С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если при гевО )и(Г))(Ме Р', (и'(()(~Ме и, то для ()(з'л О ('+Б) ~ь о ( — ) ! с остаточным членом ~0( — ~ ~ ( — — ~2+ — ~, то из приведенного неравенства следует, что в, з1п Ь$ — ф($) 4 (в(В,) (В,) В,), Б 1 где е(Вг)-ьО при Вт -ьсо. Это последнее утверждение эквивалентно выпол. нению критерия Коши для проверки скодимости интеграла р (а) а Итак, этог интеграл сходится.
Переходя к пределу при В -ь оо в обеих частях в Г з1п Ьа неравенства для т — ф(а) г(в, приходим к утверждению леммы. Первое следствие из леммы 1: +1 зшьч ! 4 — Р,— и ~— Ь 4 зт) теОРБИА ОБ ОБРАШении пРеОБРАВОВАния лАплАсА зз! В самом деле, по лемме 1: яп Ьк 1 ГМегр! Р е Р! Ме Р! и(!+в) Щ < — -!-Ме Р' ~ — ск+ — ~ е-р!!!4 -ь~ 1,) р ! -Ь)1 .) Р (,) < — — +М вЂ” + — е-Р!БР Следствие обосновано.
Л ем ма 2. Пусть при — 1<5 <1 выполнены неравенства (/(ь) ! < М, ! / (ь) ~ <; тогда М Уй( ' +! яп Ь,/(ь) дь <2М+4 И )ст Локазательство: +! 1 з!п Ьр / (Ы уй= — -- 1 /(Ц й соз Ьь= Ь +! соз Ы 1 1' — (/(!) — /( — 1))+ — 1 Ь!./ (2) д, +! ! Яп Ььь/($) дс < — -(- — М.2 2М 1 Г дк 2М+ 4М Рс/ Лемма 3.
Пусть ари (Ь ~ <! выполнены нгривенства: ! ф(К)1 <М, 'Р (с)(<М, ~ф'(Ы вЂ” ф'(Ы!-МУ(~ — Ь ) Тогда +! 2М+4М Рс/-)-— - ф (С) дз — л!р (О) < Ь вЂ” 1 Доказательство, Построим функнию / р6) — ф(0) $ М и докажем, что (/(Б) ! < М, ~ /'(Ь) ! < =. Лействительно, )'й! /(ь)= =ф'(бь), 0<о<1. $ Отсюда )/(Р0(=) ф (ЕР1<М. ць (гл. 1У пРеОБРАЭОВАние лАплАсА и метод ФуРье Далее су.'ссс — сч' ес! ч' св-ч' св $2 $ %ф' — [ф а) — ф (О)[ Г (й) Поэтому М~'(1-Ь)~~~ М Ул~' ([,(,)) ( ф'(~)-ф (Ь~) (В( Применим теперь лемму 2: +с +с ~ мпйй[(й)д$ = ~ ср(й) — с +! 0 1 з(п Ьй 2М+4М )СС "),) ~ ь — с Теперь остаегся лишь отметить, что по первому следствию из леммы ! +с з1п Ьй 1 4М р(О) 1 дй — р(О) < —.—.
Ь Доказательство леммы 3 завершено. След с та не из леммы 3. Пусть при 1~0 выполнены неравенства / и (1) / < Ме РС ( М, ~ и' (1) / < Ме"Р! ( М, а при 0 !!<се<-2Т оценка непрерывности и'(1); /и (сз)-и (1!)(~МР'/~,— 1,1. Тогда для 0 < се <1< Т имеет место равенство: з(п Ьс - и(1+3) Цй — (1)=О~ — ) 111 \ь) — с 111 с остаточным членом О~ — ) таким, что '(ь) 2М+4М )сТ+— !'%!. и(1) = — ~ и (1+;) дй+О ( — ), — с где постоянная с в оценке ) 01 — ) 1< — зависит лишь от М, р, 1ь, Тс с= '(Ь) ~ Ь =с(М, р, 1ь, Т), если 0 <се<1~ Т. (Расширяя допустимый отрезок изменения 1, например, путем приближения 1ь к нулю, мы буден увеличивать постоянную с в этой оценке.) (Для вывода следствия из леммы 3 достаточно положить ф(й)=и(1+3)) Объединяя это следствие со вторым следствием из леммы 1, мы получим для функций и(1), удовлетворяющих всем сформулированным для них условиям, равенство 5 271 ТЕОРЕМА ОБ ОБРАЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ззз /!1 Мы говорим в таком случае, что оценка остаточного члена О ! — ~ равно- '! Ь) мерна по всем функциям и (1), удовлетворяющим оценкам ! и(1) ) < ме-лг, ) и'(!) ! < ме-и', (гво, !и'(12) — и'((а) ~ < М)~(, — Ьи 0<(х <(а<2Т, и для всех 1 из фиксированного отрезка 0«,<1<Т.
В курсах математического анализа часто доказывается, что если функция я (й) такова, что: 1. 1 — 4<со; ' ~а(В)! ',) +)в~ Н. ЕЯ) непрерывна при $а — й<Б<$а+й и имеет в этом интервале ограниченную вариацию, то для нее выполнено предельное соотношение +СО й(йа)= 1ш — 1 Е(й) Ф 1 Г миЬ(Б — ьа) ь $ — Ъ Из этого утверждения получается, что если положить и (г+$) при Б ) — (, и (ь) = 0 при Б< — т, то и (Г) = 1пп — й! и ((+ Б) а(С. 1 а" з!и Ьь Ь 03 — ! Наложив на и (1) более жесткие условия, мы сумели показать, что при Ь-»со интеграл в правой части отличается от и (1) на величину порядка !/Ь равномерно для всех функций и (1), удовлетворяющих этим предположениям, и для всех ( из некоторого фиксированного отрезка 0 < та < Г < Т.
Ограничение 1а ) 0 необходимо накладывать по следующей причине. Функ. ция я(й) имеет у нас график такого типа, который изображен на рис. 70. При й= — 1 она, как правило, разрывна. Ясно, что сходимость кЮ непРеРывных по Ба фУнкций +аа 1 ! миЬ(',— са) к функции д(ьа) при Ь-» оо перестает быть равномерной в окрестности точек разрыва Р. Именно Рис. 70. поэтому точка разрыва должна быть достаточно удалена от изучаемой точки В=О, что и обеспечивается неравенством 0 < (а < П Итак, мы доказали, что и(т) = — ~ ' и(1+$) и'В+О ( — ). пРБОБРАЗОВАние лАплАсА и метОЕ ФуРье [ГЛ !У Теперь уже можно переходить к теореме об обращении преобразования Лапласа. Доказательства теоремы 1.
Чтобы доказать зту теорему. достаточно убедиться в том, что +ь СΠ— и (ио) е[и' йо = — ) — и (т+ С) с[к. — Ь В интеграле, представляющем о ([ы), удобно в процессе доказательства обозначать переменную интегрирования не буквой Л а какой-либо другой буквой, например, т. Проведем выкладку, доказывающую нужное нам равенство: +Ь +Ь (со 2н — р! Р(но)а[и[с[а= — ( е'Ф' и(т) е '"с с[г йе 2Л,) — Ь вЂ” ь +Ь со +Ь со — и (т) е[и и т' с[с йо = — ! ~ и ((+С) е [и!с[у,йо.
2п 2п — ь — ь — с Последний интеграл равномерно сходится и, следовательно, допускает перемену порядка интегрирования: +Ь +Ь оо ! Р— — ~ и ([ю) е[ис с[а = — ~ ~ и ((+ $) е си! с[а, йо ! 2л 2п — Ь вЂ” ь — с СО +ь — ) 'ссс!~) ' ос ) с. 1 Г 2л Л вЂ” Ь Внутренний интеграл может быть вычислен: +Ь [ е [ис 1и=а есьд — е-[ОЪ мп Ьз е-си!с[со= — [ . ~ = . =2 1ц 1-=- а — Ь Окоачательно: +ь СО 2п — ! п (но) е ™ йо = — ! и ([-). Р) з[п Ьч н — ь Локааательство теоремы завершено.
Правило для обращения преобразования Лапласа обосновано. $ 28. Преобразование Лапласа для решений гиперболической системы Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической системы. Существование решений и опении для них изучались в й 20. Преоб. разование Лапласа о[(х, Л) решения при достаточно больших йеЛ. Его ана. литичность. Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оно удовлетворяет. Оценки. Использование обратимости. Изложение схемы дальнейшего изучения. Основные свойства и! (х, Л), которые будут обоснованы в следующих параграфах. и получение с их помощью формулы обращения, содержащей интеграл по замкнутому контуру. в вв~ ПРЕОБРАЗОБАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ звб Мы будем изучать теорию метода Фурье на примере системы двух гиперболических уравнений, записанных в каноническом виде — +й,— „+тм(х) и,+т„(х) и,=О, ди, ди, ди» ди» дв — й, д„+т (х)и,+т„(х)и,=О.
Предполагается, что у этой системы одна характеристика имеет положительный наклон, а другая отрицательный, что обеспечивается неравенствами й,(х) ) О, й, (х) ) О. Условия йв (х) чь 0 означают, что у характеристик нет вертикальных касательных. Рассматривая эту систему на отрезке 0 <х< 1, мы должны задать еще граничные условия а,и,(0, 1) + с«»ив (О, 1) = О, р,и,(1, 1)+р»ив(1, 1) =0 и начальные данные при 1=0: и,(х, 0) =~р,(х), и,(х, 0) =срв(х).
Если все коэффициенты (ам а„рь йв) в граничных условиях отличны от нуля (а,чьО, а»~0, р,~О, й»~0), то при достаточной гладкости коэффициентов системы и начальных данных возможно построение решения как «в верхней» полуполосе 1)0, 0<х<1 плоскости х, 1, так и в нижней 1«0, 0<х<1, Такие задачи, которые могут решаться как в сторону растущих 1(1)0), так и в сторону убывающих (1<0), мы называем обратимыми (см.
~ 16). Обратимость будет существенно использоваться в дальнейшем при построении теории. Для необратимых задач не только не проходит схема нашего исследования, но и сами факты теории метода Фурье совсем другие. Далеко не каждое решение необратимой задачи может быть аппроксимнровано частными решениями вида ем и (х), использование которых лежит в основе метода. В дальнейшем мы убедимся в этом на примерах. Как было сформулировано в ~ 20, решение поставленной нами задачи существует (как в полуполосе 1)0, 0<х(1, так и в полуполосе 1<0, 0<х<1) и удовлетворяет неравенствам (~иг(х, 1) ~, ! д"„' 1, ! д"'!) <сопз(екн~, !д"',";"' — '"',""'( )'1,-1,С(01,1, ~1,~). В этих неравенствах С=С(! 1,), !1,/) — постоянная, зависящая от интервала времени, в котором заключены 1„1,.
Рассмотрим реше- 336 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [Гл, ш ние, построенное в полуполосе ()О, 0<х<(, и построим его преобразование Лапласа ио (х, Л) = $ ио (х, () е-"' сИ. о Интеграл в этой формуле сходится н, следовательно, преобразование Лапласа определено, если йеЛ)К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
