Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 107
Текст из файла (страница 107)
и) После этого определяем следующее приближение г, (х, 1) как решение задачи Коши о) <() <о) ()г, < р <о) (р (1< +в<(г) ~о(х. 1). х 1) — =1) (г(, г,(х, 1), х, 1), (37) (() <о) г) (х. 1)! (о) = Р) (г,(х, 1), г,(х, 1), х, 1), ох (38) Е сли функции гь го и линии ОУВ„ОУо„удовлетворя<ощие этим требованиям, построены, то решение задачи Коши (1), (3) задается формулой г(х, 1) = г(х, 1) в зоне Уо,ОУВ„ го(х, 1) вне зоны Ур,ОУо,. (34) ЗЗЗ ГЛ. !. ОБОБП(ЕННЫЕ РЕН(ЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ (и а г,(х, г) — как решение задачи Коши дг! (о! (ы (ы (о! (и (1! — ! + йо(г! (х, !), г„х, !) — ' = !",(го(х, !), гм х„!), (39) (ы (о! го(х~ !)1 (о( = Р! (г! (х, !), !'о (х, !), х, !).
О во (40) (л-ы — =О! ( г, (х, !), го(х, !), х, !), х(0) =О, (41) л . (л-Ы вЂ” ! — — О,( г, (х, !), го(х, !), х, !), х(0) =О. (42) Эти интегральные кривые при достаточно малом Т лежат (л-П (л-1! в зонах Ы(~02'1 и 2'о+027 соответственно. В этом мы убеждаемся, исследовав поля направлений дифференциальных урав(«-ы («-ы пений (41) и (42) на линиях 02'~1, ОЫ( и ОЫ~Я, ОЫ« совершенно аналогично предыдущему.
(л! После этого определяем г, (х, !) с помощью решения задачи Коши (л! (л! (л-Ы ЗЕ (л! (л-ы (л! — + Б( (гп г, (х, !), х, !) — = ! ! (гь г, (х, !), х, !), (л! (л-П Г( (Х, !) ~(л-П = Я1 ( Г, (Х, !), ГО (Х, !), Х, !) (43) Решение задачи (37), (38) может быть определено в зоне (Ы (1! Ы! 02'~; в этой же зоне определим и решение задачи Коши (39), (ы (ы (40), а вне этой зоны положим, что г„го непрерывно примы(ы „ (и ка!от к их значениям на линиях ОЫ'~+ и О.УЕ и не зависят от координаты х. После этого процесс последовательных приближений ста(л- П новится стандартным.
Пусть известно приближение г (х, !), обладающее ограниченной производной. Сначала определяем (л-Ы (л-и линии 02'р, и ОЮр, как интегральные кривые задач $2. СИСТЕМА КВЛЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 633 (л) (л) (и) в зоне У)~027; в этой же зоне находим г,(х, () из условий (и) (л) йги (и-!) (л) д- (л-1) (и) ,)! + $2 ( Г! (Х 1) Г2~ Х~ () = 12 ( Г) (Х~ ()~ Гь Х ()~ (л) (и — 1) 12(Х !) ((л-() = ((2( Г( (Х, 1), Гл(Х, (), Х, 1) олр (44) Рис. 4.53 (л) (и) (л) (л) и полагаем Г„ Г2 не зависящими от х вне зоны Ж ОЫг (рис.
4.53). Мы не будем проводить здесь громоздких выкладок, связанных с оценками первых производных последовательных приближений (л) Си) ;7~ (1 ,2, г(, 32, так как они в основ- (1 ном повторяют проведенные „, р Е~ ОУ21 ранее, а фиксируем лишь х*," результаты. Если система (1) удовлетворяет вышеперечисленным требова- () .2 (л) (л) ниЯМ, а решения Г), Г2 ОСтаются ограниченными при любом р = 1,2, ..., то существует Т ) О такое, что при 0 ~; (л) = Т все последовательные приближения г(х, () (а = 1, 2,...) обладают ограниченными первыми производными. (л) (л) Зоной ли(( ОУ2 мы обозначаем область переменных х, (л) (и) в которой одновременно определяются функции г!(Х,() и г2(х, 1) как решения задач (43) и (44) (рнс.
4.53). (л) (л) (и) Вне зоны Ы(+ О Ы'2 мы дроп ределяем Г (х, 1) для того, чтобы в процессе метода последовательных приближений не происхо- (л)+ (л) дило уменьшения областей .У! ОЫ'2 за счет того, что функции (и-В (и-1) г,, г2 неизвестны в области определенности решений задач Коши (43) и (44). Наконец, наметим элементы доказательства сходимости метода последовательных приближений с тем, чтобы выяснить требования, которые гарантируют сходимость. (л) (л) В общей части зон У~!ОЫ'2 для всех и=1, 2, ... (таковая (л) существует и при достаточно малых Т содержит линии ОЯрл (и) ОЯр, при всех и= 1, 2,...) аналогично предыдущему нетрудно 5 3.
системА кВАзилинеяных РРАВнении бзб (л) значим процедуру построения приближения г (х, () с помощью равенства (л) (л-1) г(х, () = Т г (х, (), (1) где через Т мы обозначаем нелинейный оператор„который пере(л -1) (л) водит приближение г (х, 1) в приближение 7(х, (). Мы установили выше, что для каждой из рассмотренных конфигураций имеет место неравенство (л) (л -1) (л-1) (л-я Цг(х, () — г (х, ()/1<3/! г (х, )) — г (х, ()$, 0 < 3< 1, (2) где под нормой 1г(х,()!! понимается максимум модуля г(х, () в области 6. Неравенство (2) можно также записать в виде (л-В (л-я (л-1) (л-Л) ()Т г — Т г ~1~(В~1 г — й (й 0~(Р< 1. (3) Предположим теперь, что существуют два различных решения г(х, (), й(х, () рассматриваемой задачи Коши. Мыслимы при этом две возможности: 1) решения г и г соответствуют двум различным конфигу. рациям; 2) решения г и г соответствуют одной и той же конфигурации линий разрыва и волн разрежения.
Первая возможность, однако, сразу же исключается, так как она эквивалентна неединственности устойчивого обобщенного решения задачи о распаде произвольного разрыва, а, как мы видели в п. 5, это исключается требованиями, наложенными на систему двух квазилинейных уравнений, Поэтому нам остается рассмотреть случай, когда решения г(х,() и г(х,() соответствуют одной и той же конфигурации. значит, существуют два решения й(х, () и г(х,(), удовлетворяющие требованиям, которые формулировались в п. 7, и удовлетворяющие одному и тому же операторному уравнению: г (х, () = Тг (х, (), г (х, () = Тг (х, ().
(4) К решениям г и г уравнения (4) применим метод оценок, которые приводились выше для последовательных приближений; поэтому из (4) следует оценка (1 г — г 1) = 1( Тг.— Тг 1~ ~ <Д 11 г — г 1~, 0 < Р < 1, (5) что невозможно. Отсюда мы заключаем, что г= г.
Так доказывается единственность устойчивого обобщенного решения задачи Коши (3.7,1), (3.7.3). гЛ 4 ОВОВЩЕИИЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИИЕЙИЫХ УРАВНЕНИЙ (2) Наше второе замечание касается области, в которой может быть построено разрывное решение системы двух квазилиней- ных уравнений. До тех пор, пока число особенностей решения (линии разрыва, волны разрежения) остается конечным, мы можем применять указанный метод построения решения, раз- бивая область на части, в которых особенности носят изолиро- ванный характер. Однако особенности решения возникают даже из гладких начальных данных, и число их может множиться, возможно, даже неограниченно. Это обстоятельство затрудняет построение разрывных реше- ний системы двух квазилинейных уравнений в целом, т. е. для любых 1) О.
Заметим, однако, что в большинстве практических задач число особенностей остается ограниченным. 9. Теорема Глимма. Дж. Глимм 1!9651 доказал, что задача Коши д, + д = О, и (х, 0) = по(х) (1) разрешима в целом (т. е. во всей полуплоскости 1'=ь 0), если начальная функция из(х) достаточно мало отличается от по- стоянного вектора й.
О системе законов сохранения в (1) пред- полагается лишь гиперболичность в узком смысле и выполнение «условий выпуклости» г (и) ЧАЛА(и) > 0 (й= 1, 2, ..., и) в некоторой области 11 переменных иь ..., и„. В качестве меры уклонения начальной функции ио(х) от по- стоянного вектора й используются величины йя=гпах~ и,(х) — й ~(1+ 1о( чаг ио(х)), х -о <х< й1 — — шах~из(х) — й(+ 1о1чаг и,(х). х <х< Величина й~ применяется при рассмотрении общих законов сохранения, а йя — при рассмотрении систем (1), приводимых к инвариантам Римана. Малость йз накладывает на ия(х) су- щественно менее жесткие ограничения, чем малость пь Под обобщенным решением задачи Коши (1) понимается ограниченная, измеримая в полуплоскости 1)0 функция и(х, ~), удовлетворяющая интегральным соотношениям (й~и+ д,~р(и)) сУйх+ ~ д(х, 0) и,(х) йх=О (3) ~>о <х<х для любой гладкой вектор-функции й(х, ~), отличной от нуля лишь в ограниченной области этой полуплоскости.
$ а системА кВАзилинеиных уРАвнении 637 Т е о р е м а. Пусть для системы законов сохранения (1) в некоторой области Й выполнены сформулированные выше условия, Тогда для любого й~(г можно указать числа б ) О и К» О, такие, что если (4) й~ <б, то задача Коши (!) имеет в полуплоскости т') О обобщенное решение и(х,т), удовлетворяющее оценкам: зир ! и (х, г) — й ! ~ (К еи р ! ио (х) — й !, Х х 1о(чаг и(х, Г) (К 1о1уаг ис(х), (6) -а«к«ю !и(х, Г,) — и(х, Г,)!йх<К!Г,— Г,! 1о(чат и,(х). (7) -о~ «Х«ю Ю Если, кроме того, система законов сохранения приводится к инвариантам Римана, то условие (4) заменяется на более слабое условие йь -6. Отметим сразу, что теорема Глимма устанавливает лишь факт существования обобщенного решения. Вопрос об единственности решения задачи Коши (1) остается открытым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
