С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Напомним, что К* выбиралось ббльшим, чем К. Отсюда следует, что полоса Йед(К* пересекается с каждой из полуплоскостей (цеХ) К), ()теХ( — К). В этих пересечениях решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений единственно и, следовательно, совпадает с соответствующим преобразованием Лапласа.
Так как преобразования Лапласа и решение обыкновенных дифференциальных уравнений— аналитические функции Х, а аналитическая функция однозначно определяется своими значениями на любом множестве, имеющем хотя бы одну конечную предельную точку, то и решение обыкновенных дифференциальных уравнений и преобразование Лапласа при Ке),( — К могут рассматриваться как аналитическое продолжение преобразования Лапласа при Ке1) К, Зб) пОлнОтА системы сОБстВенных Функции йзн Свойства этого аналитического продолжения нал!и теперь тща тельно изучены. Мы установили, что при ЙеЛ( — К* это просоп51 должение р! (х, Л) удовлетворяет оценке ~ о, (х, Л) ) ( — (, а в полосе ) КеЛ!(Кя для р,(х, Л) выведены достаточно точные асимптотические формулы. Из этих формул, в частности, было показано, что при ! гсе Л ! (Ке, 1ш Л = ( Р+ ) ' к функции Ог(х, Л)=0(;Л,).
Как было ранее доказано, из этих / 1 фактов следует справедливость следующей формулы обращения преобразования Лапласа, записанной в виде контурного интеграла и! (х, () = —, г~ емп, (х, Л) с(Л + 0 ( — ) . и Контур 11р здесь является границей прямоугольника (КеЛ)(К*, — (2р+1) и — 1гпч . (2р+1) и — !шч к к внутри которого, как мы знаем, содержится 2р+ р„полюсов /1( о; (х, Л).
Оценка остаточного члена О( — ~ здесь равномерна для всех О==х(1 и для любого фиксированного конечного отрезка изменения времени О ( (а -= 1 ==. Т, ограниченного снизу положительным моментом (в. В 31. Полнота системы собственных функций г!апоминанис доказанных в предыдущих параграфах фактов о свойствах о; (х, Л) — аналитических функций от Л и о приближенном представлении решения смешанной задача контурныи интегралом. Вычисление отдельных вычетов. Решение приближается суммой конечного числа «стоячих волны Видоизменения в случае кратных полюсов. Замечания о возможности распространения теории на системы, не приведенные к каноническому виду. Теорема о полноте собственных функций. Примеры, показывающие существенность обратимости задачи для применимости метода Фурье.
Изучив в прошлых параграфах аналитические свойства преобразования Лапласа решений гиперболических систем, мы получили в свое распоряжение мощный аппарат для качественного исследования этих решений. Здесь будет показано, как этот аппарат применяется. 12 С. К. Годунов ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [гл. !у Мы рассматриваел! Обратимую задачу для системы (с гладкими коэффициентами) ди! ди1 д! +л! (х) д„+гпм (х) и!+я!а (х) и~ =О, дир дир -д! — еэ(х) дх+тм(х)и,+т„(х)и,=О, и!(х)>0, 0(х(!. Эта задача определяется граничными условиями а,и,(0, !)+а,и,(0, !)=О, а,~О, ар~О, (),и,((, !)+Рри,((, !)=О, р,~О, рз~О и начальными данными и, (х, 0) = ~рр(х), которые предполагаются достаточно гладкими и гладко согласованными с граничными условиями.
Было показано, что существует некоторое К такое, что при це).) К определено преобразование Лапласа О!(х, )) решения и!(х, !): О; (х, ),) = ~ и! (х, !) е-м г(!. о Функции о,(х, А) допускают, как аналитические функции Л, продолжение на всю плоскость комплексного переменного с выколотыми дискретно расположенными полюсами. Все эти полюса расположены в полосе ,')хе); -К; все они, за исключением конечного числа, — простые, не имеют конечных предельных точек. Они описываются следуюшей асимптотической формулой: 2п(Р— Р— У Г ! +0( —,, 1, р-Р + со — целые. Параметры р, у, х вычисляются через коэффициенты уравнений н граничных условий.
Была доказана следующая «формула обращения»: и~(х, !) = — „;. ~ еми,(х, А) гь-)-о( ! ), П в которой через Пр обозначена граница прямоугольника — (Зр+ !) и — )в у ) (зр+ !) х — !и! у Кех(сК', х х Внутри каждого такого прямоугольника содержится конечное число (2р+ ри) полюсов функций О,(х, А). Поэтому интеграл по Пр может быть заменен на конечну!о сумму не более чем 2р+р, ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ звз слагаемых по контурам Гм каждый из которых содержит только по одному полюсу О1(х, Л): и1 (х, () = —, ~ ~1 е~в1 (х, Л) е(Л+ 0 ( — ) .
2 ГА !!т Оценка остаточного члена 0~ — ) равномерна для любого отрезка Р [(„Т) времени такого, что 0<(е(Т, и при О=х(й Для вычисления интегралов по ГА легко применить теорию вычетов. Пусть Л=˄— простой полюс о1(х, Л), т. е, Р(Л„)=0, Р' (Л,) Ф О. Как бь1ло показано в предыдущем параграфе, решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений представимо в виде 21(х, Л) О1(х, Л) = ' с целыми, аналитическими по Л функциями о,(х, Л). Так как о;(х, Л) удовлетворяют системе уравнений с правыми частями Ч11(х), то, следовательно, функции о1(х, Л) удовлетворяют системе 1Ь1 О1+~1 д~ +л111О1+л112О2 Р (Л) Ч~1 Л12 (22 01 +1п2111+1Й22О2 ) ()") Ч~2' 1Ь, Отсюда видно, что если Р(Л„)=-0, то пара о,(х, Л), ое(х, Л) удовлетворяет однородной систел1е уравнений и краевым условиям.
В предыдущем параграфе было показано также, что при условии Р (Л„) =-0 существует собственная вектор-функция — ненулевое решение однородной системы, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Так как по предположению Л» — простой корень, то (как нетрудно заметить из рассмотрений предыдущего параграфа) существует лишь единственная с точностью до 21ножителя собственная вектор-функция. Мы будем обозначать ее, нормировав каким-либо образом, через (О12~(х), о121(х)). Итак, о;(х, Л„) =САО("'(х). Теперь нетрудно уже и подсчитать интеграл по Г„: ГА ГА 212'21 (х ЛА) — = — е121о(2~ (х).
В' (ЛА) 22' (ЛА) СА Обозначим —,=де. Таким образом, если Р(Л) не имеет крат- (1 (ЛА) (2* зе4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ <гл г« ных нулей, то решение и<(х, () нашей задачи может быть представлено в виде: и,(х, ()= ~, <(«и<<«>(х)е «'+0( — ) <Р <ер -<- р слагаемых> с оценкой остаточного члена, равномерной по х и (, О~х((, О((е(((Т. Непосредственной подстановкой в систему ди< ди, -д< +й, д +тми,+тми, =О, дие див д< — йе д — „+»<ми<+ Ч»ие =- О и граничные условия а,и, +а,и, 1„,= О, Р1и1 + Реи» <Х-< = О легко убедиться, что функции и<«> <«О( ) А г являются частными решениями этой системы и удовлетворяют граничным условиям.
Такие частные решения носят название «стоячих волн». Это название связано с тем, что «форма волны» и<«>(х) не зависит от времени, тогда как ее «амплитуда» определяется зависяшнм только от ( множителем е « . 1! Кратко говорят, что решение может быть аппроксимировано конечной суммой стоячих волн. На простом примере уравнений акустики представление решения в виде ряда по собственным функциям было доказано в вводной части (гл. 1, 2 7). Мы не будем до конца уточнять формулировки в случае кратных нулей 0(Л), Ограничимся рассмотрением примера двукратного корня )'.) (Л«) =О, Р'(Л«) =О, .0а(Л„) Ф О.
При этом р()) О (Л<) (Л ) )е ) <> (Л«) (Л Л )з+ 2 1 2 1 2О"' (Л>,) е>и=е~«~+(Л вЂ” Л„)!е~«+~ " е>«<+...; е>г 2 е «! 2< 20'"(Л«) 1 е" О(Л) =ив(Л,)'(Л вЂ” Л„)в ((т(Л,) ЗР-(Л«)) )Л ),„+ + аналитическая функция; и<(х, Л)=и;(х, Л«)+(Л вЂ” Л«)~ д 1 +.... ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯ $2)) Перемножим два последних ряда: ел'й((х, Л) 2о,(х, Л») е «(Г 2! 2Ет (Л«) ) - л ( ',(л' „(л (л л ),+Ч!),() ) — 3(лн(л )Р) о,(х, Л»)е + е») — +аналитическая функция от Л= 2 до((х, Л«) л Й ! ЕЛ (Л),) дЛ«) Л вЂ” Л» функция от х, г+ [ л»(-(ТО )+ л»(х(») ( )] 1 + + аналитическая функция.
Отсюда (ю( !) =- — (~)' "'( ' )с(Л=(е «'д(д) (х)+е»'Ь'; '(х). ( г» Мы ввели здесь обозначения 2о((х, Л») (» 0 (Л,) 2!) " (Л«) ° 2 д", (х, Л,) 2(ю З(дн(Л»))2"'(х' Л»)+О" (Л») дЛ„ 3 а д а ч а 1. Докажите, что б(«), б',»' удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: йб(«) йх увы) Л»ц — й +т о, +т оя — О, -(») 2 -(») -(») йб(») дх йе(») -(») =(») 2 «(Ю ) ХЫ) о»' +Л«б~~ — йя ! +те)о,' +тяхбя =О, и граничным условиям: и б(»)+а б(«) =О, 1 ( при х=О, 2 2 при х=!. Функции о( опять являются собственными, а о(») носят название присоеди. нениых собственных функций. Задач а 2. Если Л,— двукратный парень характеристического уравнения )а„— Л аы 0(Л)=~ ~=0, то любое рещение системы обыкновенных диффео21 а»2 Збб ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ ~гл.
!ч ренциальных уравнений аит — =а„и,+агапы ~й Ни, — =а„и, +а„и, 2«Г представляется в виде (и1) г 1 1(о1)+«1 г(пь) где оь 61 являются решением линейной системы: Аепь =а11Р1+а«,п„ ьео> а21Р1+а22Р2' о, +А«Е1 = аыд, +а«ай>, оа+ Аеб~ = а>1 61 + а>~пч> Покажите, что о1, о> отличны от нуля, лишь если матрица (а12) не приводится подобным преобразованием н диагональному виду. Задачи ! н 2 позволяют проследить и в случаях кратных корней 0(А) аналогию между нашими гиперболическими системами и системами линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянньп1и коэффициентами.
Доказанное нами утверждение о возможности как угодно точного приближения решения конечными суммами «стоячнх волн>, т. е. сул1мами специальных решений, которые в случае простых корней 0(А) имеют вид и;=о, (х)е'>, представляет собой основ- 12) ной результат этой главы. Способ отыскания решения краевой задачи в виде суперпозиции таких специальных решений носит название метода Фурье. Таким образом, нами обоснован метод Фурье для Обратимой гиперболической системы в случае двух независимых переменных при определенных ограничениях на коэффициенты и краевые условия. Ради этого мы развили теорию преобразования Лапласа, которой были посвящены параграфы этой главы. Подробно метод Фурье для системы акустики был разобран и вводной части.
Для этой системы мы не только доказали, что произвольное колебание можно представить в виде суперпозиции стоячих волн, но н показали, как, исходя из начальных данных, вычислить коэффициенты разложения. В следующем параграфе мы сделаем то же самое для специальных систем более общего вида. А сейчас сделаем ряд замечаний по поводу доказанной теоремы о разложении. Напомним, что разбираемая задача предполагается обратимой, а начальные данные и, (х, 0) = «р1 (х) должны быть достаточно гладкими и согласованными с граничными условиями.
Система, для которой проводилось доказательство, была записана в каноническом виде, На самом деле, такое же утверждение ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯ Збт % зп об аппроксимации решений стоячими волнами имеет место и для системы, не приведенной к каноническому виду, лишь бы ее коэффициенты зависели только от х и лишь бы для нее приведение к каноническому виду (со всеми ограньчениямн на й,(х), й,(х) и граничные условия) было выполнимо. Заметим еще, что если коэффициенты системы зависят только от х, то элементы матрицы преобразования искомых функций, приводящей такую систему к каноническому виду, тоже могут быть выбраны зависящими только от х.
В этом можно убедиться, если вспомнить процесс приведения, который мы разбирали еще во второй главе. Сейчас мы подробнее останавливаться на этом не будем. Теперь мы выведем из теоремы об аппроксимации решений одно очень важное следствие, которое обычно носит название теоремы о полноте множества собственных (и присоединенных) функций.
Пусть система д) +йл (х) дх +тн (х) ил+та (х) ит — — О, ди2 дил — ' — /те(х) „-т+тм(х) и,+т„(х) и, =0 с граничными условиями а,и, (О, () + ати, (О, () = О, (З,и, (л, 1) + (З,и, ((, Г) = 0 удовлетворяет всем условиям применимости предыдущей теорел1ы. Во всяком случае, это значит, что для доста~очно гладких ср,(х), ср,(х), согласованных с граничными условиями, существует рещение системы (и,(х, 7), и,(х, 7)) такое, что и,(х, 0)=чт(х), и,(х, 0)=~р,(х). Такое решение существует как для ()О, так н для 1<0. При (= — т (т — некоторое положительное число) это решение принимает определенные значения и,(х, — т) =ф,(х), и,(х, — т) =фл(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
