С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Заметим теперь, что если (и,(х, (), и,(х, ()) является решением, то решением является также й,=й,(х, 7) =и,(х, 1 — т), й,=й,(х, () =и,(х, ( — т). Это решение удовлетворяет при (=О начальным условиял~ йл(х, 0) =фл(х), й,(х, 0) = р,(х), 368 гл. ш ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ и при 1=т принимает значение й,(х, т) =~р,(х), й (х, т) =ц,(х). Очевидно, что к решению (й„й,), отличающемуся от (и„и,) только сдвигом по времени, применима вся разобранная нами теория преобразования Лапласа, со всеми вытекающими из этой теории выводами. В частности, мы воспользуемся тем, что на любом отрезке времени 0 < 1,(1~Т решение й„й, может быть как угодно точно аппроксимировано (равномерно по х и 1) линейной комбинацией собственных (и присоединенных) функций (с коэффициентами, зависящими от времени).
Мы положим 1ь=ту2, Т =Зту2. Тогда из этого утверждения вытекает, что (й,(х, т), й,(х, т)) может быть как угогно точно аппроксимировано линейной комбинацией собственных (и присоединенных) функций. Теперь вспомним, что й,(х, т) =<р, (х), й,(х, т) =ср,(х). Итак, какова бы ни была достаточно гладкая вектор-функция Ор, (х), ~р,(х)), согласованная с граничнылш условиями, она может быть как угодно точно (равномерно по х) приближена линейной комбинацией собственных сектор-функций' (в случае обратимой задачи).
При наличии кратных собственных значений к собственнылс функциям иногда надо добавлять еше и так называемые присоединенные. С кратными собсзвенными значениями приходится иметь дело сравнительно редко. Так, например, нами было уже показано, что все достаточно большие по модулю собственные значения— простые. Теперь мы покажем на примере, что в случае, если для гиперболической системы изучаемая задача — необратимая, то аппроксимации решения «стоячими волнами» нет.
(Ее нет не только в этом примере — это общий факт.) В качестве примера возьмем простейшую систему, состоящую всего из одного уравнения ди ди -ог + в„-=О рассматриваемого при 0 =ах= 1, 1) О с граничным условием и(0, 1) =О. Начальные данные зададим при 1=0 формулой и(х, 0) =х'. Рассмотрев характеристики х — (=сопз1 этой системы, легко заметить, что если бы мы захотели решать задачу с теми же начальными данными для 1( О, то нам пришлось бы задавать граничные условия уже не при х=О, а при х=1.
Кроме того, ясно, что так как решение имеет вид и =-1(х — (), то при ()х искомая функция будет равна нулю (и(х, 1) =0 при 1)х). Собственные функции такой задачи должны удовлетворять уравнению Хо+ — =0 вь вх и граничному условию о(0, А) =О. 369 5 32! РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ Общее решение уравнения имеет вид и (х, Л) = се Ах. Из граничного условия находим с=О. Итак, мы показали, что нетривиальных собственных функций у нашего уравнения нет. Представим на некоторое время, что такая собственная функция нашлась и что она отвечает собственному значенио Л,.
Тогда у уравнения в частных производных существовало бы решение вида и (х, () =-емгп(х, Л,), отвечающее прп ~=0 начальному условию и (х, 0) =п(х, Л,)д2ЭО. Из поведения характеристик мы видим, что при ~)х и(х, () =0 (во всяком случае, и(х, () =0 при 1)!). Но это противоречит представлению и(х, 1) =е'"п(х, Ле). В случае более общих необратимых задач для гиперболических уравнений собственные значения у системы могут быть, но приблизить любое решение линейной комбинацией «стоячих волна, связанных с этими собственными значениями, и тогда не удается.
Этому, в частности, мешает отсутствие оценки ра (х Л))< ""', для КеЛ< — К. ~л~ Все на том же примере мы покажем, что этой оценки действительно нет. Функция и (х, Л), отвечающая начальным данным и(х, 0) =х', является решением уравнения Лс+ — — = х', еэ и'х п(0, Л) =0 и имеет внд бе-Ах -Р Лзхз — ЗЛ«хе+ 6Лх — 6 и (х, Л) = Л4 Из этой формулы видно, что при КеЛ-ь — Оо функция п(х, Л) экспоненцнально возрастает (у нас х) 0), что и доказывает отсутствие оценки | о(х, Л) ~ <сонэ(!,,Л~. и 32. Ряд Фурье для консервативной системы Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений. Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений. Комплексные евклидовы пространства, натянутые на собственные вектор-функции.
Унитарность преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унитарных преобразований. Вывод из этих свойств ортогональности собственных функций и доназательство того, что Л» чисто мнимы. Использование ортогональности при приближении начальных данных «стоячими волнами». Формула для коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример. зто ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1гл ду В этом параграфе будут разобраны некоторые замечательные свойства собственных значений и собственных функций в задачах с законом сохранения энергии. Мы назовем такие задачи кон- сервавдивными. Краевая задача для системы уравнений акустики, которая рассматривалась в вводной части (гл. 1, ~ 7) является примером консервативной задачи. Расслдотрим систему д)- + адд х) З - + Ь„ — + Ь„ — х — с (х) и, + 0 и, = 0 ди, дид дид ди, с симметричными лдатрицами )ам (х)!), ( Ь д 1 () ам (х) ~, '— положительно определенная, ) Ьм) не зависит от х, постоянная).
Матрицу ( см (х) ) = ( ) мы предполагаем кососимметрической. Умножая первое уравнение на и„второе — на и, и складывая, мы приходим к следующей дифференциальной форме закона сохранения энергии д (адди1+2аддидид+адди11 д 1 Ь!,и'-, сходдидид+Ьдди1) — О. Интегрируя это равенство по прямоугольнику 0(х(1, 0(1(т, мы получаем следующее соотношение: д д 1 1 Г 2 (адди(+ 2аддидид+ ад и1)мдддх = 2.~ (адди1+ 2аддидид+ аддид)~ од)х о о ! à — — ~ (Ьд,и', +2Ьддидддд+Ь„и1)и о д(1 + о 1 д" + 2 ) (Ьдди(+2Ь„идид+Ььзид),,д(1. о Предположим еще дополнительно, что граничные условия адил+адил=О при х=О и рдид+()ди,=О при х=1 таковы, что из них следует обращение в нуль при х = О, х = 1 квадратичной формы Ьпи|+ 2Ь„и,и, + Ьдди3. Иными словами, пусть граничные условия обеспечивают отсутствие потока энергии через границу.
Это возможно, если форма Ь„и, '+ 2Ь„и,и, + Ьдди3 может быть разложена на два линейных множителя и если граничные условия состоят в равенстве нулю того или иного из этих множите- зт1 $ 32] РЯЛ ФУРЬЕ ДЛЯ КОНСЕРВЛТИВНОИ СИСТЕМЫ лей. Для таких граничных условий 1 (1(а„и1+2и„и,и, +ао»ио'11, Нх = ~ 1а„и'1+ 2и„и,и,+а22и211 о 1(х, о о т. е.
энергия рассматриваемой системы сохраняется. Описанный класс задач естественно назвать консервативным. Пусть вектор-функция (и„и») является комплексным решением нашей системы, удовлетворяющим граничным условиям а,и,+а,и,=О при х=О, йтит + (12ио = О и ри х = 1. Пусть о» и ои» вЂ” вещественная и мнимая части функции и» = о» + 1ш». Мы предполагаем коэффициенты уравнения и коэффициенты граничных условий вещественными. Следовательно, вместе с решением (и,, ио) решениями нашей системы будут вектор-функции (о„оо) и (1о1, ш,,). Оии также будут удовлетворять рассматриваемым граничным условиям. Тогда, как мы установили, интегралы ~ (а„и1+ 2а„о,и, + аоои2) 11х о ~ (ипщ1 + 2а„щ,1и, + аоощ2) 1(х о не меняются при изменении времени й Так как сумма этих интегралов равна 1 ~ (аии,и, +а„(и,й, + и,й)+аооиойо) 11х, о то тем самым нами доказано, что на комплексных решениях консервативных задач с течением времени не меняется эрмитова форма (1), являющаяся аналогом интеграла энергии вещественных решений.
Покажем, что из равеяства этой формы дулю для непрерывной вектор-функции ( и,(х), ио (х)) вытекают равенства и,(х) = — О, ио (х) — = О. действительно, ими»йт + иы (и»йо+ иой1) + иооиойо = = а1»и1 + 2а1»и»о»+ а„о2+ а»12и1 + 2а„ои»оио+ а„1ио, где и, = о1+1щ1. Так как, по предположению, матрица ам является положительно определенной, то из равенства нулю формы (1) 372 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ )гл. )у вытекает обращение в нуль интегралов энергии для вектор-функций (о„о,) и (и)м и)»). Следовательно, о»=0, и)»= — О и и» (х) = о» (х) + ! и)» (х) — = О. Мы показали, что эрмитову форму интеграла энергии для комплексных решений можно считать положительно определенной, если она положительно определена на решениях вещественных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
