С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 61
Текст из файла (страница 61)
О 1,» ПуСтЬ О"~, О12~, ..., О<г~ — СОбСтВЕННЫЕ ВЕКтср-фуНКцИИ, ОтВЕЧаЮ- щие собственным значениям р,(ро(...~р„, и пусть Ы)+~ (2)+ +~ ~г) является вектор-функцией, лежащей в пространстве, натянутом на эти собственные. Тогда П(о, о) ));1Б,П( «', о») К(о, о) ЕДД» К(о"', о'»') 222 П (о~1П о111)+й» П (о~о~ о~» )+ +222 П (о1г~ о1г1) Б2 К (2~1! о~1>) +2»2 К (о|2 о~Ф) + +22 К (о~л о г ) р!АЙ!К(о ' о )+р2 2К(о ' о )+' '+р К(1 ' о ) 222 К(о211 о11~) ( 222 К(о12 о121) ( ( 22 К (о1л о1г ) Если предполагать, что собственные функции нормированы так, что К(о~г), осп) =1, то и( -) рД+РД+".+ИД К(...) 2)+2,+...+21 Если все собственные значения различны, то минимум П (о, о) ш!п ' =р, достигается только на вектор-функциях, пропорциональных о~11, т. е.
на собственной функции, отвечающей наименьшему собственному значению. Это утверждение допускает следующее важное обобщение. Пусть о пробегает вообще все гладкие вектор-функции, а не только те из ннх, которые являются линейными комбинациями конечного числа собственных. Можно доказать, что для таких о П (о, о) К(...)-Р где р, — наименьшее из собственных значений нашей задачи, причем минимум достигается только на собственной функции, отвечающей р,. % зз1 сАмосопРяженнАЯ системА втоеого погядкА Этот факт служит основанием очень важного для приложений метода Рнтца, предложенного в 1908 г. и применяемого для вычисления собственных функций и собственных значений. Разберем идею этого метода на примере задачи, в которой одна искомая функция о(х) и формы К(о, о), П(о, о) задаются формулами К (о, о) = ~ а (х) о' 1(х, з 1 П(, )=~8()(-,"-;) б + '(Ц.
з Будем искать минимум шш ( ' 1 —— ш!пП(о, о) (при условии К(о, о) =1) . п(, ) не среди всех о (х), а только среди о(х), являющихся полиномами степени р: о (х) = а, + а,х+... + архР. Для таких о(х) л1А = Й ~ Ь (х) хз"" ' 1(х + 1, о л1А = ~ а(х) хзчз з(х, Р П(о, о)= ~ лз,а,ам С А З Р К(о, о) = ~ к1за1а„ а собственный вектор, на котором этот минимум достигается, удовлетворяет однородной системе Р ~~', (лм — рхзз)аз=О. Таким образом, дело сводится к решени о алгебраической задачи. Естественно ожидать, что, повышая степень р полинома, и дело сводится к нахождению минимума квадратичной формы Р лма;а, на векторах (а, а„..., ар), удовлетворяющих условию 1, З=З Р яма;а, = 1.
1, А=з Как известно, этот минимум р равен наименьшему корню характеристического уравнения степени р+1 бе1 (л11 — рк11(=0, 388 [гл. ш ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ мы будем все точнее и точнее приближаться к собственному значению и к собственной функции.
Практическое удобство метода Ритца состоит в том, что обычно удается получить хорошие приближения, рассматривая в качестве допустимых лишь функции, лежащие в пространствах не слишком большой размерности. Эти пространства не обязательно должны быть пространствами полиномов. Особенно выгодно применять метод Ритца для отыскания собственных значений и функций в случае задач с двумя или тремя пространственными переменными, где нет почти ни одного конкурирующего с пим метода. Отметим еще, что обычно метод Ритца дает очень хорошую точность для собственных значений и несколько худшую для собственных функций.
В заключение главы 1"у', посвященной методу Фурье, заметим следующее. Часто изложение этого метода состоит в построении решения краевой задачи (и тем самым в доказательстве существования решения) с помощью решений специального вида «стоячих волнэ. И во вводной первой главе, и в настоящей мы предпочли опереться на независимым образом доказанные теоремы существования решения краевых задач и затем уже разлагать эти решения по функциям специального вида.
Однако полученные нами формулы для коэффициентов разложения решений симметричных консервативных задач дают возможность выписать явные выражения для решений по начальным данным, если известны собственные функции краевой задачи для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛИТЕРАТУРА 1 Годунов С. К. Уравнения математической физики.— Мл Наука, 197!. 2. Седов Л. И. Распространение сильных взрывных волн.— ПММ, 1964, т.
1Х, вып. 2. 3. К о л м о горо в А. Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Мл Наука, 1972, гл. П, 4 3. 4. Лю стер н и к Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Мл Наука, !965, гл, 1, 4 3. 5. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Лл ЛГУ, 1950, с. 1 — 255; Новосибирск, 1962, с. 1 — 255. 6. Н и коль с к и й С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — Мл Науна, !977. 7. К р е й с О.
Смешанные задачи для гиперболических систем. — В кн. «Математикам !970, т. 14, № 4, с. 98 — 11!. 8. Са к о мото Р. Смешанные задачи для гиперболических уравнений.— В кн. «Математика», 1972, т. !6, № 1, с. 62 — !00. 9. !й аз«а М. М1хеб ргоЫегп 1ог !Ье чаче е~!па!!оп «ч!!!з ап оЫ1опе деНчаНче Ьонпбагу сопб!!1оп. — Озона Л Мабь 1970, ч.
7, р. 495 — 525. 10, Году нов С. К., Гор дне н к о В, М. Смешанная задача для волнового уравнения,-АН СССР, Сибирское отделение. Институт Математики. Дифференциальные уравнения с частныии производными. Труды семинара С. Л. Соболева. Новосибирск, 1977, с. 5 — 32.
11. Л а в р е н т ь е в М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. — ИАН СССР (сер, математическая), 1956, т. 20, с, 819 — 842. 12. Т и х о и о в А. Н., А р с е н и н В. Я. Методы решения некорректных задач. — Мл Наука, !974, с. 21! — 221. ПРЕДМЕТНЫ УКАЗАТЕЛЬ Адамара пример 1!2, 285 Арцела теорема 126 Бихарактеристики !72 Варнационный принцип Дирихле 283, 285 Гамильтона — Якоби уравнение 169 Гармонические функции !9, 20 Гарнака неравенство 273 — первая теорема 272 Гильберта задача 299 Гиперболические системы 81, !40, 144 — уравнения 57 1-гиперболическая система 85 — — симметрическая 86, 144 Гладкая функция 58 Даламбера формула 67, 105 Дирихле вариационный принцип 283, 285 — задача 28 — интеграл 269 Диссипативные граничные условия 187 Дюамеля интеграл 321 Задача Гильберта 299 — Дврихле 28 — консервативная 370, 37! — корректная 112 — Коши 65, 77 — — для уравнения второго порядка 90 — некорректная 112 — обратимая 211, 335 — о косой производной 307 — смешанная 192 Запои сохранения энергии 68 Инварианты римановы 64, 143 Индекс граничного условия 300 Интеграл Дирихлс 269 — Дюамеля 32! — Пуассона для уравнения теплопроводности 41 Интегралы энергии 87, 149, !51, 154 Консервативные задачи 370, 37! Конус характеришик 178 — характеристических нормалей 88, !63, 169 Корректная задача !12 Коши задача 65, 77 — — для уравнения второго порядка 90 Коэффициент теплопроводности 3! Критерий Шварца 287 Лапласа преобразование 323 — уравнение 12 Лемма об интегральном неравенстве 152 Лиувилля теорема 273 Метод Фурье 92 — Шварца 287 Модуль всестороннего сжатия !65 — сдвига !65 Начальные условия 62 Некорректная задача !12 Неравенство Гарнака 273 Обобщенная функция 50 Обобщенные решения 56, 76, 127, 132, 135 391 ПРЕДМЕТНЪ|Н УКАЗАТЕЛЬ Обратимые задачи 211, 335 Объемный (ньютоновский) потенциал 15 Первая теорема Гарнака 272 Пополнение пространства 75 Потенциал объемный (ньютоновский) !5 Преобразование Лапласа 323 Пример Адамара 112, 285 Принцип максимума 19 — — для уравнения теплопроводности 33 — — усиленный 274 — минимума 34 Присоединенные собственные функции 365 Пуассона интеграл для уравнения теплопроводности 41 — уравнение !2 — формула 25 Равностепениая непрерывность в среднем по ! 122 Равностепенио непрерывное семейство !26 Регулирующий множитель 304 Римановы инварианты 64, 143 Скорость звука 64 Смешанная задача 192 Собственная вектор-функция 100 Собственные значения !00 — функции присоединенные 365 Соотношение на характеристике 79 Стоячие волны 102 Теорема Арцела !26 — Лнувилля 273 Теорема о максимуме и минимуме 19 — от разрывной мажоранте 274 — об асимптотике решений задачи Коши 344 — об обращении преобразования Лапласа 324, 328 — об устранимой особенности 275 Теоремы о среднем арифметическом 269 Теплоемкость 31 Уравнение Гамильтона — Якоби 169 — Лапласа 12 — малых колебаний струны 66 — Пуассона 12 — теплопроводности 28, 4! — Эйлера 93 Уравнения акустики 63 Формула Лаламбера 67, 105 — Пуассона 25 Функция гармоническая 19, 20 — гладкая 58 — обобщенная 50 Фурье метод 92 Характеристики 62, Я, 76, 79, 84, 89 Характеристический треугольник 63 Частотная характеристика 323 Шварца критерий 287 — метод 287 Эйлера уравнение 93 Эллиптическая система 91 Сергей Константинович Году»сов УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ФИЗИКИ М..
1979 г., 392 стр, с илл. Редактор В, В. Абгарлн Технический редактор Е. В Морозова Корректор Н. Б. Ру.иянцеза ИВ № 2298 Слепо в набор 06.07.78. Подписана п печати 25.01.79. бумага бохйб'7,«, тнп. № 1. Литератураая гарнитура Высокая печать.
Условн. псч л. 24.5 Уч..изд. л 25,66. Тираж 20000»кз. Заказ № Н9, Цена книги 1 р. 1О н, Издательство «Наука» Главная редакция физика математической литературы Н7071, Москва, В.71, Ленинский проспект, 15 Ордена Онтябрьской Революции. ордена рудовога Красного Знамени Ленингралское производственно.техинчесное объединение «Печзтный Евер» имени А. М. Горького «Союз. полнграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полюрафни и книжной торговли. 197136, Ленин~рад, П-!36, Гатчинская, 26 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
