С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 50
Текст из файла (страница 50)
о Здесь мы обозначили М !А!! %З ал их (х, у) = ~а — „з(! лу з!и лх, л=! [а<А!>[л иа(х, 1)!(х — — ~~!, З(!ол. По доказанному ранее, гармонические функции и„(х, у) б при !у~(1 сходиться к и(х, у), если У-«со, ел-«0. В заключение опишем вкратце, как могут быть найдены чения а(А!. Начнем с того, что выясним, какой из случаев: а [а!' ![ 1) — 1!' М', л:=. ! 1а'~ !! П) л=! имеет место.
В случае !) достаточно положить аои! = аоч! л и Тогда мы будем иметь — У [а<А'! — а<А!ИЗ=О а меньших значений это выражение принимать ие может. В случае 11 ясно, что минимум З<В УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА <ГЛ П( будет достигаться для а<"), лежащих на поверхности Л(-мерного эллипсоида 2 А~а( ла л=! Для отыскания условного экстремума воспользуемся множителем Лагранжа Х,у и, составив выражение ]]а~<) — а~<)] + х~ — „, ]й(~~]'~, л=! приравняем к нулю его производную по (т(л(). а))а л 2 ] а(л ) — а(л > + Лл —, (2<л() ~ = О. Отсюда <л) а(У) = л а))а л 1+ ((~д— Параметр Хл надо найти как решение уравнения а(л!)]а л=( Ясно, что существует, и притом единственное, положительное решение, так как левая часть является монотонно убывающей ] (л))]а функцией ХУ и меняется от — ~~' — ", з()'л)(а(' до нуля прн л=( изменении Хл в пределах от нуля до плюс бесконечности.
Интересующий нас минимум достигается на положительном корне. Это видно из того, что правые части равенств л( л( ха 1)']п(У) а(м)]а= '<)' '„,,]о(А)]а '"," л=! л=! (1+Х(у ла 2 л' 2 ~ а))ал ~а аа уменьшатся, если при отрицательном Х)у сменить знак. Мы показали принципиальную возможность решения некорректной задачи, если нам известно, что интересующее нас реше- НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ з1з ние действительно существует и принадлежит некоторому множеству решений, для которого имеет место «условная корректность».
На изложении эффективного технологического процесса решения некорректных задач мы останавливаться не будем. Отметим только, что обычно этот процесс состоит в замене исходной задачи близкой к ней, но уже корректной. Решение этой близкой 1регуляризированной) задачи обычно оказывается мало отличающимся от разыскиваемого решения, принадлежащего некоторому классу «условной корректности».
В этом параграфе мы кратко остановились на обсуждении постановки типичной «некорректной> задачи. Цель этого обсуждения — более выпукло оттенить современное содержание понятия корректности и обратить внимание на сравнительно новую и бурно развивающуюся область математической физики. К сожалению, мы не можем здесь останавливаться на обзоре методов решения «некорректных» или «условно корректных» задач, которым посвящена обширная литература. См., например, 1111. Глава 1Ч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 5 26.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений Изучение формул для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи соображений, которые будут использоваться для обоснования метода Фурье Интеграл дюамеля и преобразование Лапласа. Частотная характеристика. Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее применение для представления решения в виде суммы экспонент. Мы приступаем к изучению теории метода Фурье на примере его приложения к смешанным задачам для гиперболических систем с двумя независимыми переменными х, Е Этот метод является перенесеньем на более сложный случай известного приема Эйлера интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. с1а Прием Эйлера состоит в отыскании у системы — — Аи=О частг11 ных решений и=ехгп, и в конструировании произвольного решения из этих частных.
Мы сейчас опускаем некоторые известные видоизменения этого приема, возникающие в случае, когда характеристическое уравнение г1е11А — лЕ' ,=О имеет кратные корни. С методом Фурье для уравнений с частными производными мы уже знакомились во вводной части этой книги (гл. 1, р 7). Там были разобраны в качестве примеров задача Дирихле для уравнения Лапласа и простейшая гиперболическая система — уравнения акустики. В этой главе мы построим теорию метода Фурье для пгперболических систем с двумя независимыми переменньп1и х, г'.
Подробно будет рассмотрен случай двух уравнений. В случае систем большего порядка схема теории остается той же самой, но результаты могут быть несколько другими. Дело в том, что далеко не всегда любое решение представимо в виде суммы частных решений типа стоячих волн. Хотя в этой главе будет разобран только один пример неполноты системы стоячих волн в случае, когда собственных функций вообще нет, я думаю, что из приведенной теории должно быть ясно, в каких конкретных случаях полнота имеет место, а в каких нет. Мы построим теорию метода Фурье, основываясь на технике преобразования Лапласа. Чтобы сделать все выводы более про- о 261 системА ОБыкнОВенных диФФеРенциАльных уРАВнения з21 зрачными, опишем сначала идею теории в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.
Прежде чем давать формальное определение, разберем наводящие соображения, поясняющие смысл процедуры, с помощью которой определяется преобразование Лапласа. Пусть в(() является решением системы !до — — Аое =) (г) ш с не зависящей от времени (матрицей А, удовлетворяющим нулевым начальным данным ге(0) = О. Наряду с этой системой рассмотрим зависящее от параметра (о семейство и (й го) решений однородной системы — — Аи=О, !2и Ж и !!-а = Г(!о). Утверждается, что ге(() = ~ и(( (о 2о) о((о о Действительно, лг =и(0 г)+ ) ' ' Жо=)(О+ ~Аи(( — (о, (о)о((„= о о ! = ) (Г) + А ) и (( — гм г,) о((, = ) (г) + А ое ((), о ЙЖ Уравнение — — Аи! =((() выполнено. Выполнение для и! началь- Ж ного условия и!(0) = 0 очевидно.
Формула представляющая решение неоднородной задачи через решения однородных, называется интегралом Дюамеля. Рассмотрим теперь случай специальной правой части вида )(~) =ех'гр (гр — постоянный вектор). Решение и((, (о) однородной задачи йи — — Аи=О Ж ! и ~2-о =1(го) = ех!!!р зависит от (о простым явным образом; и((, (о) =е"и(й О). 322 пРеОБРАВОВАние лАплАсА и метод ФуРье [ГЛ !Ч В дальнейшем мы будем этим пользоваться, опуская в и(г, 0) второй (нулевой) аргумент и записыная решение и! неоднородной задачи — — Аш=ех гр Епг ги ! ш)! »=0 формулой ! иг (() = ~ и (( — (а) ек' с((а = егд ~ и (( — (а) е — хи — гн г((а.
о; о Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решетове может быть, как правило, представлено в виде линейной комбинации экспоненте ', где га! являются корнями харак«.! теристического уравнения г(е('й 'кŠ— А ~! =О. Слова «как правило» означают, что некоторые уточнения должны быть внесены при наличии кратных корней у этого уравнения. Из представления решения в виде комбинации экспонент следует, что если Кед)шах йель то ! ~ и И вЂ” 1а) е '" " Йа =— в о = — $ и(т)е" и (! — га) е — "!' — гп г((! — га) = г,=о ! гь гг'т = ~ и (т) е лл г(т —,— ~ и (() е " й = и (А), а о т. е.
последний интеграл сходится. (3 а д а ч а. Докажите сходимость интеграла при том же предположении ке А ~ гпах Йе А! в случае, если среди корней А! имеются кратные.) В этом случае говорят, что «вынуждающая сила» е"'!р раскачивает систему со своей «частотой». Через п(Х) мы обозначили устанавливающуюся при 1 -ь со амплитуду колебаний. Слово «частота» мы взяли в кавычки, потому что понятие частоты о», строго говоря, определено лишь для чисто мнимых Л=го». Для простоты и большей наглядности мы будем некоторое время предполагать, что Х=йо у нас чисто мнимое и что шах()«ел!) ( Входящая в этот интеграл вектор-функция и(1) удовлетворяет следующим уравнениям и начальным условиям: -„-- — А и= О, " ~г-а = 'р. $2б] СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФБРЕНЦИАЛЪНЪ|Х УРАВНЕНИЙ 323 ..— р(О.
Потом мы покажем, как обобщить нужные нам факты на тот случай, если неравенство шах ()сей,) ( — р не выполнено. Итак, рассматривая решение системы >йо — — А и> = е'"">р, л| мы имеем для него формулу ю (|) = е' ' ~ и (( — го) е- | | — '> г((о. о При Г-«ОО ~ и (( — (о) е -'" Н вЂ” '| а||о -« о (>о>) = ~ и (() е-'"" Ш. с в — lги =О, и ||-о = я>, < що — — Ьг=|ге' ', щ и> ||-о =О. Для и(|), и>(() могут быть выписаны следующие явные формулы: и(|)=|ре"', ю= . Ф еим — . "' е"'.
|о> — й |м — й Так как мы предполагаем, что Кей ~ 0, то в формуле для и> второе слагаемое стрем|пся к нулю при | — «со. Коэффициент прн первом слагаемом — функция и (>о>) = . ~ является часио — й тотной характеристикой и может быть вычислена в виде интеграла в (||о) = ~ и (|) е-|"' б(| = ~ |реме-| бИ = . 'Р ио — й ' о о В этом примере частотная характеристика — это просто скалярная функция от о> или, если угодно — одномерная вектор-функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
