С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Нарисуем на плоскости Л=о+(т следующий довольно сложный контур Р,Р,Р, Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р„изображенный на рис. 71. Участки Р,Р„Р,Р, этого контура лежат на горизонтальных прямых -а- (2Р+ 1) л — 1аа У и и вдоль них ~ о, (х, Л) ~ ( сопз(!р, ~ егэ ~ = ~ е'" ( «=. е" * г. Отсюда 1й.'-, ' " --, ~ емо~ (х, Л) с(Л ~ ( —, Р, ~ —, ~ емо, (х, Л) дЛ ~ ( †.
Р, Константы здесь и во всех оценках, которые будут сейчас проводиться, можно выбрать не зависящими от 1, х из прямоугольника 1, = 1 ( Т, 0 - х =-- 1. ~Гр+Фс-гту уВ дальнейшем мы эту те равномерность оценок будем все время подразумевать, не оговаривая особо. Мы уже знаем, что при ~ йе Л) К*, а следовательно, и при 1(е Л == =.+-К* имеет место оценка о (х, Л) =0 ( —,). Пользуясь этим, мы, очевидно, приходим к тому, что по каждому из отрез- -Р,еаа. а а,а„а,а„а,а,, а,а„ имеющих ограниченную длину, интегралы м грет х ! —, ~ емо!(х, Л)с(Л~ Рис. 71. /1! являются также величинами типа 0(--~.
Оценим теперь модуль интеграла по дуге Р,Р,Р, окружности , 'Л ~ = (2Р+!) Л Х вЂ” е'"о,(х, Л) Ю~( 2 ~ /е"') ~ а(Л). Рарара Р Рая Так как на окружности; Л ~ = — п (2Р+ 1) К Л = ~ Л ! (соз !р+ !' 8!'и !р), то !2Р+ Пн )ЕМ1, (С(Л! 1Л )Е!А!!со! Ф8(8р ( О+ ) Е н Е(<р, К Поэтому !еА!~~ИЛ~- Р~Р~Р~ 8 К К + 2 — — К28!88 2Р+1 и 2 е " ' 8(ч о ~ е " !(8=0(- — ). — е"о2(х, Л)с(Л~(сопз( Р,Р,Р; Утверждение, что последний интеграл можно считать величиной !11 типа 0 ( — ), составляет содержание леммы Жордана, часто используемой в теории функций комплексного переменного. Ее несложное доказательство было изложено в ~ 26.
Итак, мы показали, что — ."',(, Л) Л|=О( — '). Р,Р,Р,РР,Р,Р,Р,Р,Р, С другой стороны, и!(х, !) = —. ~ е"о,(х, Л)8(Л+ОЯ Значит, и2(х, 1)= — „;. ф е"о;(х, Л)дЛ+0( — ). РР~Р~Р !' Р Р Рве Р Из теории функций комплексного переменного известно, что контурный интеграл не будет менять своего значения, если мы начнем деформировать контур так, чтобы он при этой деформации не проходил через особые точки подынтегральной аналитической функции.
Пользуясь тем, что функция о,(х, Л)еА' может иметь полюса лишь в полосе ! КеЛ',(КФ, мы заключаем, что наш сложный контур без изменения значения интеграла может быть продеформирован в границу прямоугольника РАРФРАРЬР„ который 2 281 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ аез ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ ггл ш мы будем обозначать Пр (1), А((Ка. — (2Р+!)и — гщ'~) .А (2Р+!) Х х Итак, постулировав некоторые асимптотические свойства о, (х, А) в полосе ~ !хек!(Сопз! и воспользовавшись уже доказанными фактами про о;(х, Х) (ог(х, Х)) вне этой полосы, мы получили следующее важное представление и, (х, !) = —. 1 ех'о, (х, )ь) Ю+ О ( — !! 2пг з гр! й, I! ! с оценкой О ( — ) для остаточного члена, равномерной при О( (х((, 0(г' (Г~= Т.
Прежде чем пользоваться этой формулой для обоснования метода Фурье, мы в следующих двух параграфах восполним пробел в нашем доказательстве. А именно, мы изучим функции о;(х, Х) внутри полосы ~ ЙеХ,'(сопз!. 9 29. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений Асимптотические (по А) формулы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с преобразованием Лапласа. Эти формулы получаются из явных представлений решений системы, содержащей два независимых уравнения. Последующие леммы постепенно приводят к все более и более сложному характеру зацепления уравнений.
В этом параграфе будет доказана Тео рема об ас им п тот и ке решен и й задачи Кош и. Если Йг(х), тг,(х) — функ!!ни, непрерывные вместе со своими первыми производными, гпо любые решения системы Впт Хо, + й, — + т„о, + т„о, = ~р„ ГГО2 о2 ~2 ~гх + 11121о1 + т22о2 гр2 удовлетворяют при )гхеЛ((Ка на отрезке гО, 1] неравенствам: !о,(х) — о,(0) е-хр г'г-Р !">!( М ( — (шах ~ грг (х) !+ гпах ) ~рг (х) )+ гпах ~ ог (0) !], — !л! [,, пх г ~ О (Х) — О (0) Екаагхг+Нгх! ! '( ( ! [гпах ~ грг (х) ~+ шах ~ гр,' (х) ~ + гпах ~ ог (0) !1, М 1,2 ск 1 еде постоянная М ог(енивается через максимум модуля козффичи- 345 АсимптотикА Решении ентов и их производных, а уг(х), рг(х) определены формулами: у;(х) = )— .) Агй) е к рг(х) = ) г($.
(' глп $) о Формулировка этой теоремы на первый взгляд кажется довольно сложной. Но это только кажется. Сейчас поясним, в чем смысл этой теоремы. Оказывается, что рассматривая решения нашей системы при больших по модулю )ь лежащих в некоторой узкой полосе около мнимой оси, мы можем вычеркнуть из системы коэффициенты итз, гпзг, запутывающие уравнения, и правые части гри грз. Решение оставшейся после этого расцепленной однородной системы "+( ' + глы(х)).=О Вх [я,(х) д,(х) ) выписывается формулами о,(х) =от(О)е — ля (к) — в (к), о,(х) =оз(0)еьш(кз+Р ( > которые и представляют собой главный член нашей асимптотики.
!1( Члены порядка О~ — ( в этой асимптотике оценивают влияние отброшенных членов в уравнениях. Мне кажется, что после этих пояснений формулировку доказываемой теоремы будет нетрудно запомнить. Приступим к доказательству теоремы. рассмотрим сначала решение одного ураннения с постоянным коэффициентом Хи+ — = Е (у), и (О) О. ви ву Это решение может быть выписано формулой и и (у) = ~ е ь (у - оп) (т)) г(Ч. Очевидно, что и(0)=0. Непосредственным дифференцированием легко убедиться в том, что уравнение выполнено. Интегрированием по частям формулу для реше- 346 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОЛ ФУРЬЕ (ГЛ.
!Ч ния можно привести к другому виду; и(у)= — [е л™ц(ЧНо — — ~ е л'" шу'(э)) "т) ! =д -д~ о ! = — [д(у) — д (О) е ло) — — д! е л'е — ч'д' (т!) дт). )л д .) о Предполагая, что ,'у[(у, Х=п+гг, [о [~ Кч, а следовательно, !е ло' [е ое !те[ е во~едок [е — э(е-ч! [~екв! и используя формулы для решения, мы можем получить неравенства [ и(у) ! — сопз! гпах ! д(у) [, [и(у) [(, [шах [у(у)+гпах[у' (у) [[. Из этих неравенств следует справедливость леммы !. Л е м м а ! . Решение уравнения ко+ — = д (у) +, и (О) = О, В (у) ду в предположении, что [ Рек [ ( К*, ! у ! ( У, допускает оценку сопз! Г ! ду '"" = ° -" "'+"" "+""~ -!1 Рассмотрим теперь решение г=г(х) уравнения с переменными коэффипиентами: Аг + Й (х) — — + т (х) г = ! (х) + дг [* (х) дх )л Подстановкой к у= ), г=е и'"'и, д(х)=оп~в~[, дс д! А(Е) о у*(х)= — ев'"'[ч, р(х)= д! с$, Г т(с) 3 А(и о иэ которой следует, что — = еп '"' ! А (х) — + т (х) ! ~, дд,, Г гпах [ д (у) [ ~ сопз! птах [ ! (х) !, шах [ дч (у) [( сопз! шах [!'(х) [, !пах! у'(у) [~сонэ! [плах !)(х) [+игах[!'(х) [[, уравнения для г приводятся к разобранному в лемме ! уравнению для и.
Нами доказана 347 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ Лемма 2. Если яри О х(1 А(х) ~ О, А (х) и т (х) ограничены и непре. рытсы и если [ йе Л [( К*, то решение г (х) уравнения Лг+й(х) — +т(х)г [(х)+, г(0) 0 дг 1* (х) оценивается неравенством ) г (х) [ ~ [шах [ [* (х) [+снах ( [(х) (+шах [[' (х) ) [. Решение однородного уравнения дг Лг+Ф (х) — + т (х) а=О дх выписывается формулой г (х) = г (0) е-Ав '»' =.) А(~) =~ а) о Представляя решение неоднородного уравнения в виде суммы решения с нулевыми начальными данными и решения однородного уравнения, легко заключаем, что сопз( [ г (х) — г (0) е Аз '"' и '"' / ( — [гпак ~ [* (х) ! + тпах [[ (х) / + тпах / [' (х)[ ).
При доказательстве леммы 2 мы пользовались тем, что А (х) не обращается в нуль при 0~»(1, но нигде не пользовались положительностью А(х). Это позволяет нам считать доказанной следующую лемму. Лемма 3 Если при 0(х(1 ковффициенты )ц(х))0, 1с;(х) и ти(х) ограни«сны и непрерывна и если [ йе Л[ ( К*, то решение системы Лет+А,(х) +ты(х) г,= +[, (х), дг, [в (х) дг, [вв (Х) Лгз — (е,(х) — -[- ты (х) г,= ' + [в(х) дх удовлетворяет неравенствам: ~г,(х) — г,(0) е Авш') и 1») (~ (рц Ев), )Л) / гз (х) — гв (0) еьви»)«ми*) ) ( — (у+е«) -- [).[ Е = гпах ( ! [т /+ / [; [-[- ! [, 1 [- [ [,' [ ), р' = снах ( [ [в, /+ [ [вз / ), » » уе(х) = — , рн (х) = дй, дй Г ти(Е) Ае($) ' ~ Аей) а поспюянная У воысит от величины ковффициентот, длины отрезка 1 и от Кв.
Производные коэффициентов в зту оценку не входят. 348 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЪЕ !ГЛ (Ч Доказанное неравенство для решений «расцепленной» системы, состоящей из двух не связанных друг с другом уравнений, мы положим в основу получения асимптотнческого представления решений интересующей нас «зацепленной» системы. Сначала рассмотрим случай слабого (при Л-»Оо) зацепления: дв« 1 Лвт+йг(х) — „+ ты(х) в,+ — [пы(х, Л) ин+п, (х, Л) вг)=ф«(к), двг 1 Лв, — й, (х) — + т„(х) во + — [пг, (х, Л) в, + пм (х, Л) в«[ = фг (х). дх «Зацепляющие» ((оэффициенты пеа(х, Л) предположим непрерывными по х и ограниченными. Рассматривая некоторое решение вг (х), вг (х) такой системы, обозначим шах [в((х)1 =ы, «,к «пах [ в( (0) [=(о,, 1[ (пыв1+ пггвг) [1 фь [г« = — (по«в«+ поги г), [, = «рг, и, пользУЯсьтем, (тоР«=шах(([ог (+([«[) ( !(о, [е эи' н'! (м, («АУ+в' [ < ( М, мы с помощью леммы 3 приходим к неравенству в .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
