Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 111
Текст из файла (страница 111)
))')~ р(х, т) (25) ( .р рр, (,) 1 р (,,) „, (1 („(ц —, ((,,)( ~)) р о (о Начальные значения функций рв(х) и Оо(х) строго положительны и ограничены: % ь системА кВАзилинеиных уРАвнении баб позволяюшее оценить р(х, т). Из (25) имеем оценки -1 м,~хмх(~->хх '[,|хх) о х -! , (Х ) и-' (~ -~ хх [ м, ( ! х) о (26) (27) где введены обозначения тп (т) пипр(х, т), ть(т) =пипО(х, т), х х Мр (т) = шах р (х, т), Мь (т) = шах О (х, т), х х Константа М в (26), (27) зависит только от начальных данных. Если та(т) ) О, то из (26) имеем оценку сверху для плотности р(х, т) Мр (с) ~ ()У Запишем третье уравнение системы (20) в виде ьх Й= — '.(Й)+ й-~0',['-Ф ' и будем рассматривать его как параболическое уравнение для температуры 0(х, т). Тогда легко получаем оценку тпа (т) <гп + — ~ М (з)йз.
о Усиливая эту оценку с помошью соотношения (26), мы получим интегральное неравенство для гпа(т), из которого следует оценка снизу для тв(т). Из формулы (27) аналогично получается оценка снизу и для плотности р(х,т). Остальные априорные оценки получаются на основе известных приемов, разработанных в теории параболических уравнений. Не останавливаясь на этом, сформулируем основной результат работы А. В. Кажихова [1976[. Теорема. Пусть начальные данные (18) удовлетворяют условиям (22) и принадлежат пространству С.
м7. Соболева )у",. Тогда на любом конечном промежутке времени [О, Т[ существует единственнное решение задачи (16) — (19) со следующими свойствами: „-,Г[~ ( п~,„,+[[0(.)[[,,+~(ф(.)~ +ф(.)~ 1[о,[[ „,+[[охх[[, „,+[[О,[[...+[[О„„~[... < Здесь (г = [О, 1[, Я = й Х [О, Т) . ВЧВ ГЛ. Е ОЕОВШЕНИЫЕ РЕШЕНИЯ КВЛЗИЛИНЕПНЫХ УРАВНЕ!П1И Величины р(х,т) и О(х,т) строго положительны и ограничены в (;!.
Если при этом начальные данные достаточно гладки и выполнены необходимые условия согласования, то решение рассматриваемой смешанной задачи является классическим. й 4. Приложения общей теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа В этом параграфе будут указаны некоторые задачи физики, химии, математики, которые связаны с теорией систем квазилинейных уравнений гиперболического типа. Наиболее известным применением систем квазилинейных уравнений гиперболического типа является изучение одномерных течений сжимаемых газов и жидкостей, лишенных вязкости и теплопроводности.
В главе 2 подробно изучался этот вопрос и его г связь с теорией систем квазилинейных уравнений. Другими хорошо известй( ,,а ными примерами задач, свяЯ' занных с системами квази- линейных уравнений, явРяс. 4.56. лаются движение несжимае- мой жидкости в неглубоких каналах (теории амелкой воды»), сверхзвуковое установившееся течение газа или жидкости в двумерном случае, задачи нелинейной теории упругости, теории фильтрации и некоторые другие, Мы кратко остановимся здесь на некоторых из них. Б Теория «мелкой воды». Пусть в канале, имеющем форму, указанную на рнс.
4.56, течет тяжелая (в поле тяжести) несжимаемая жидкость. Будем предполагать, что жидкость лишена внутреннего трения, трения о стенки и дно канала, а уровень жидкости над дном канала й является малой величиной по сравнению с размерами неровностей дна, характерными разме. рами течения и т. п. Будем считать, что течение жидкости характеризуется одним пространственным переменным х и зависит от времени Е Тем самым мы считаем, что скорость жидкости и имеет отличную от нуля компоненту и„которую мы будем обозначать через и, а остальными компонентами можно пренебречь; кроме того, мы считаем, что уровень Ь зависит такмсе лишь от х и !.
и Ь ПРНЛОЖЕНПЯ КВАЗНЛННЕИНЫХ УРАВНЕНИП бот При этих предположениях выведем уравнения, описывающие движение жидкости*). Пусть Ь(х, г) — уровень жидкости, отсчитываемый от дна канала в точке х, р — плотность жидкости, 1 — ширина канала, и(х,1) — скорость жидкости, направленная вдоль оси х. Количество жидкости, находящейся в момент 1 между двумя поперечными сечениями канала плоскостями х = х1, х = хд, очевидно, есть величина к. т, ~ р(Ь (х, 1) е(х = р1 ~ Ь (х, 1) е(х. Х к, Изменение количества жидкости в этой части канала между моментами 1 = г1 и г = ге есть величина р( ~ (Ь(х, 1,) — Ь(х, 11)) с(х, х которая, очевидно, должна равняться количеству жидкости, втекающему за время от 1 = Г1 ДО 1 = 1Е ЧЕрез плОСкости х = х1 и х = хь т.
е. величине — р( ~ [Ь (х,, Г) и (х,, 1) — Ь (х1, 1) и (хо 1)) 1(1. (2) Приравнивая (1) величине (2), получим уравнение ~ (Ь (х, Г,) — Ь (х, 1,)) 11х + ~ (Ьи )„„— Ьи ),, ~ 111 = О, (3) которое, очевидно, представляет собой интегральный закон сохранения массы жидкости. Как обычно, из (3) вытекает интегральный закон сохранения ~ Ь е(х — Ьп е(Г = О, (4) с справедливый для любого замкнутого контура С плоскости переменных х, Ь и двфференциальное уравнение — + — Ьи=б дд д аг Лх в случае гладких течений.
*) Нлш иыиод имеет лишь нииодяшиа характер. Строгое оаоснование теории «мелкой иоды» см. н работе л. В. Овсянникова (19731. Б58 ГЛ. Е ОБОБШБННЫЕ РЕШЕННЯ КВАЗНЛННЕННЫХ УРАВНЕНИЙ Изменение полного импульса жндкости в той же части канала за время от г = г1 до г = гг равно величине х, р1 Г) ) Ьи ~с„с — Ьи 1,, ) с(х. х Импульс жидкости изменяется в этой части канала за счет двух эффектов: за счет переноса импульса потоком через плоскости х =- хг н х = хг в количестве — р1 ~ )игЬ ~ — игЬ ~ ") г(г, (7) (6) (9) — + — (сгсг + —,Ь хг =О.
али а Г ас ах (. в (12) а также за счет импульса сил давления в плоскостях х = хс .с: = хг. Вычислим полное давление р(х,(), действующее в сечении канала. Считая, что на свободной поверхности жидкости е = Ь давление равно нулю, будем иметь по барометрической формуле р = рк (Ь вЂ” е) (й' — ускорение силы тяжести) и л л р(х, г) =1~ рг(е=)рд ~ (Ь вЂ” х)с(е= ~ )роЬ'. о о Поэтому импульс сил давления в сечениях х = хс и х = х2 за время от г = гс до с = сг дается величиной — ~~ ~ [Ь2(х„г) — Ь'(хн г)] сгд с, Приравнивая теперь (6) сумме (7) и (9), получим инте- гральный закон сохранения импульса жидкости х, )Ьи~с с — Ьи|, А 'г(х + х + ~ ЯЬи2+ д — "1~ — ~Ьиг+ а — 1) ~ й=О.
(10) Уравнение (10) может быть записано в виде интегрального закона сохранения импульса $ Ьи с(х — (lгиг+ д —,) г(г = О, (11) с из которого для гладких течений следует дифференциальное уравнение 659 5 ь НРиложвнпя кВАзилиненных уРАВнений Соединяя уравнения (5) и (12), получаем систему двух квазилинейных уравнений для 6(х,(), и(х,!): дл даи дли д Г и й г! д + д — — О, д! +д (пи'+ о 6)=О. (13) Теперь легко заметить, что система уравнений (13) совпадает с системой уравнений газовой динамики изоэнтропического течения идеального газа с показателем аднабаты у = 2.
В самом деле, если величину Ь обозначить через р и считать, что р = Ув р', то система (13) переходит в соответствующую систему для указанного случая (см. гл. 2). Из этого сравнения мы, в частности, заключаем, что система (13) — система квазилинейных уравнений гиперболического типа и что решения ее, вообще говоря, разрывны. Разрыву решения системы (13) соответствует внезапное повышение уровня сс(х, !), так называемый «прыжок воды». На фронте разрыва должны выполняться обычные условия Гюгонио и условия устойчивости. 2. Плоское установившееся течение сжимаемого газа. Другим хорошо известным примером системы квазилинейных уравнений гиперболического типа является система уравнений, описывающих плоское установившееся сверхзвуковое течение сжимаемого газа. Если и, о — составляющие вектора скорости д, то эта система имеет вид и — +р — + о — +р— др ди др до дх дх ду ду ди ди ! др и — +о — + —— дх ду р дх до до ! др и — +о — + —— дх ду р ду дд д5 и — +о— дх ду =О 'р р о — ~и О о — си с йрз Рз Р о — ~и с Р с Р О =О О о — $и О О Эта система описывает лишь гладкие течения.
Необходимая для рассмотрения разрывных течений консервативная форма уравнений (1) приведена ниже. Характеристическое уравнение (4-й степени) для системы (1) имеет вид еео гл. е оьоьщенныь гьшьння квлзилиньпных углвнвннн или (в — си)с Ю(и' — с') — 2иа$+ (а' — с')] = О, (2) ар д ис+ с2 (4) ( а д д 1 здесь — = и — + в — ) . Соотношение (3) означает ноас аи ау ) стоянство энтропии на линии тока и, очевидно, независимо с уравнением (4). Вводя в рассмотрение функцию Н (р, 5), заданную уравнением с)(р, 8) р Р получим из уравнений (3), (4) — „'' (И (р, В) + ф) = (). (5) Таким образом, линии тока соответствуют два инварианта 2 Римана: энтропия Я и В=Н+ — д'.
Следующее из (5) на линии тока равенство В = сопз( называется интегралом Бернулли. Выражение остальных (так называемых звуковых) характеристических значений системы (1) таково: $ ис ~ с з/с' — с' сс сс ис -ь с З/у' — сс ис сс где $= — — характеристическое направление системы (1), ау дх Первый множитель дает двукратный корень э = в/и. Соответствующая характеристика есть, очевидно, линия тока. Она, таким образом, двукратно выро>кдена. Второй множитель в левой части (2) имеет вещественные корни лишь при де = и'+ о' ~ сс, В звуковом случае (д = с) оба эти корня совпадают и система (1), как нетрудно проверить, не является гиперболической. Напротив, в сверхзвуковом случае (д ) с) она гиперболического типа. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что кратному собственному значению Е = а/и соответствуют два линейно независимых собственных вектора, т.
е. два независимых уравнения в характеристической форме системы (!). Несложные выкладки приводят к следующим двум уравнениям, содержащим лишь дифференцирование вдоль линии тока: (3) з с пьччложення квхзнлннвиных ггхвнвнпп 661 др Харистернстики — „=-Е образуют с линией тока углы а и — а соответственно, причем с 1 е з(пи= — = —, М=— д М' с х.
~ ~(и, + а~] ~,, — (и; + а;] ~,, ] дх + ж + ~ У(и~(хы 1) — и!(хн 1)]с(х=О (1) (1= 1, 2... п), которые для гладких ио а; сводятся к дифференциальным уравнениям дцс д У вЂ” ' + — (и, + а~)=0. дх д~ (2) Сделаем предположение о мгновенном характере сорбции, т, е. будем считать, что в каждой точке трубки и в каждый момент *) Си Н. Н. Кузнецов (6967]. (угол а называется углом Маха, а функция М вЂ” числом Маха). В заключение приведем дивергентную форму уравнсний (1): — + — =О, дри дрс дх ду — (р + ри') + — „(рио) = О, —,(р )+ — (р+ро')=О, д д д, ]Ри 1,е + — + я )] + д ]Ро (е + — + 2 )] = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
