С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Рн бесконечно дифференцируема. Поэтому во втором интеграле можно поменять местами операции интегрирования и дифференцирования. А первый интеграл преобразуем интегрированием по частям два раза и воспользуемся периодичностью функции и(х, у). В результате получим соотношение — л 1 и(х, у) з!и их!(х+ — — ~ и(х, у) з(пих!(х= — 0 3 Ф Г ЬУ2 1 о или, что то же самое, — л'Ьл(у)+--,Ьл (у) =О. Общее решение этого уравнения имеет вид Ьл (у) = А„з(! лу+С„с)злу Из интегрального представления функций Ьл(у) видно, что они непрерывны при 0(у -1. Следовательно, из условия и(х, 0) =0 (а следовательно, и Ьл(0) =0) окончательно имеем Ьл (у) = А „Ф пу.
Итак, мы получили, что для функции и (х, у), удовлетворяющей нашим предположениям, справедливо представление и(х, у) = ~Ч,' Ал Ф пуз!и пк. л= ! В частности, и(х, 1) = У, 'А„з)!па(пих, откуда вытекает, что л=! ! А „з(! л ~ = — ~ и (х, 1) з ! п пх дх =- 2 шах и (х, 1) ~ = К. ! О Следовательно,; А„~ ( —, и Из этой оценки вытекает, что ряд (1) можно любое число раз дифференцировать почленпо прн 0: у ~ 1. В частности, а ~ =Ч!(х) = 7, пА з!пах УУ!У= О и=! — КОЗффнцнв ! Ы фчри Е фуи ции нвкоРРвктныв злдхчи Тем самым получено (при наложенных выше предположениях) решение задачи Коши для уравнения Лапласа с условиями: и(х, О) =О, ди ~ — =~у(х) = ~ а„в1п пх. ду ~и=о л=! Мы показали, что если решение существует в полосе 0 ( у ( 1, то и(х, у) = ~ --"зп пуз(ппх (2) (3) ~ а„~ ( сопз1 —. вн и' И обратно, если коэффициенты Фурье а„удовлетворяют неравенству (3), то ряд (2) дает решение задачи Коши.
Действительно, легко проверить, что каждый член ряда является гармонической функцией и, в силу неравенства (3), ряд можно дифференцировать любое число раз прн ~у~(1. Следовательно, функция и(х, у) тоже гармонична и удовлетворяет начальным условиям. Пример Адамара показывает, что задача восстановления и(х, у) ди(х, д) ~ по и (х, 0), ' " ~ не является корректной. Однако если знать, что решение существует и удовлетворяет некоторым неравенствам, то оказывается, что его можно приближенно решить, даже если пользоваться не совсем точными начальными данными. Мы расскажем решение задачи о восстановлении и (х, у) = ~~~ †" й пу в(п пх ~=1 по приближенным значениям ф(х) = 'У', а„в(ппх.
Наш рассказ будет основан на работе М. М. Лаврентьева. Решаемая задача некорректна. Однако если предположить, что мы вос. станавливаем решение, про которое известно, что ~ и'(х, у) дх(Л!' при всех 0(у(1, о то некорректность исчезает благодаря следующей теореме. Теорема. Если и(х, у) — непрерывная при О=у=-1 гарма.
ническая функция, удовлетворяющая нашим условиям периодичности з!е УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА !Гл. и1 и регулярности: и(х, 0) =О, ~ и'(х, !) йх ( М', ~ гр' (х) их ( т' о о (~р(х) =и„(х, 0)), ) и'(х, у) йх(у'и'мыл Маг. о Положительную гладкую функцию )(!) ) 0 мы будем называть ач логарифмнчески выпуклой, если — „, )п) (!) )О. В силу равенства лч л /! л! ~ /'у — !'2 —,!и)'(!) = — ( — — — ) = )0 м- лг (! лг) выполненного для любых «, т!, если только для них выполнены неравенства Я'+2ДО+~д') О, Я'+ 2Ят!+ ~аг!' ) О, означающие логарифмическую выпуклость Го Га Очевидно, что доказанный факт имеет место для любого конечного числа слагаемых. в!О а1 2. !'(Г) =, логирифмичвски выпукло при любом о, деле, Лемма В самом ла 2 а|Р а! — а'Р в,, !П~(~)= —, „, „)О.
а' ан2лу Л е м м а 3. 1н (у) = у А,, является логорифмичвски выпукА2У2 Ф=! лой функцией. Доказательство вытекает из лемм 1, 2. для логарифмической выпуклости необходимо н достаточно выпол- нения неравенств ~) О, )"! — )'а=--О, что в свою очередь эквива- лентно неотрицательности формы Г1+2ГР~+И ~ О при произвольных $„П, Лемма 1. Сумлга логарифлически выпуклых функций является логарифиически выпуклой.
Д о к а з а т е л ь с т в о этой леммы вытекает из неравенства (~, +)а)" ~'+ 2 (~, + )а)' $П+ (~, +)а) и' ) О, НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗЛДЛЧИ Ф ея Из логарифмической выпуклости вытекают неравенства 1п!х(у) =.у!п/х(1)+(1 — у)1п1л1(0), О-=.у~!, ~.(у)-(1.(1)) (~ (0))-.
Очевидно, что если обозначить ил (х, у) =- ~~ —" зануд(пах, и=-1 1рл (х) =-,У', пи э(плх, л=1 то Ь (У) = †„„, ~ ~4 (х, У)1(х, а 11д(1) = — ~ и)д (х, 1) 1(х, о Ь (О) = 1д а„д = — ~ др)д (х) 1(х. и=1 д Это позволяет переписать доказанное нами неравенство так: л и 1д1 л 11-д —; ~ и)д(х, у)йх(~~ им(х, 1)д(х~ ~ ~ <р~(х)с(х~ о о о При наших предположениях их(х, у), 1рх(х) сходятся равномерно (~у(==!) к и(х, у), ср(х) соответственно.
Из этой равномерной сходимости вытекает, что л 1д Гл 11 — д ~ид(х, у) 1(х:=у'~ ~и'(х, !) дх~ ~~Ч11(х) д(х) о 0 о Доказательство теоремы закончено. Пусть теперь (и'"'(х, у)) — последовательность гармонических функций (Л) и<м (х, у) = У вЂ”" з)1 пу з(п пх, Л л=1 ограниченных одной и той же постоянной при )у!(1.
Тогда для Э!4 <гл. Пн УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА любой из этих функций ~ [иои (х, 1)!в <<х «М', о и <"' (х, 0) = О, дион (х, у) ) = <р<") (х). ду у=о Пусть и (х, у) — некоторая гармоническая функция того же вида: и= ) - 5)<пу 5!пах, л=о ') и'(х, 1) йх«М2 о и (х, 0) = О, ~ — <е(х) и пусть мы знаем, что ~ [<<<<ю (х) — <(< (х))2 <)х = еь —, О. о Далее, по предыдущей теореме (заменив М' на 4М') ~ [и<"'(х, у) — и(х, у))вс(х. ув(2М)энеэ<т-и) «ув 4М' ет<т-г). о Проинтегрируем это неравенство по у от — 1' до У "): У л ') [и<") (х, у) — и (х, у)12йхау« — ° 4М'е'„'<<-т).
— то Ыы видим, что и<")(х, у) сходятся к и(х, у) в среднем внутри прямоугольника 0«х«п, <у)< У. Из-за периодичности и(х, у) по х и благодаря ее нечетности сходимость в среднем имеет место *) Очевидно, хотя мы на этом и не остановились, что и (х, у) = = — и (х, — у); и'ь' (х, у)= — л'и (х, — у). Тогда и<')(х, у) сходится к и(х, у) равномерно вместе со всеми своими производными до любого фиксированного порядка внутри любой полосьс < у< « 'т'«1. До к а з а т е л ь с т в о.
Во-первых, заметим, что ~ [и'"'(х, 1) — и (х, !))в <!х « о ял тл л « ~ [и<ь'(х, 1)12<(х+2 ~ и<ь'(х, 1)и(х, !) йх + ~и'(х, 1) <(х« о о о «Ма+2)/Мв)'Мв+М'=-4М'. $25> НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ для любой конечной части полосы >у~(У. Как мы знаем, для гармонических функций из сходимости в среднем вытекает равномерная сходимость внутри любой внутренней подобласти. Зта сходнмость равномерна не только для самих и(х, у), но и для их производных любого фиксированного порядка. В классе ограниченных решений два решения мало отличаются друг от друга, если достаточно близки их начальные данные.
Говорят, что здесь имеет место условная корректность — непрерывная зависимость от начальных данных, при условии, что все рассматриваемые решения удовлетворяют дополнительному решению — ограниченности. Теперь мы остановимся на принципиальной возможности приближенного вычисления и (х, у) по приближенным значения >рА (х) для «>(х). Не ограничивая общности, можно предполагать, что ф>«(х) является тригонометрическим многочленом фА. (х) = ~~~ а<и> >йп пх.
Пусть л Ас СО ~ [>(>и (х) — ч>(х))' с>х = ~ ~ (а~~~ а )' + -"- ,~~ а„' ( ЗА . о л=! А+! Кроме того, предположим, что л СО ы °вЂ” л« и' (х, 1) с(х = "~ ~~~, — „.", 51>' и ~ М', О л=! Гармонические функции, построенные по нулевым начальным значениям сс(х, О) и по значениям >)>л (х) для начальных значений производных по у <>«> с>л йл (х, у) = т 51> пу. Зш пх, л=! не обязаны быть равномерно ограниченными при >у --1, и поэтому могут не образовать сходяшейся последовательности.
Мы начнем с «регуляризации» приближенных значений <ро>(х) для начальных данных. Положим фл (х) =,'У, 'а<>о>з(ппх, л=! где а<А'> мы выберем так, чтобы они удовлетворяли неравенству [а. ! ~[ ° ! 5> < сс> 2 л» ЗЬ» и л-М« л ! 31б УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА (гл. Н1 и при этом условии давали минимальное значение выражени!о — (а(~! а((!)~ Существование таких а(л(! не вызывает сомнения, так как речь идет о минимуме непрерывной функции 1(( переменных в конечной области й(-мерного пространства.
Если бы мы положили а(л(!=а„(а=1, 2, ..., ((1), то нера- венство — з1( и М А! было бы выполнено и, кроме того, мы имели бы — э' !а(л!! — а(л!!]! е Р=О У вЂ” (а("! — а ]' «ел а) л — ад ~ еу. л -!- ! с) Из неравенств а!, Ь) с помощью элементарного неравенства (Ь вЂ” а)'( 2(Ь'+а') выводим 1так поступить на самом деле мы не можем, так как а„нам неизвестны). Отсюда вытекает, что для а(л(1, дающих минимум выражению — ~! )а(л'( — а(~!]', этот минимум не будет превосхои — —. ! дить ел, так как в допустимой области есть точка, в которой значение л(инне(изируемого выражения не больше ел. Мы теперь уже знаем, что некоРРектные 3АдАчи $251 Объединим полученный результат с с): т1 [а!л!-"Г+т 2, '-" л=! А! -!- ! [ [лри (х) — гр (х)[' !(х( бел. о Кроме того, по построению ! ~ и'м (х, 1) !(х ( М'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
