С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 60
Текст из файла (страница 60)
«лх ! «лх с« = — — 1 ! ! з !п — и (х, 0) + — СО —" р (х, 0)) с(х. Расо о $ 33. Самосопряженная система второго порядка Ее сведение к симметричной системе первого порядка. Эта система консервативна. «Кинетическая» и «потенциальная» энергин для решений этой системы. Собственные вектор-функции и собственные значения соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Собственные функции ортогональны как в «потенциальной» метрике, так и в «кинетической». Формулы для приближенного решения задачи. Замечания о методе Ритца. Изучение метода Фурье мы закончим рассмотрением некоторого класса типичных задач, к которым этот метод применим.
Это рассмотрение покажет одно из важных направлений, в которых допускает расширение проиллюстрированная на простом примере теория. 378 ПРЕОБРЛЗОВЛНИЕ ЛЛПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ !Гл. \у Мы будем рассматривать симметрическую и так называемую самосопряженную систему второго порядка л / л д»и» д 'д ди» '1 аи(х) д!» = дх ~,~ Ь (х) дх »=! »=! Матрицы 1а!» (х) ), ( Ьи (х) 1 здесь предполагаются симметричными и (обе) положительно определенными. Граничные условия при х=О и при х=1 будем предполагать заданными в следуюшем виде: Х Ьи(0) — = 7~оиа„прн х=О, ди» Ст ди» би(1) —,— = — ~~баии, при х=1 дх с неотрицательно определенными квадратными матрицами о!», Е»„.
Начальные данные при 1 — — 0 должны для этой системы задаваться так: и>,(х, 0) =!р»(х), Мы сейчас покажем, как такую задачу можно привести к консервативной задаче для системы уравнений парвого порядка, содержа!Дей в два раза больше уравнений, чем исходная система второго порядка. Консервативность этой задачи будет гарантией се обратимости, используя которую, можно доказать применимость метода Фурье. Обозначим — =с, д! ~» Ь»„(х) — ' = »с!. Матрицу ), 'Ь!„!! ' обозначим!/си(х) !1Г Легко проверить, что ~!с!»(тоже будет симметрической и положительно определенной.
С ее использованием могут быть записаны тождества ~ ', с,!Ь!» = Ь» (символ Кронекера), ди! %~ дх- =,~' си(х) »с» 3ти последние равенства, будучи продифференцированы по 1, $331 САМОСОПРЯЖЕННАЯ ГИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА 379 приводят к уравнениям дми дии см (х) Исходные же уравнения переписываются в следующей форме: ~р дии деч дг дх » а,(х)— Объединяя уравнения этих двух видов, приходим к симметрической системе ам (х) —, ди» «яи, и которая, с учетом замены (1), эквивалентна первоначальной системе. После умножения уравнений полученной системы на о, н «аь соответственно, сложения и интегрирования по области с кусочно гладкой границей Г получаем интеграл энергии (см.
9 9): ~ — -( ~ амп си+ ~ сиге«ге» Гйх+1 Рои3е, «(1=0. г (си,и 1 ~~ 1 С3 дии дии КваДРатичнаЯ фоРма — 7 амо ои = — 7 ам — — отвечает, так ска- 2»~и ' 2»~и дг дг ,"и ..и зать, «кинетической» энергии, а форма и,и — «потенциальной». Мы пишем слова «кинетическая» и «потенциальная» в кавычках, чтобы подчеркнуть, что речь идет о некотором общем классе уравнений, для которого понятия кинетической и потенциальной энергии могут иметь только условный смысл. Из граничных условий при х=О вытекает, что ,» Ьм(О) д" ~ = ге~~ = ~а«иаи~ и и ,~„цчпи~ =,~,,агин» зр ~ = 2- дг ~~,оииа«аи~ Аналогично из граничных условий при х=( получаем и'и ' и)хеи 2 д1»Ы~ ии и и(хеа ья ПРБОБРАЗОВЛННЕ ЛАПЛЛСЛ Н МЕТОД ФУРЪЕ !гл.
ш Отсюда !, — -~Д ЬА х=о 1,х к=о 1=1к 1, -)Х .)="-!-Х ""' -'-Х "") к=! ~ к к=! Используя эти тождества в интеграле энергии для прямоугольника О==.х=-.1, 1!«1==1„мы приходим к следующему закону сохранения! — -'-! (Х' ""'Х" ") )к= о ,.х 1=1, ь 1г + — х«е!хи!ил) = — х«о!Аи!и„~ -~- — г е!«а!ил) + 2 хк« ' ' )х=! 2 хк« )х=О 2 Х ! ' )х=! ,.х !1, .Л 1=„„« + — ) ) ~~шсо!о„+ ~~с!А«с!«Ел) Йх.
о х /1=1, В этом законе к «потенциальной» энергии добавлены слагаемые — г О1„и!их ~, — х е;„и;и,, представляющие собой «запас ,« упругой энергию граничных условий. Полученное тождество можно толковать, как некоторое обобщенное условие консервативности, обеспечивающее унитарность преобразования решения при переходе от 1=1! к 1=1«. Исходя из этого, как н в предыдущем параграфе, нетрудно доказать, что собственные значения обыкновенных дифференциальных уравнений ЙЮ! л ~«а1«п„= —, о'х ' со! Х ~ с!л!с„=— 1!Х при наших граничных условиях оказываются чисто мнимыми, а система собственных функций ортонормирована в смысле метрики, задаваемой эрмитовой формулой с«1 2 х~« — ~~ оми!йл) + — ~ ) ~ха!Ап!ВА+ хос1«и!Ил !2х+ — ~~е!Аи!Ил ) !х=о 2 С )хк! ) 2х~« !х=! .,А о 'к~,х .,х 4, х 381 % зз! САМОСОПРЯЖЕИНАЯ СИСТЕМА ВТОРОГО ПОРЯДКА Однако эта ортогональность обычно не используется прн приближении начальных данных комбинациями собственных функций.
Дело в том, что собственные функции, оказывается, можно считать ортогональными в более простой метрике, связанной лишь с матри. цей «кинетической энергии» ) ам'). Сейчас мы покажем, как к такому выводу можно прийти. Переписав уравнения НРЗ с Лщд= —,х в форме 6ЬА Лше= 7 Ьм— дх и подставив отсюда Лш, в равенства 3 з НЛВЭ Л ~~а дод= — ', дх получаем уравнения второго порядка: Лз ~' а;двд = — „(~~1' Ьм ф д Лд Так как собственные значения Л являются чисто мнимыми, то, следовательно, Лз должно быть вещественным и отрицательным. Обозначим Лз.= — р, Мы установили, что собственные функции должны удовлетво- рять уравнениям с вещественными коэффициентами -„"- ~~ Ь„М ф1~ ~ ~ „, Р),.
= О. Граничные условия з Йдд \з Ь~д(0) — „= ~до~дид (при х=О), Х амид Ьм (() — „= — ~~~~ едид (при х = 1) с помощью равенств Лид = од могут быть для наших собственных функций переписаны так: ~~~~~ЬМ(0) — „„" = ~амвд (при х=О), ~~~~~ Ь!д (Е) — д = — ~~~~ е1дв» (при х = () ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ 1гл. 1У Мы видим, что уравнения для собственных вектор-функций (он о„..., о„) и граничные условия для них вещественны. Отсюда следует возможность считать (о„о„..., о„) вещественными. Покажем, что собственные вектор-функции отвечающие различным собственным значениям р„р, (р,~р,), ортогональны в смысле скалярного произведения 1 / (о"', о"') = ~ ~ ~ амо;'"о,'," ~ Йх.
о сь для этого выпишем уравнения, которым удовлетворяют оп1, о~БЬ. -„-,т Ьм — „+р,; амох" =О. А А Умножим 1-е уравнение для о'" на о,'", а 1-е уравнение для о" на о,'", вычтем их друг из друга и просуммируем по всем 1: + (р1 — рх) .У, 'амо)" ох ' = О. Выражение в квадратных скобках может быть преобразовано следующим образом: с 1х ) ' йх А ( А 1 1 После суммирования по 1 последние две суммы уничтожатся и мы будем иметь -- ~ (ЬА ~о,'" —" ,— о~" —,'„~~+ (р, — р,) ~~ а Аоо'оА" = О.
я т о СА ',А 384 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ [ГЛ. 1У соответствующее этим приближенным начальным данным, записывается в виде и1А> (х, Е) =,11, ) АР соя т ' рр1)+ ВР з1п(г'")Ар1)=~ п»ю тх). Р=! И У и р а ж н е н и е. Убедитесь в этом непосредственной подстановкой в уравнения и в начальные условия. Мы уже отмечали, что собственные функции нашей задачи ортогональны еще и в смысле метрики, задаваемой формой 1 1 %Т 1 Г/%1 т~о1»н1н» 1»-о+ й ) 7 О1»п1р»+ 7 С1»тв1е'» 1~Х+ .» 1,» + й,1, е~»м114» ~х-1 = ~ ~', о1»и й»!»-о+ й,1, Е1»и1й» ~.-1+ 1,» 1,» 1 -«-;) (д „»,-~дь,фф)» . о ',,» 1,» Вычислим значение этой формы на собственной вектор-функции, для которой ).и»4 в», Л= — ) = 1/ — и, Ац»=В»4 о», т А=-1».
Непосредственное использование этих равенств дает г = и ),т О1»о10»дх+ о,» + р- ~ 1„о1»п1н» 1»-а+ ~ ) х Ь1»,~ д дх+-й х~ емп1и» (» 1 ь» О 1,» 1,» Преобразуем интегрированием по частям интеграл, входящий в квадратную скобку, 1 о с» 1 1,» = — й- ~'„о1»о1о» ~ -о — й,7„е1»р1п»! -1+ ~ ),7, пио1п» 11х. 1,» 1,» о ',» 388 сдмосоппяжанндя систем» второго попили» » зз1 При получении последней строчки мы еще воспользовались урав- нениями л (тт ло»у У~~ Ь г» вЂ” -)- )х ~~~„аг»п» = О лх ~~а лх ) и граничными условиями ли» 'чч Ь» — — д ст,»и»=0 ох ~з Ьм и» + ~~~в;„и» вЂ” — О (при х=О), (при х = «).
Окончательно приходим к выводу, что на собственной вектор- функции рассматриваемая форма равна — Пг»цпз» ГЗХ+ — ~ 7 Пг»ого» СГХ. о о с» Это утверждение эквивалентно утверждению о том, что на собственной вектор-функции, отвечающей собственному значению р, <потенциальная» квадратичная форма ! ,6 г, » о гт» !Гт» х-ст равна «кинетической» квадратичной форме 1 1 гсз — пт ~аз»пгп» гух. 2 йа« о г,» 3 ада ча. Докажите, применнн интегрирование по частям и используя дифференциальные уравнения дли собственных вектор-функций /о",, о"', ..., он'), )о,"', о'", ..., о,',"), отвечающих различным собственным значениям и р» Он~и») что Х оог по» о.
оп'о'ю! + Зт ~~Ь!» — ° — пх+ 7 е ор'ооо ~ =О. нх дх»~а г» ' » ~х-г с» о г,» Эта ортогональность собственных функций в «потенциальной» метрике вместе с уже доказанной раньше ортогональностью в «кинетической» дает их ортогональность в полной энергетической мет. рике («кинетическая»+ «потенциальная»). ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕТОД ФУРЬЕ (гл. Пг Для упрощения записи обозначим: П(У г) 2 ~о1»У1г»!" о+ 2 ~ 7 (2'» дх дг 2(х+ 2 ';.» О 1,» 1', » ) Гст 1( (у, г) = — ~ р аму1г„2(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
