зависящей от переменного х и принимающей те же значения, что (н и на линии 0(Р'1+. После этого процесс последовательных приближений повторяется. Пусть слева от ОЫ2 известна липшиц-непрерывная функ- (л -1) (л) (л) ция Г2(х, ().
В зоне,У("Ох'2 определяем г,(х, 1) как решение задачи (л) (л) '"' .е' дг, (л) (л 1) (У( 2 +и[(г), Г2(Х, (), Х, Г) = (Ы Лх У (л) (л-1) =(((й(, Г2 (х, (), х, (), (19) (л) г,(х, 1)! =Гс(х, г'). (20) ох, (7 Аналогично предыдущему линия (л) Рис. 4.5!. 02'1+ расположена слева от 02',, (л) а в зоне 2'~ ОЫ) (рис. 4.51) существует единственная (л) интегральная кривая О,Уш уравнения ((х (л) — „„=01(г,(х, 1), гс(х, 1), х, 1), х(0)=0. (21) (л) (л) После этого функция г,(х, () определяется в зоне,У(~'О,У, как решение задачи (л) (л) (л) +32(г)(х, 1) г2, х, () =)2(г)(х, 1), й, х, 1), (22) (л) [л) 12! (л) )12(г)(х, 1), Гс(х, [), х [) (23) ох | (л) и полагается не зависящей от х слева от Ох'1+ и непрерывной (л) на линии 02'1', В2Я ГЛ. 4. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Для доказательства сходимости последовательных приблн) д и ! ( л ) д г 2 (л) (л) жений Оценим, аналогично п.
6, производные р! = дх, р2 = д" Пусть (л) ! г! (х, !) ! ~ (Е (!' = 1, 2), и = 1, 2, ..., (л-!) (л-И (л) ! р, (х, !)((Е(, ),б((! ~(С, а величина М имеет тот же смысл, что и в п. 6. Из уравнения (!9) получаем уравнение, аналогичное (3.6.1!): (л) (л) — +Ь вЂ” =- — (р!) + дР! дР! дй! '" 2 д! дх дл! (л-И (л- !) (л) Аналогично (12) имеем уравнение для мажоранты р,: Р' =Мр', + М~ Е2 + 2~р, + М~Е + !1< М(Е + 1) (р, + 1)2. Аналогично выкладкам п, 6 отсюда легко следует (л) С+! (р (х, !)(< ! — (С+ !) М( Ел + ! )(! 2) (24) Если ! т( л-!) 2(С+ !) М1 Ел + !) то при 0(т(! < Т (л) ! р, (х, !) ! < 2(С+ 1). (26) (л) Аналогично выписывается и уравнение для р;! начальное зна(л) (л) чение р2(х, !» вычисляется на линии ОЫ'О, из условия (23): д)!2 д)!2 (м — + !) — — 12 д! дх Р2(х г)— $2(гь гл, х, !) О! (е), лл(х, !),х !) Здесь через —, — кратко обозначены соответствующие продлл дрл д! ' дк изводные от правой части (23).
Согласно условиям (3,6.12) (л) (л) (л) Б2 (г(, Р„ х, !) — 1»((гн га (х, !), х, !) ) е ) О, $ а системА кВАзилинеиных уРАВнениЙ Б29 поэтому при достаточно малых Т знаменатель в формуле (26) ие будет обращаться в нуль, и ввиду (25) можно считать, что существуют константы О, Е такие, что на линии Оео, (л) ) р (х, !)! < ОС+ Е=боАналогично предыдущему получаем, что при 1 Т( (л) 2 (19л+!) М(Е(+ 1) (л) | р (х, !) ! < 20() (28) Выбирая теперь ! ! 1 2(С+ 1) М(2!)л+ 1) 2(0л+ 1) М(2С-1-3) ~' получим, что при 0(~ ! (Т одновременно выполнены оценки (25) и (28) при любых и = 1, 2, ..., т. е. все последовательные при- ближения имеют ограниченные первые производные. Приступаем к доказательству сходимости последовательных (л) приближений й (х, !), считая, что величина Т задана формулой (29).
(л) Выберем общую часть областей 2'1~022 при а=1, 2, 3,... и ограничим ее условием 0(!(~Т'(Т, где Т' столь мало, что (л) „ общая часть областей .'Т(+02'2 всегда содержит внутри себя (л) (л) все линии О.УВ, при и = 1, 2, ... Так ка к наклон линии 0(с'1+ (л) (2) в точке (О, О) не зависит от номера п, а величины г„ гг, имеют равномерно ограниченные производные, то это всегда можно сделать. (л) Обозначим через 0 эту общую часть областей 2'~+О.У, и введем следующие обозначения: (л) (л) (л-1) дг; (!) = и) ах ) г( (й, т) — г, (е, т) ), а( где О,— пересечение области 0 с полосой 0(т(1, (л) (л) (л -1) Дхо, (!) = И(ах ( хо, (т) — хо, (т) !. О~т<1 (л) (л) Здесь через х= хо,(!) обозначено уравнение линии 02'о,. Из (19), (20) легко получаем оценки (аиалогичные оценки мы проводили в п.
6 этого параграфа) (л) (л-1) Дг1(!) ( и! Д Ра (!) ЕЗО гл. 4. ОБОБщенные Решения кВАзилинепных РРАвненип из уравнений (2!) (л) (л] (л-1) Лхо,(1)(МЕЛг,(1)(М'ЕхЛ г, (1), и, наконец, из уравнений (22), (23) можно получить оценку (л) (л) (л) (л) (л-1) Лг, (1) (~ М Лг) (1) + МЕ Лг, (1) + М Лхо, (1) < МЕ Л гз (Е).
Здесь М, М вЂ” некоторые ограниченные величины. Из этих формул легко следует равномерная сходимость (л) (л) (л) последовательностей (гз), (г(), (хщ). Ввиду равномерной сходимости величины (л) (л) г)(х, 1) =!)шит((х, 1), г,(х, Е)=!)шгз(х, 1) л.+ (30) проходящая через точку (О, О), при 0(1(Т лежит в зоне Ю(~ОЙ'1, а интегральная кривая ОЫ'о, уравнения — =В,(ги(х, 1), гс(х, Е), х, Е), (Ех выходящая из точки (О, О), лежит при 0- Еи Т в зоне Ж ОЫ'х ° удовлетворяют в 6 системе уравнений (!), линия О.Уп,(хо, (1) = еа = ))(и хо, (1)) является интегральной кривой уравнения (8), л-лс а функция е,(х, 1) удовлетворяет на линии ОЫ'о, услол 4 .(г вию (! !).
Переходим теперь к рас- смотрению второго случая. х При выполнении неравенств (7), как мы уже отмечали, решение содержит две линии разрыва: О.УО, индекса 1 и О,УО, индекса 2, Рис 4.б2. выходящих из точки (О, О) (рис. 4.52). Аналогично предыдущему введем функции г,(х, 1), г,(х, 1), от которых потребуем: !) Функции г„г, определены в зоне м.(4 Омз, содержащей зону 2'О,О2'и,, обладают в этой зоне ограниченными первыми производными, удовлетворяющими системе уравнений (!). 2) Интегральная кривая ОЫО, уравнения (Ех — „, =О((г,(х, 1), г,(х, 1), х, 1), 5 3.
системА кВАзилинеиных уРАВнений 3) Нл линиях ОУВ, и ОУВ, выполнены условия го(х, 1) 1о,р = Яо(7) (х 1) го (х 1), х„1), г,(х, 1) /ох =)т) (го(х, 1), го(х, 1), х, 1). 63! (32) (ЗЗ) Мы изложим метод последовательных приближений, с помощью которого могут быть построены функции г, и г,; при этом мы опустим некоторые детали, общие с предыдущим построением. Введем обозначения <о) <о) г,(х, 1) =г,=)7,(го( — О), г (+О), О, О), <о) <о) г,(х, 1) =г =Д (го)(+ О), г ( — О), О, О) ю) и определим линию ОУВ, как интегральную кривую задачи лх (о) о< —— О, (г„го(х, 1), х, 1), х(0) =О, <о) а линию ОУВ, — как интегральную кривую задачи (35) (о) — = О,(гм го(х, 1), х, 1), х(0) = О. (36) (о) Если Т достаточно мало, то при 0(~1~~Т кривая ОУо, (о) лежит слева от ОУ<; соответственно ОУэ, лежит справа от ОУо".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
