С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Мво+ — (Е+ Ев), Аг (Л) выполненному для Л, лежащих в нашей полосе. Пусть ~ Л () 2А(Е. Тогда А( 1 в~Мы«+ — Е+ — в, (Л[ 2 а следовательно, в ( Л Е+ 2Мыо. 2А( [Л( Далее, Е* ( Ев (, ), Е+2М!лоо ~ 2КЕ Г+2МЕюо=р+2М(во. 2КЕ 2М/. Опять применим лемму 3 и получим оценку [ в, (х) — (о, (0) е у'(«1 "'(«1 ~ ( — [Г+Е*) ~ — [2Е+ 2ЛИ.во[, (Л( (Л/ !(ог (х) — го« (0) е у,(«) + Р,(«1[ ( [2Е + 2М! (оо] Итак, нами доказана л ем м а 4.
если при 0 х( ! коэффициенты М (х) ) О, й((х), тп (х) и п( (х) н прерь(вны и, следовательно, ограни«сны, и если ~ )«е Л / ( К«, то для достаточно больших по модулю Л, лежащик в укаэанной полосе, решение системы дивт 1 Лв(+й( — + тыв(+ — [п««вэ + п(«го»[=фг (х), двг 1 )„в — й« вЂ” --[- т о«+ — [по(в« + пмво[ = ф«(х) йх 349 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ с(го» вЂ” = Х [Аз»ш»+ Аюш»! + В»тфг+ Взафз с ограниченными (при к- со) непрерывными по х коэффициентами Аы= = А(а (х, А), В;ь=.
Вш (х, 1(). Подставив эти выражения для производных в выражения — (Гр(г — + ри — ~, мы избавимся от слагаемых такого типа, ).» 'Г дх дх !' несколько изменив выражения для п(а (х, Ц и для ф). После этого можно применить лемм> 4 и убедиться, что ее формулировка дословно переносится и на системы, имеющие зацепление порядка !)А» и коэффициентов при производных. Можно получить похожие оценки и для систем с зацеплением порядка 1))» в коэффициентах при производных. Нам достаточно будет здесь ограничиться системами вида до» р доз ! )»Ш+~~ д„+ ~ ах +т о + У[~Но +г»и~ ! =ф, до» ц дог 1 1(о» Фа + + (пюо»+ [л»но»+пг»о»! =ф» Здесь, однако, в константы комбинаций коэффициентов.
Запишем нашу систему в оценки войдут еще и производные от некоторых матричной форме; удовлетворяет нераеенспмам ! иц ( ) (О) ~ ' РО ( ! к ! Л ! [р + ( ! пц (О) ! ! щ (О) ! )! ~ ш (х) ю (О)е в(»)+и» (х) ~ ( [В+шах ( ! ш (О) ! ! ш (О) ! )!. (! здесь постоянная О завигит лишь от границ для коэффициентов й(, тн, аО, а Р определяется как р = шах [ !»р, ! + ! фа [ + ! ф[ ! + ! ф» ! ).
к Заметим, что пока мы нигде не пользовались гладкостью коэффициентов и поэтому границы производных от коэффициентов не вошли в наши оценки. Вот еше один чуть-чуть более общий вид вслабо зацепленных» систем: дю» 1 Г дшт дшз") 1 ) Л+й — „+-;,р — „„+р — „„~+ ш+ — [пм,+ Ы,[=ф., дшэ ! Г дш» дшз "1 1 Хшз — Ф» д + )з ~ (»21 д + Р»2 д ~ + т»згв» + [п»ггот + пззша!»[»г' Предположения о коэффициентах р(( — такие же, как н о и( — непрерывность и ограниченность.
дш( Ясно, что если разрешить эту систему относительно —, что, о ~евидно, дх ' возможно при достаточно больших по модулю 1», то мы получим равенства следующего типа: дш» — =)» [Аыш» + А»аш»! + Вггф» + В»зфа ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ (гл. !и и сделаем подстановку а(х, А) (о») Ь(х,а) (т») с достзточно гладкими по х коэффициентами а(х, А), Ь (х, Л), которые вместе с производными по х предположим ограниченными при А-» Оэ. Очевидно, что 1 — Ь ', бх(:,',)+д(Ь О)(т,') Поэтому система уравнений для тп та может быть записана так: 1 1 Умножим эту систему еже слева на матрицу д а д и заметим, что ! ), ()»+т»» о ) Х т»»! () — аЬ !(1 + — ! (тп — т»,) а (-': ')':. '..( ')=: —: о р+а(й»+Ь»)) 1 /и»» и»») 1 Уп»» й»»1 + ) !о--Ь(ь,+Ь,) р (х) о (х) Так как Ь»+Ь»~О, то, положив а= —, Ь=, мы придем после описанного преобразования к уже изученной «слабо зацейленной» системе с «зацеплением» порядка 11)»» при первых производных, Очевидно, пз гладкости р(х), д(х), й!(х) следует гладкость а(х), Ь(х).
Таким образом, при- % зо! СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРЛЕВОН ЗАДАЧИ меняя известную нам оценку, имеем [ вз(х, Л) — в,(0, Л)е л"' "' ~( — [Е+шах(!вт(0) [, [вз.(0) ~)), !Л[ ! 1я, (х, Л) — в, (О, Л) еха2+ и2 [ ~ —, [Е+ п)ах ( ! вз (О) [, ! в, (О) [ ) ). )Л! Вспоминая, что а Ь о1 и11+ Л и11 оз в!+и12 Л мы без трудз выводим отсюда, что [о (х) о (0)е — лю(«) — и,(«)[( сопз1 ( — [шах ! ф) (х) )+ )пах ! ф', (х) '+ )пах ' о) (О)! [, ! о, (х) о (О) ели21«)+иг«)! ~ — [)пах !ф) (х) '+птах ! ф;. (х) , '+п)ах ! Р) (О) ~ ]. «,1 «,1 2 Эти оценки составляют содержание леммы 5. Чтобы теперь привести основную нашу систему 2(О1 Ло,+й, — +т)1о)з ш)аоз«ф1, 1(пз )'Оз йз +Н)21О1+П)22О2 )уз с!х (2) к изученному уже виду, выпишем знакомую нам форму этих же уравнений; 1 Г г(о) о, = — )Гф) — й1 — — тнот — т)21 2«, =ЛГ дх !Г ~Ь, Ог= '[Рз+да "'21٠— "12212~ ), [ и'х а затем подставим ото)ода выражение для о, во второе уравнение (2) вместо того нн при котором стоит коэффициент т«1.
Выражение для оз подставляется в первое уравнение на места того оз, при котором коэффициент обозначен как ш12. На этом приведение системы к изученному виду заканчивается. Ее новые правые части будут И12 ф1 = ф1 — фм гл21 2[2« = )Р2 Л 2Р1' $ 30. Собственные функции краевой задачи Изучение в полосе ! Не Л ! ~ сопз1 аналитических функций от Л, завнсящих от параметра х. Зги функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным по х уравнениям и граничным условиям.
Вывод асимптотических формул решения ираевой задачи из формул для решения задачи Коши, полученных в предыдущем параграфе. Функция Р(Л). Ее нули — собственные значения Применяя последнюю из наших лемм, мы убеждаемся, что основная теорема этого параграфа доказана. 352 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЪЕ <ГЛ. <Ч системы. Нулей О(Л) вне полосы ))<еЛ(~К нет. Асимптотика нулей ь>(Л). Аналитичесное продолжение преобразования Лапласа решения гиперболической системы на всю комплексную плоскость с выколотыми полнками в нулях 0 (Л).
В предыдущем параграфе было доказано, что любое решение системы уравнений ЕО> ЛО1+ ит й + л1ПО1+ <Пмвв = <рт, <<О2 ЛО2 ~2 ех + т21О1 + т22ов <ра (0(х((, й<) О, йь тм ограничены вместе со своими непрерывными первыми производными, фь <р< непрерывны) удовлетворяет неравенствам )о (х) и (0)е — 12,<х> — Р,<х> ~ ( — [ш ах ) <р< (х) < + шах ) <р< (х) ~ + шах < о, (0) <), М ~ О, (Х) — и, (0) Еха* <" >+ и* < "> ) и:- — [шах ) <р< (х) <+ п>ах «р) (х) <+ шах < >о, (0) <1. М Г!Остоянная М оценивается через коэффициенты системы и их производные, а у,(х), р,(х) определены равенствами к Х 2<2 (' гпн (О) у;(х)=~~ й (й), р<(х)=~~ й<(2) й% о о Параметр Л предполагается изменяющимся в некоторой произвольной, но фиксированной полосе ~ >теЛ, с'Ке.
Изучим с помощью доказанных неравенств некоторые специальные решения систем изучаемого типа О* =(и*,, оз), о'" = = (О(", О2'), О<2> =(о',", оз™). Решения О", о"', о'" определяются своими начальными данными и правыми частями системы так; 1) и> (х, Л), пза (х, Л) удовлетворяют начальным данным О> (О, Л) = = О, оз (О, Л) =0 и неоднородной системе 6Ь, Ло,+й,— +т„п,+т„п,= <р„ <(Оа ЛО2 ~2 <<Х + П121О1 + П>22О2 <р2 При достаточно больших по модулю Л в нашей полосе справед- лива оценка ) о< (х, [ О2 (Х СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 2) о!" (х, Л), о2" (х, Л) удовлетворяют однородной системе (!р«=0, «р«=0) и начальным данным О!ь (О, Л) = ), 22ь (О, Л) = О.
Зто решение оценивается так: /о'(х Л) е — Аь <к! — Р <к)~ М ! ~, !ЛИ / огь (х, Л) ~ ( —. 3) о!'(х, Л), о2" (х, Л) тоже удовлетворяют однородной системе (<р! =О, «р, =0). Начальные данные этого решения о'!" (О, Л) =О, о2'(О, Л) =1. Для него справедлива оценка 1~)" (х Л)~( !л (О<~к'(Х Л) ЕАУа!к!+Р~(к! (( ~л!' Отметим еще следующее важное свойство функций о,*(х, Л), о!"! (х, Л) — они являются целыми аналитическими функциями параметра Л Зта аналитичность является следствием следующей теоремы, которая имеется, например, В учебнике И. Г. Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнеиийм Пусть при хь(х(х! коэффициенты ам(х, Л) и правые части г!(х, Л) являются достаточно гладкими функциями х и аналитическими при ,'Л вЂ” Ль ((Ь функциями Л. Пусть ум,(Л) тоже аналитичны при !Л вЂ” Л, ((Ь.
Тогда решение системы лш ъ1 — = ~~а!Аул+Г!, у,(х„л) =у,.(Л) при каждом х(хь(х(х!) является аналитической функцией Л при )Л вЂ” Л„(Ь. Если а„(х, Л), у2(0, Л) — целые функции Л, то у! (х, Л) — также целая. Очевидно, что наша система и начальные данные для о*, о!2>, о!'! удовлетворяют условиям этой теоремы, и поэтому аналитичность о! (х, Л), 02 (х, Л), о) (х, Л), 02 (х, Л), О! (х, Л)~ О2 (х, Л) из нее следует. Параметр Л имеет право при этом пробегать всю комплексную плоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
