С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 53
Текст из файла (страница 53)
С помощью правил дифференцирования несобственных интегралов по параметру легко убедиться, что в каждой точке полуплоскости КеЛ)К существует производная ' ' , представляемая сходящимся интеградоо (х, Л) лом: СΠ— ио(х, ()( е о(й Отсюда следует, что о,(х, Л) в полуплоскости )(еЛ)К являются аналитическими функциями Л, зависящими от вещественного параметра .х. Определим еще преобразования Лапласа от производных дио (х, 0 дио (х, 0 Эти преобразования можно также считать дх ' д( определенными при Ке Л) К и нетрудно проверить, что дио(' ') Ас,(( д (' и о 0 ы,(( д' (' Л) о о СО С = сю — 'е-~й=(и,(х, 1)е-~, — ) и;(х, ()о(е-'~= с=о = — и,(х, О)+Л ~ и,(х, () е "Ш= — ср~(х)+Ли~(х, Л). о Теперь нетрудно получить для о,(х, Л) обыкновенное дифферен- циальное по х уравнение, зависящее от параметра Л: М /дид ди, 0= р~е- ( д(-+й, д, +тип,+т1оио)~й= — ор,(х)+ о +Ли,(х, Л)+Й, ' +тми,(х, Л)+т,оио(х, Л), .
до,(х, Л) Мы пишем для производной ' ' знак обыкновенной производдх до~ (х, Л) ной 'д ' , тан как в дальнейшем дифференцирование по параметру Л нн в каких выкладках до 3 31 не будет участвовать и, $281 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ 337 следовательно, такое обозначение не сможет привести к недоразумениям. Аналогично, рассматривая интеграл 0= ) е- (-у- — й, д +тми,+тмио)222, 22 7дио дио о получаем второе уравнение — 1р,(х)+Лоо(х, Л) — й, д +т„о,(х, Л)+т„о,(х, Л) =О. до,(х, Л) Система обыкновенных уравнений до1 Ло1+ lг1 — „„+т11о1+ т12оо = 2р„ Ло2 й2 дх +т21о1+1П22оо ро будет играть в наших дальнейших исследованиях важную роль. Нетрудно проверить, что о,(х, Л), о,(х, Л) удовлетворяют при х=О и при х=( граничным условиям а1о1(0, Л)+аооо(0, Л) =О, Р,о,((, Л)+Р,о,((, Л)=О.
Их проверка выполняется так (мы ограничиваемся проверкой лишь одного): а1о1(0, Л)+а,о,(0, Л) =а,~ е "и,(0, ~)й+ао $ е-"и (О, 1) о(1= о о = ~ е 22 [а1 и, (О, () + а,и, (О, ~)) 2(( = О. о Мы определили преобразование Лапласа в полуплоскости 22е Л ) К. Если выбрать К*) К)0, то оказывается, что в полуплоскости йеЛ) К* может быть получена чрезвычайно важная для дальнейшего оценка: ~ оо(х, Л) ~ ( — . Выведем ее. Сначала покажем, что (КеЛ) Ко) ( о; (х, Л) / = ~ ио (х, 1) е 1' Ш ( ~ ( и,' ,е — к' 2(( ( о о К2 — К' ( сопз( р ек' е — к"' Й = 9 (гл щ пРеОБРА3ОВАние лАплАОА и метОд ФуРье Аналогично: до~(к, Л)) (' диь(х, 0 сопь1 1 .' ~=~ дх К'' — К ' о Из обыкновенных уравнений, которым удовлетворяют О, (х, А), находим: 1 Г о,(х, )) = — ~~Р, (х) — й, —,— — тмо, — тмоь), оь (х, А ) = — (суа (х) + Йь д — ты и, — тььиь1.
ь дх Если правую часть этих равенств оценить с помощью только что полученных неравенств, то мы и придем (при Рсеь> К*) к обещанному утверждению; О~ (х, А) ) ( При каждом фиксированном х функции и; (х, () удовлетворяют всем тем условиям, которые обеспечивают применимость теоремы об обращении преобразования Лапласа, доказанной в предыдущем параграфе. Поэтому а сь ЬЬ и,(х, 1) =~— , ') О,(х, А)е~'иА+О( — ).
а — 1Ь В этой формуле интеграл берется по отрезку прямой )се А=а, параллельной мнимой осн и такой, что а>К. При фиксирован- ном а оценка равномерна по 0(х((, Теь(=-(а>0. Равномер- ность по х следует из того, что оценка )и, , '(сопз(ек', ! — ')(Сопз(ек', дЬ ('"'д" ) — '"'; )! С()(,), ~(,~))",(,— („ содержит константы, не зависящие от х. Фиксировав К*, мы будем полагать а = К*. Итак, теорема существования решения у гиперболической системы в полуполосе ( > О, 0 -=.х ==.( позволила нам определить его преобразование Лапласа, компоненты которого являются аналитическими функциями от параметра Х в полуплоскости сопз1 Ке Л > К, и получить оценку ( о; ) ( — в полуплоскости це Х > >К*>К>0. Кроме того, обоснована возможность вычисления и,(х, () при О-=.х((, 0((а(((Т через и,(х, )) с помощью приближенной формулы обращения преобразования Лапласа с рав- номерной оценкой остаточного члена.
$2Щ пРеОБРАЭОВАние лАплАсА для Решений системы ззз Теперь посмотрим, какие выводы можно сделать из обратимости исходной задачи, т. е. из существования ее решения в полу- полосе (<О, 0(х-=.(. Для этого рассмотрим интегралы: ди;(х, Г) дв~(х, Х) о дх дх о ~ е-А' ' ' с((=[е-ми,(х, 8))р -+х ) и,(х, ()е-мс((= о о = — <рс (х, 0)+ ).Ь, (х, ) ). Сходимость этих интегралов и законность выполненных преобразований легко обосновывается при Йе) ( — К.
С помощью оценок ! и, (х, () / ( сопз( ек' ' ~, 1-~ ди~ 3 дх ~ — ~<сонэ(екы~, ~ — /(сопз(ек~п ! ди~ ~ дс точно так же, как и для преобразования Лапласа при )сед) К, проверяется, что б~(х, )) удовлетворяют уравнениям дйд )б,+й, — „— +т,то,+тмо,= р„ (Йе) < — К) дд, Абс — йс д. +гпмо1+шс1ох = сгх и граничным условиям а,б, (О, А).+ а,б,(0, ),) = О, й,б, ((, Х) + й.б, ((, ~) = О. ~ б; (х, ) ) ~ = ~ е-"и, (х, () Ш о < сопз( ~ е-"' '' ек''й о е — с(( <— 1 ди~ сипы дх К' — К' о ~ дд,(х, А) ~ Эти уравнения и граничные условия по своей форме никак не отличаются от тех, которые получены при Йе). ) О для о;(х, А).
В дальнейшем мы этим обстоятельством воспользуемся. Точно так же легко убедиться, что б,(х, А) — аналитические функции )с при )Ае) ( — К. Рассмотрим теперь наши функции б,(х, )с), д„' в полуплодэр (х, Л) скости )(е) ( — К*< — К: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1гл, ш Записав уравнения для б, в форме 1 1 дв1 б1 = ) 2р1 Й1 д 1пмб1 2Л12о2~ о2 Л ) ч'2+ ~2 Ах о121о1 ТЛ2202) и используя для правой части полученные оценки, находим, что )о,(х Л))< — """ при КеЛ< — К* )Л) В дальнейшем мы изучим поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений й~~ Ло, +е1 — +т„о1+т12о2 = го,, ЕО2 Ло2 й2 + 1Е21о1 + П22о2 Ч~2 РХ с граничными условиями а,о, (О, Л) + а,оз (О, Л) = О, р1о1 (1, Л) + р2о2 (1, Л) = О при изменении Л в полосе — 2К* < Ке Л < 2К*.
Во время этого изучения выяснится, что решение системы единственно для почти всех Л из этой полосы. Более того, все точки, в которых единственность нарушается, лежат дискретно в полосе ~ )Те Л' ,< К (напомним, что К<К*). Из этой дискретности будет выведено, что существует полоска ) 1ш Л вЂ” а ~ < р, внутри которой всюду имеет место единственность. Будет также показано, что в окрестности каждой точки единственности решения о;(х, Л) являются аналитическими функциями Л.
Из теории функций комплексного переменного известно, что аналитическая функция однозначно определяется своими значениями в любой сколь угодно малой области. В дальнейшем будет показано, что в полосе К'~ ЙЕЛ==. 2К* решение системы обыкновенных уравнений единственно и, следовательно, совпадает с вектор-функцией (о,(х, Л), о,(х, Л)), получившейся преобразованием Лапласа из вектор-функции (и1(х, 1), и,(х, 1)). Следовательно, та аналитическая функция от Л, зависящая от х как от параметра, которая определяется в полосе (с выколотыми дискретными точками неединствеиности) — 2К* ( Ке Л ( 2К*, является аналитическим продолжением этого преобразования Лапласа.
В частности, рассматривая аналитическое продолжение вдоль полоски ~ 1гп Л вЂ” а ~ < р в левую полуплоскость йе Л < — К*, заметим, что в силу единственности решения системы обыкновенных уравнений в полосе — 2К* < 1(еЛ< — К* там это аналитическое продолжение будет совпадать с (о1(х, Л), о2(х, Л)). 4 281 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 341 Зтими рассуждениями обосновывается возможность аналитического продолжения преобразования Лапласа о,(х, Л) = ~ е-2!и!(х, 1) 2(1, о определенного этим интегралом при КеЛ) К, на всю плоскость комплексного переменного Л, за исключением некоторой дискретной последовательности точек, лежащих в полосе ~ Ке Л ~ ( К, В дальнейшем выяснится, что точки этой последовательности, как правило, являются полюсами для о,(х, Л). (Зти полюса общие для всех х.) Оказывается, что полюса можно занумеровать ..., Л Л-реп Л-! Ло Л2, Лр, ... так, чтобы пРи (Р(-Роо имела место асимптотическая формула: 12рл — И вЂ” т+ ( 1 ) Параметры р, т, х легко вычисляются через коэффициенты й,(х), й,(х), т2,(х) изучаемой системы и через коэффициенты а„а„ р„ро граничных условий.
Отметим, что параметры л и р вещественны, а т может быть комплексным, и что все полюса лежат в полосе ~ йе Л , '( К*. Рассмотрим еще горизонтальные прямые (2р+1) л — 1!по х от каждой из которых полюса Лр и Лр„асимптотически (при больших р) удалены одинаково. Будет показано, что на отрезках, высекаемых из этих прямых полосой ~ йеЛ(~2К*, имеет место оценка ~ гч(х, Л) ,'(— равномерно для всех х. Мы сейчас покажем, как, воспользовавшись этим обстоятельством, можно замкнуть контур интегрирования в формуле обращения преобразования Лапласа.
В последующем интеграл по замкнутому контуру будет уже нетрудно заменить суммой вычетов по полюсам. Обоснованную ранее формулу обращения преобразования Лапласа нам теперь удобно записать в следующей форме: . 2р -!- ! к'ч ' — л х и2(х, 1)= —. ) Д,(х, Л)еои2(Л+0(--). к — ! — л 2р+ 1 х /11 Напомним, что оценка остаточного члена О ( — ) равномерна при Р О~х(1 и для любого фиксированного отрезка времени с ниж- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ (гл !ч ней границей, отделенной от нуля: 0(1,= 1= Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
