Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Решение поставленной задачи будем искать методом последовательных приближений, отличным от применявшегося в главе 1 в связи с особенностью решении гз(х, (). При этом мы должны заметить, что ограниченность всех последовательных приближений можно гарантировать, если рассматривать лишь достаточно малую полосу 0 < т< Т переменного й Предположим, что в зоне .Ут 02', известно приближение (и-1) г (х, 1), удовлетворя)ощее условиям (3), (4).
(и) Определим и, (х, 1) как решение одного квазилинейного уравнения ит (и) ( -1) (и) дт (и) (и-1) (и) + иь((гн гз (» 1), х, 1) — 1(1(г(, гз (х, 1), х, 1), (6) удовлетворяющее условию (3), т. е. (и) г, (х,(1), 1)=г',(х,(О, 1). Эта задача Коши является нормальной, так как линия ОЯ,— характеристика второго семейства. В(4 ГЛ. 4, ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ (л) Функция г,(х, г) также определяется как решение одного квазилинейного уравнения аи (и-)) (л) иГ (л- ) (л) (л) (л) ~' + ьг( г, (х, г), г,, х, г) д ' = ("г ( г, (х, г), г„ х, г), (8) удовлетворяющее условию (4): (л) !!гп гг((Б (г((0, 0), (), О, 0), () = р. Для сокращения письма обозначим (л) (и) (л) г,(х,(1, 8), () = г,(г, р). (и) (л) Величины гг(1, р), хг((, 8) удовлетворяют характеристической системе уравнений (8): (л) (л) !), г„х„г), (л-() (и) ~и) хг =ьг( г( (хг (л-Ц (л) (и) — =(г( г, (х„ (9) (л) (л) (), гг, хг, !) и начальным условиям (л) х (О, !)) = О, (л) (10) г (О, р)=р Решение этих двух задач будем искать в области с(, образованной пересечением области 2'г ОЖ с полосой 0( (( (л.
Величину !() мы определим ниже из условия, чтобы все после(л) (л) (л) довательные приближения г, и дг(у, С) =гг(у(, !) обладали в (и) (л) 6 ограниченными первыми производными(г( по х и по г, дг(у, () по у и б Задача Коши (6), (7) решается обычным методом характеристик. Что касается задачи (8), (4), то здесь мы имеем задачу (и) с особенностью в точке (О, 0). Обозначим через х=хг(г', 8) уравнение характеристики, вдоль которой при 1- 0 функция (л) гг(х, !) принимает значение р. Очевидно, по определению (л) (и) (л) х,(0, !))=О и !!шгг(хг((, (3), ()=р, (.+ о $ Э. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 616 Будем предполагать, что 10 столь мало, что все последователь- (и) (л) ные приближения г(, г, остаются ограниченными в б: [и) )г((х, 1)1~И, 1=1, 2, и=1, 2, ...
(и) Покажем„что при достаточно малом 1, производные функций ги (ю о,(у, 1) остаются ограниченными при всех а= 1, 2, ... Обозначим через Е0! величину, превосходящую по модулю первые производные г0(х, 1): аналогично (л-!) (и-!) ~д г!(х,1) ~("Е ~д ыи(У,()~ Е (л) дг! (х, 1) и произведем оценку ~ д ' ~. Для этого дифференцируем по переменному х уравнение (6). Мы получим уравнение (и) (л) (и-!) др! др! д$! (л) 0 (и) Гд(! дз! ! д$! д яи З вЂ” + $! — = — — (Р!)~+ Р! — — + д( дх дг! ) дг! дх 1 дгх ду,! (и-!) (л) + + , Р, .
(1 1) Гд(! д(! д д! (Т (") дг!(х, 1) 1. дх дг! ду 1 1' дх (л) Вычислим начальное значение производной р, на линии 0)х'э. (л) Для этого определим р, из двух условий: уравнения (о) (л) (и) Ч! + й(Р! = (! и дифференциального следствия (7) (и) г(х м) д0 д д0 Р! — +Ч(= + г(1 дх д( д1 лх2 Учитывая, что — „= й„из этих двух условий находим дгО дг0 — 00+ — — 1! дх д( (л) Р! )о,р,= 4 — е! оэ,' Так как йз — $! > е ) О, то отсюда следует, что существует число С такое, что 616 Гл. (, оБоБщенные Ргшения кВАзилинеиных уРАВыени)т (л) Рост величины р, оценивается с помощью решения обыкновенного дифференциального уравнения (л-!) (л -1) Р' = Мр', + М 12 + — '] р, + М ) 1 + — '~ < (л -1) <~М(р + 1)'+ ' (р, + 1), (12) принимающего при )= т значение С. Через т мы обозначаем значение переменного ! на характеристике уравнения (11) при пересечении с линией О,х.а (рис, 4.45); величина М выбирается такой, что при (г(~ < Д н (х, 1)ен 6 выполнены неравенства ~й,~<М, ~),~<М, ~ — "~<М, ~ — "'~<М, ~'~ ~<М х ~(~М (1, !'= 1, 2).
Решение уравнения (л-1) †,! — (Р( + ) + ! (Р( + ) (13) р!+1— превосходит решение уравнения (12). Переписывая (13) в виде (л-!) (л-1) —— .! (р!+ )(-!) — ~(р + ) (-!) интегрируем его с учетом условия р,(т) =С: (л-1) (с+ И( — ') (л и . (14) + И ~ ( ! ) и е + МЕа+1 (л) Итак, решение р,(х, т) уравнения (11) оценивается сверху: (л-П (л) (с+ И( — ") ~ р, (х, 1) ~ < ( 1) (15) (С+ И хм р)м а, +! МЕа +! Отношение !(т, входящее в (15), есть отношение переменного 1 на характеристике уравнения (11) к значению этой же величины в точке пересечения характеристики с линией ОЖ (рис, 4.45). $ 3, системА кВАзилинеяных ГРАВнении 617 Если в области (2 ограничено отношение !/т, то при достаточно малых 12 из оценки (15) вытекает ограниченность производ(и) ны х ри (и-И и (п) д12 [") Гдй2 д г! д12 1[л) и! 2 дгл 2 [ дг! дх дх д (» — !) !( [-'У д5 [-") Гд(~ д г! д(~ З (и) и! 2 дп2 2 1.
дл! дх дх .1 (и) [л) х'(О, й) — О, г (О, (3)=1, (16) где введены обозначения (п) д (л) г дй г2(( и) (и) д [л) д() Х2(! Р) Из уравнений (16) следует (п-1) (л) Г дл (л) о (л) о (л) о т (17) Обычные оценки формул (17) приводят к неравенствам (и) (л -1) (л) (л) (и-и Й пип г,'(т, 8)е [ е +1) м[2 х2'((, й)(~МГ тах г,(т, 6)е[ е' +ИА". 0~2~! О<2<! (18) Здесь Ь обозначает величину б= пип — (г, х, !), дЕ2 и, (х, !)и О Г2 которая, согласно (2), больше нуля. (л) Величину производной — легче оценить, исходя из харакдд2 дл теристической системы (9). Дифференцируя по параметру )1 уравнения (9) и начальные условия (10), получим 618 ГЛ, (. ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Подставляя во вторую формулу (17) оценки (18), получим (и-И Мс(2 (а) (л- !) (и) е А" — ] Е, + 1] — )пах г'(т, р) ехр((Е, + 2) М() <г2(с, р) < 2<2<( (л-!) Мс(2 (и) (и- О ч=е~с+ [ Е, + Ц вЂ” шах г,(т, р)ехр(( Е,+2)Мс).
(19) 2<2~( Пусть (о столь мало, что М2(2 (и-!) (л-!) 1 2 ]Е! + 1] ехр (( Е! + 2) МЯ < 2 (20) Тогда из (19) следуют более простые оценки: (а) Зе мс <8 (1, р)<2ем'. (21) Подставляя оценки (21) в (18), получим (л-!) (а) (и-!) — !бе — (е +2)мс~(к (1, 1)) <2М(е( е +Им', (22) Так как (а) (л) да о дс2 2 ду дк (и) (и) дсо г2(с, ()) и дк (и), 22(С, Р) то из (21), (22) имеем ]< = — е (и) А(С (л-!) длс(У,С)] Ео С З (е, +2)мС ду 1 (и ') -1 е~ +2) мс (23) из (15) получаем (и-!) (л) (с+!) Км е* )р((~' ) ! < (С+1)'(М (и ') 1 — ]7(м е1 +! 1] Ми!+1 (24) Пусть в области сс выполнено неравенство „(.-!)+, (С+ !) (,М (25) (а) (л) Аналогично могут быть оценены производные — и — . Преддг! дес полагая, что в области б ограничено отношение —: т б!9 л а СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ тогда из (24) имеем (л) (л-!) ~ р, (х, () ~ < 2 (С + 1) Км л' .
Если, далее, (28) (л -1) [Е, +З)М( <а (27) то из (23) получаем (л) д ' ! < — е' = Е, (28) и, согласно (26), (л) (р)(х, ()1 <2(С+ 1) К~ А 1=ЕР Итак, если в области 6 одновременно выполнены —,<К, ~ [Е + 1]е(е,(-2) Ан, < иы (С+ И (,М МЕ2+1 2 ' (Е, +3)м(() < а (29) неравенства (30) (31) (32) (33) то выполнены одновременно неравенства (20), (25), (27) и, следовательно, (л — 1) (л-1) Е( <Е(, Е, <Е,.
Поэтому при выполнении в 6 условий (30) — (ЗЗ) имеем (л) (л) (Р((х,г)) 1 дх ~<Е(, ! д (<Еъ (34) (и =1,2,3...), (л) (л) и все последовательные приближения г), д,(у, 1) обладают в 6 ограниченными первыми производными. Рассмотрим вопрос о возможности удовлетворения в области 6 неравенствам (30) — (ЗЗ). Зададимся произвольными конечными значениями а ) 0 и К' 1. После этого вычисляются величины Е( и Е, по формулам (29), (28). Неравенствам (31)— (33), очевидно, можно УдовлетвоРить, если выбРать паРаметР (л достаточно малым. Что же касается неравенства (30), то оно ограничивает снизу область значений р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
