С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Матрицу Ь„, мы г)редполагали такой, что из выполнения одного из граничных условий вытекает обращение в нуль квадратичной формы Ьпи! + 2Ь„и,и, + Ьмиз Мы отмечали уже, что для этого необходимо, чтобы указанная форма разлагалась на два сомножителя. Предположим дополнительно, что эти множители различны и, следовательно, сигнатура квадратичной формы равна дх ))х (1, — 1). Характеристики — = Ь! (х), — = Ь» (х) консервативной системы определяются с помощью уравнения де1,'( — йА)! =О (В =!)Ь!»), А =)а!»1). Как известно из алгебры, существует такая невырожденная матрица 5, что )! о) Я*АЗ = ( ! (А — положительно определенная), =(,о Так как сигиатура квадратичных форм при изменении базиса сохраняется, то корни /г)=/г! (х), Й,=Ь»(х) имеют разные знаки.
Следовательно, если коэффициенты достаточно гладкие, консервативная система может быть приведена к каноническому виду, который использовался при обосновании метода Фурье. Можно также показать, что граничные условия у консервативной задачи удовлетворяют тем требованиям, которые нужны для применимости развитой на предыдуп)их лекциях теории, Мы не будем на этом останавливаться. Рассмотрим конечномерное линейное векторное пространство, натянутое на А' собственных вектор-Функций нашей консервативной системы. Каждый элемент (ч)„ч)») этого пространства представим в виде гр, = У, с„о! '(х), !») »=! гр,= ~, с»оз '(х).
»=! Здесь (о)!") (х), о~»" (х)) — собственная вектор-функция, отвечающая собственному значению 1!». Мы будем для простоты предполагать, РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ КОИСЕРВЛТИВИОй СИСТЕМЫ зтз % и! что система не имеет кратных собственных значений, хотя кратность по существу ничему не может здесь помешать. Сопоставим элементу (ер!, ер,) элемент (!р„!р,) по формуле !р! = ~ ', с,ехетв! ! (х), е=! !р = ~', с„е!е аг (х).
е= ! Это сопоставление можно трактовать так. Построим по начальным (при 1=-0) данным <рм ере решение изучаемой системы, а затем рассмотрим значение этого решения при )=т. Это значение и будет вектор-функцией Я„!ре). Нами было доказано, что ) [а!!ер!ер, + а„(!ртф, + ер,ер!) + ам<регр,] е(х = о =- ~ (а!!!Р!!Ре+ а!е (т)!Де + !Р!!Ре) + ае,фДЕ] е(х. о Легко также сообразить, что ехетФеъР' при достаточно малых т, если Ле:рЛ . В самом деле, так как Л„Л„..., Лл — конечное число различных собственных значений, то существует щах ~ Л,— 2п — Ле ) = !Л. Выберел! т ~ -"-.
Тогда ) Лрт — Л т !-,2п, а следовательно, лт ЕР Хт-Хт — =-еР е ~1, еР ы:ем. Х т лет е Преобразование !О и ер.,) — (!р„!р,) является линейным преобразованием, а числа е'! — его собственные значения. Отвечаюх щие им собственные векторы — это соответствующие собственные вектор-функции. Введем в нашем конечномерном векторном пространстве комплексное скалярное произведение (8, еР) = ~ (аиб!еР!+а„(б,еР, + О,еб)+ аееб,ф] с(х.
Легко убедиться, что 1' (8, ер) =(!р, 8), 2' (Лб, <р) =Л(8, ер), З' (8+8, р)=(8, ер)+(8, р), 4' (8, 8) )О, причем равно нулю, лишь если 8=0. Последнее утверждение мы недавно аккуратно проверяли. Свойства 1' — 4' являются аксиомами, которым должно удов- летворять скалярное произведение в комплексном евклндовом 374 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [Гл.
[Ч пространстве. Закон сохранения энергии при преобразовании р=(р ° р) р=(р ° Ы мы можем теперь толковать как сохранение скалярного квадрата вектора при рассматриваемом линейном преобразовании: ([р, [р) = = (1р, т)1). Преобразование, обладающее таким свойством, называется унитарным. Легко проверить, что собственные значения унитарного преобразования и обязательно равны 1 по модулю.
В самом деле, пусть и[р = рГр. Тогда, в силу унитарности, (и[р, и[р) =(Гр, [р). С другой стороны, (и[р, и[р) =([[р, [[[р) =[[([р, [[[р) =[[(р[р, Гр) =[[.р([р, [р). Скалярный квадрат ([р, [р) веществен и положителен, а следовательно, (с~, [р)=([р, [р).
Мы видим, что (Гр, [р) =[[ р([р, [р), а значит, р.р=!, ~ р[=1. В нашем случае собственные значения — это е[р'. Из условия [е'рт [ = 1 вытекает, что Л т — число мнимое. Очевидно, что Лр тоже будет чисто мнимым. Мы доказали, что для рассматриваемых консервативных систел[ все собственнь[е значения Л, лежат на мнимой оси.
Докажем еще, что собственные функции, отвечающие различным собственнь[м значениям, ортогональны в смысле введенного скалярного произведения. Сначала заметим, что из равенств (ир, ир)=(р, р), (ир, ир)=(р, ф) следует, что (ир, иф) =(р,,р) Действительно, (и(р+ф), и(р+ф)) =(ир, ир)+(ир, и И+(ир, иф)+(и,р, и,), (ирр+1И, и(р+[ф)) = =(ир, ир)+(иф, ир) — (ир, ир)+ (ир, ир).
С другой стороны, (и (р+ И, и рр+ р)) =(р+ф,,р+ И = =([Р. [Р)+(Тч 1Р)+([Р* ТР)+(ТР 1Р) (и(~+ И, и( +®) =(р+ ф, ~+ И= =(Гр, р)+Й, И вЂ” ([р. ф)+1(ф, ч), (ир, ир)=(ч, р), (и~, иф)=(р, р). Сравнивая все эти равенства, находим (ир, иИ+(ир, ир)=(р, И+(ф, р), (2) — 1(ир, иР)+ (иф, иИ = — (р, р)+((ф, р). (з) гяд ьхяьв для консвгвлтивнои системы 375 % зп Прибавляя к тождеству (2) тождество (3), умноженное на получим равенство 2((7гр, (7ф) =2(<р, ф).
Утверждение (()~р, (/ф) =(~р, ф) доказано. Пусть теперь ар =в,ф, (7ф=р,ф, причем р,чь рм Мы уже знаем, что ц,р, =1, ц,р,=1. Неравенство — "'чь1 можно записать в виде ц,ц,чь1. Воспольн~ зуемся тождеством (ир, иф)=(р, ф). По условию (()~р, (7Ф) =(р~гр, рзтр) =ргр~й, ф) =(<р, Ф). Это равенство возможно лишь, если пгц,=1 или если (гр, ф) =О. Первое невозможно по предположению. Следовательно, (р, ф) =О. Ортогональность собственных функций доказана. В случае если консервативная задача имеет кратные собственные значения, преобразование и;(х, О)-+ Ш (х, т) не перестает быть унитарным.
С помощью обычных для линейной алгебры приемов можно показать, что в этом случае никаких присоединенных функций не существует и что каждому г-кратному собственному значеншо отвечают г линейно независимых собственных вектор-функций. Так как любая линейная комбинация собственных вектор-функций, отвечающих одному и тому же собственному значению, опять будет собственной с тем же собственным значением, то для них люжет быть выбран ортогональный базис. Напомним, кстати, что кратные собственные значения будут лишь в конечном числе и каждое из них имеет конечную кратность. Собственные вектор-функции, отвечающие различным собственным значениям, по доказанному выше будут ортогональны автоматически.
Ортогональностью базиса из собственных вектор-функций удобно пользоваться при приближении начальных данных. Пусть мы хотим начальную вектор-функцию гр = (ср, (х), ~р., (х)', приблизить при полющи конечной линейной комбинации собственных вектор- функций 'У, 'сьопо(х) (и"'=(п)~', с4~')~. Естественно определить ь=! коэффициенты са из условия минимума невязки б =~р —,У, с~о'м. й =! Для измерения величины Л цевязки удобно пользоваться нашим 376 ПРЕОБРАЗОВЛНИЕ ЛЛПЛЛСЛ И МЕТОД ФУРЬЕ (ГЛ. ГР скалярным произведением: б=1б)!'=(б б)= =(Тр, !р) — ~ с»(Тр, о!»') — ~~', с»(о'»', Тр)+ У, с!с,(о!', о!»')= = (<р, Тр) — ~ с» (!р, о"!) — ~к , 'с»(~, т'"!)+ 5; с,с, (о!»), о!и) »=! »=! »=1 л! И =(<р, <р)+ ~ ~с»(о'»', о'»') — (Тр, о!»)) !' — 'етт (и'»' Р'»') .йй (Рьи Рьи) »=! »=! Отсюда видно, что Л принимает минимальное значение при (!Р Рьи) с»= (Р(»! Р~»~) ' Теперь мы можем вернуться к вопросу о нахождении коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье, полученный в предыдущем параграфе.
Там было показано, что для решения справедлива формула и(х, () =~!(»о(») (х) е'!' +О~- ), ! где о!"! (х) =(о1 '(х), о' !(х)) — собственные функции, а ),» — собственные значения нашей задачи. Остаточный член, правда, оценивался лишь для 0 ( (» -: ( ( Т. )(о если учесть обратимость задачи, то можно за начало отсчета времени взять (=- — т с началш!ы!!и данными и(х, — т), так что можно считать оценку равномерной при 0==-(( Т. В частности, сс (:, О) = <р (х) =- ~~! с(р,ооо (х) + О ( .), ! Если задача консервативна, то умножая это равенство скалярно на о!»!(х) (в введенном нами скалярном произведении), получаем (<р, о'»!) = !(» (о!»!, о!»!) + О ! — ) ',У, или, в силу произвольности 7»!, ((Р Р(»)) !(» = (Р1»1 Р<»~) Другими словами, коэффициенты И» — это и есть коэффициенты Фурье разложения начальной вектор-функции по собственным функциям унитарного преобразования К 377 » зз! СЛМОСОПРЯЖЕННЛЯ СИСТЕМЛ ВТОРОГО ПОРЯДКА В результате получаем окончательную формулу для решения задачи с гладкими согласованными начальными данными гр(х) =.
=(гр,(х), гр,(х)): и(х, 7)= ~~,' ~' " и!«!(х)е «'+О( —,). «=! Рассмотренный во вводной части пример акустической системы + — — =О, ди 1 др д! Ро дх др , ди д! + Роса дх = 0 и (О, 1) = и ((, 7) =- 0 является частным случаем консервативной задачи. Ее собственные Алх йлх! вектор-функции (!' Вгп —, — р,с, соз ! ), собственные значения ! л«=! — с, скалярное произведение равно ) (р и,и,+ — ц!х, . Ал ! г' о о а формула для решения имеет вид: и(х, ~)= ~~! с«!'Вгп чх е ' +О( — ), «=! м !«я р(х, 7)= ~ с,( — рс,соз — "" 1е ' '+О( — ), « =-! где ! Р !. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
