С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Зто означает, что все перечисленные сейчас функции — целые. 354 пРСОБРАЗОБАиие лАплАсл и метод ФуРье (гл, ш Решение о„о, системы ЬР1 Ло, +й1 — „+т„о, +т„о, = ям ""2 Я о2 ~2 лх + т21о1 + т22о2 ~рл принимающее при х=О начальные значения (А„А,), записывается в виде о, = о1+ Ало1Р+А,о'1", о, = о2 + А,ол" + Алол'. Посмотрим, какие должны быть А„А„чтобы о„о, удовлетво- ряли граничным условиям а,о,(0, Л)+а,о,(0, Л) =О, Р1о1 (( Л) + Р2о2 (( Я") Для этого А„А, должны удовлетворять системе: а,А,+а,А,=О, [[),о1" ((, Л)+ [)ло2" ((, Л)] А1+[~1о1'((, Я)+~2о2' ((, Л)) А, = Р1о! (( Я') Рло2 (( Л). Обозначив через )О(Л) определитель этой системы: 0 Л)= Р1о1 (( Л) + [)ло2 (( Л) ()1о1 (( Л) + Рло2 (( Л) мы приходим к формулам для А„А,: а2 [()12",' ((, Л)+Р2и ((, ЛЦ а2а (Л) О (Л) О (Л) — а1 (р11," ((, Л)+Рло„': ((, Л)! — а12 (Л) 0 (Л) = 0 (Л) Очевидно, что а (Л), ):) (Л) — аналитические, целые функции Л.
Внутри полосы ,'КеЛ;(сопз( выполнена оценка ! а (Л)' ,( —. (! р1 ! + рл !). Очевидно также, что ~Е)(Л), '-сопл( в нашей полосе. Это позво- ляет написать, что решение краевой задачи представимо в виде о, = о1 + Ало1'+ А,о1" = о, (х, Л), и (л) о, = о2 + Алол" + Алол" = о, (х, Л) 0 (Л) с целыл1и аналитическими (по Л) о,(х, Л), о,(х, Л), удовлетворяю- совстванныв еэнкпии кглввои злдлчи ш ими при достаточно больших; Л)(! ЙеЛ)(сопз() неравенствам сопг) ) о)'.( —. 1(ля Р(Л) имеем в той же полосе формулы )Л! Р (Л) = и!о) (( Л) + игог (( Л) и1о) (( )") + ()го2 (( Л) ( аг ~ е — 1У (и — оып ~ еггг)п+ о*а) ~ ~ ) Л / / 1 а Р ЕЗ,Мин + Щ а) — Сг РŠ— Хе~ а) — Ог)о+ 0 ~ 1 ~)Л~ )' Напомним, что а)ФО, сггФО, ~)чьо ()гало.
Будем говорить, что вектор-функция (о,(х), о,(х)) является собственной вектор-функцией с собственныл) значением Лг, если о„ о, не равны тождественно нулю, удовлетворяют однородной системе ЕЬ1 Л о)+Ф) „+т))о)+тгго:=0 Всг Лгог йг вх +тмо)+тггог=о и граничным условиям аго (О) + аго (О) = О, ~1О1 (()+гягиг (() Вектор-функции, тождественно равные нулю, к числу собственных функций не причисляются. Покажем, что всегда, если Р(Л,) = = О, то существует собственная вектор-функция с собственным значением Л,.
В самом деле, равенство нулю определителя системы сг,а,+а,а,=о, (())о)Р'(( Лг)+()гогг'(Г, Л,))а)+(О)о)' ((, Л)+~,ог" ((, Л)]а,=о показывает, что у этой системы есть ненулевое решение а„а„ т. е. существует вектор-функция о,(х) =а,о)'(х, Лг)+иго)'(х, )г), о,(х) =агогг'(х, Лг)+агог-' (х, Л,), удовлетворяющая однородной системе, граничным условиям и принимающая в точке х= о начальные значения (а„а,), образующие ненулевой вектор. Пусть теперь, наоборот, Р(Лг) ~О. Любое решение однородной системы записывается в виде о) = А)о) + Аго) ог = А)о)' + Агогг пРеОБРА30ВАние лАплАсА и метОЕ ФРРъе ~гл. ш Если известно, что это решение удовлетворяет однородным граничным условиям, то, следовательно, для А, и А, выполнены равенства аАА, +а,А, =О, Ц31о|ь((, Ль)+Р,ОУ'(( ЛБ)]А1+[Р1о1" (( Ло)+Рзоз" (( Ло)) Аз=О. Так как определитель этой системы Р(Л,)~=0, то отсюда вытекает, что А, =А,=О.
Значит, о,= — о,=О и Л, не является собственным значением. Итак, мы показали, что собственные значения (и только они) являются нулями некоторой целой аналитической функции Р (Л). Покажем еще, что при )ЙеЛ))К, а следовательно, и подавно при ))теЛ))К* )К не может быть нулей Р(Л), т. е. собственных значений. Этот вывод будет сделан при помощи следующего рассуждения, которое можно сделать совсем строгим.
У нас опо будет строгим не до конца. В чем его нестрогость, мы отметим позднее. Пусть Л=Л„является нулем Р (Л). Как было показано, отсюда следует существование вектор-функции (о,(х), о,(х)), удовлетворяющей уравнениям дь1 Льо'+й' йх +тыо1+тмоз=О иь, Льпь — йь йх +тмп,+т,ьсз —— 0 и граничным условиям а1о, (0) + а,о, (0) = О, бр, (() + б, , (() = О. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что функции и,(х, () =е"'о,(х) удовлетворяют исходной системе уравнений и его граничным условиям. Это решение растет при ~- ОО как сии'", что невозможно при )те Ль ~ К.
Отсюда и выводится, чз о Ке Ль ~ К. Нестрогость э~ого вывода, впрочем, устранимая, состоит в том, что оценка роста решений как ек' была выведена только для достаточно гладких начальных данных, гладко согласованных с граничными условиями. Лля решения, участвующего в нашем рассуждении, в качестве начальных данных надо выбрать ~р,(х) =о,(х, Л ). Исследование гладкости собственных функций и согласования втой гладкости с граничными условиями мы ие проводили.
Зот СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОИ ЗАДАЧИ То, что йеЛ,) — К, показывается точно так же, если заметить, что решение елип„(х, Л,) при ( — л.— со растет не быстрее екы~ =е-к'. Таким образом, мы доказали, что все нули 0(Л) расположены в полосе ~ йеЛ~ <)л*. Мы в дальнейшем убедимся, что 0 (Л) не является тождественным нулем. Отсюда уже можно будет сделать важный вывод, что нули 0(Л) лежат на плоскости Л дискретно, не имея конечных предельных точек, и каждый из этих нулей имеет конечную кратность.
Если бы это было не так, то по теореме единственности для аналитических функций 0(Л) было бы тождественным нулем. Итак, в каждой конечной области полосы Л существует конечное число нулей Р(Л). (Каждый нуль считается вместе с его кратностью.) То, что Р (Л) =„ФО, вытекает из асимптотической формулы, которую мы получили для больших по модулю Л, лежащих в полосе йе Л~, < сопз(. Из нее же будет вытекать асимптотический закон распределения собственных значений, попавших в эту полосу. Асимптотическую формулу для 0(Л) мы получили в виде: Р(Л) =а ()оело*нлч.жил — ао() е — ло и> — Р и>+Р(— (а, Ф О, йо Ф О, а, М О, рл Ф 0).
Обозначив — '' =е' (т вещественно или комплексно, в зааиси- аоР мости от знака дроби), можем написать 0(Л)=аорле — 'У ил Б ш(ел' ил+мин~-пии)-~и нп+ ))+ +О( —,',)=Д(Л)(е Ф + ()) Р( ' ), где обозначено Д(Л) =ао()ле ло и> — Р ш ! л "="")+"")-~, +5... о о У 1 П а 1 6 2 а,в, ' Внутри полосы ~ йе Л ( < сонат множитель д (Л) ограничен по модулю как сверху, так и снизу: О<Д,<)Д(Л))<Д,. пгвовяхзовлние ллплхсх и метод етгьв [гл. !и Рассмотрим теперь (внутри нашей полосы) уравнение Р(л) =о, Р(л)=д(л)( .+ + — 1)+о( — „' )=о. Ол )- В его корнях, очевидно, ех"+х" =1+0( — ) или, что то же самое, Лх+р+т=(2пр+0( — )=12пр+0~ — ), р=О, +-1, .
~л~) Иными словами, Л Р !' 0 и + ! ~/ Мы показали, что при достаточно больших !Л( в нашей полосе нули Р(Л) могут быть лишь вблизи точек Покажем, что при достаточно большом р действительно существует, и притом только один, нуль Р(Л) вблизи такой точки. Выберем некоторый достаточно маленький радиус и такой, чтобы внутри окружности ( Л вЂ” " ) =р (Л = " +ре'э) лежал только один нуль функции ех"'х" — 1.
этот нуль, очевидно, отве— и — х чает значению Л = . Очевидно, что внутри каждой из окружх настей + ре' 2рх! — И вЂ” х х при любом целом р будет тогда содержаться только один нуль Л = Рх' и ~ функции Д(Л) (ех"!х!' — 1). На этих окружностях х выражение в фигурных скобках ех нх.!х 1 ехолэ не зависит от р и, следовательно, ограничено снизу по модулю положительной постоянной.
Функция Д (Л) тоже ограничена снизу по модулю (~Д(Л)~)Д„). Поэтому (на окружностях) все произведение ) Д (Л)(Еах!Ххх — 1)! ~- б Следовательно, по теореме Руше это произведение, отличающееся ! от Р (Л) на 0 ( —,), будет при достаточно больших р иметь внутри такой окружности столько же нулей, сколько и Р(Л). 359 совстванныа ээнкции крлввои злдлчи Отсюда вытекает существование и простота корней Р(Л) внутри этих окружностей при достаточно больших по модулю р.
Пусть при ~ Л(= ~ о+(т ~ = ~' о»+т») )«все нули в полосе ~ 1«еЛ~ =!о~(сопз1 — простые и лежат по одному внутри окружностей 2рх! — )« — э;а +ре' . В конечной части полосы, высекаемой неравенством (Л(~Р, имеется конечное число нулей, считаемых столько раз, какова их кратность. Таким образом, число нулей в прямоугольнике — Ке(о(К», — (2р+1) х — 1«п е (2р-1-1) х — 1п«х (т( х х равно (при достаточно больших р) 2р+р„(р,— некоторое фиксированное целое число). Пусть теперь Л=о+1 ( — Ке(о(К*), т.
е. . (2р+1) х — 1я«е пусть Л пробегает горизонтальный отрезок, лежащий (при больших р) почти «по середине» между двумя нулями +0( —,) и 2!рх — р — е ! ! ( ) 21(р+!)л — )« — х / ! Р Ьи) х +о( — ~. На этом горизонтальном отрезке еххехее 1 еехлнеаеее!!»Р»)х 1 еех+ нее+я )ех" х-' — 1 ' ) 1, ! Р (Л); = ~ Л (Л),: е'"""' — 1;+ О ( —,', ) ) Л, + О Ж ) Ф (при достаточно больших р,). Теперь вспомним про представление о,(х, Л)= "' ', о,(х, Л)~( полученное в начале этого параграфа.
Из этого представления и неравенства для Р(Л) следует, что на изучаемых горизонтальных отрезках ("= (2р+!) х — !«х е х СОПЬ! ~ э,(х, Л)',с На е!ох! мы заканчиваем изучение функций п«(х, Л), определенных в полосе Ке).)--- К' с помощью системы дифференциальных зао пгеовгхзовхнив лхпллсх и мвтод еуеьв [гл и уравнений, зависящих от параметра Х, Й~, Хп, + й, — „+ тпо, + т„о, = урн ~Ь, Лоз Аэ +т2101+т22о2 = Ч~а 0(х(1, а,п,(0, Х)+а,о,(0, Х) =О, Р,о,(), Л)+Р,о,(г, )) =О. Вспомним теперь, что в $ 28, рассматривая решение обратимой гиперболической системы ди1 ди, д-+А,(х) — +т„(х) и,+т„(х) и,=О, дир ди~ -ду — йэ(х) д +ты(х) и,+ты(х) из=О, и~(х, 0)=~р~(х), а,и, (О, 1)+а,и,(0, ~) =О, р1и, (Р, () + ~,и, ((, Г) = О, растущее вместе с производными не быстрее, чем ек', и его пре- образования Лапласа о,(х, Х) =~ и,(х, 1)е-"'Ж ()теХ)К), о п,(х, Х)= ~ и,(х, Ое-"'Ж (неХ( — К), э мы установили, что эти преобразования ст(х, Х) являются аналитическими функциями Х в указанных полуплоскостях и удовлетворяют там как раз тем уравнениям, что изучались нами при 1)теХ',(К*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
