С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Оказывается, что если для довольно произвольной функции Вектор-функция о(йо) от частоты |о носит название частотной >|и характеристики системы — — Аи =О, а представляющий ее инщ теграл ~ и (|) е нас(> называется преобразоеанием Лапласа от и (1). о Рассмотрим сейчас в качестве совсем простого частного примера случай системы, состоящей всего из одного уравнения пРеОБРАВОВАние лАплАОА и метОд ФуРье !гл. Ро и(1) известна ее частотная характеристика о(йо) =~ и (1) е ьмс(1, о то сама функция и(1) может быть восстановлена по этой частотной характеристике. Нмеет место следующая теорема об обраще. нии преобразованггя Лапласа: Теорема.
Г!успгь функция и (1), определенния при 0(1~со, удовлетворяет неравенствам /и(1) ! <Ме Р', /и'(1) !(Ме-Р' (р)0) и пусть, кроме того, при 0 =1; -2Т ! и' (1 ) — и' (1л) ! == М )/А — 1; ц Определилг преобразование Лапласа о(йо) формулой о(ио) =~ е г"'и(1) д1. о Тогда исходная функчия и (1) могкет быть восстановлена по о(1ол) с помои(ью равенства и (1) =е.— ) о(йо)ег 'г(ол+О( ь-). — ь !!л Оценка константы в О ~-; ) равномерна для всех 1 из отрезка 0(1„==-1.—. Т и для всех функций и(1), удовлетворяющих неравенствалг в условии теоремы.
Эта теорема лишь деталями форл.улировки отличается от общеизвестной теоремы об обращении преобразования Лапласа: здесь на функцию и(1) накладываются несколько более сильные ограничения и получается более точная аслгиптогнка для инлеграла. Доказательство теоремы будет приведено в следующем параграфе, а пока вернемся к рассмотрению часвотной характериспнои о(йо) системы обыкновенных дифференои циальньгх уравнений „, — Аи=О, ии „=гр. Оказывается, что каждая компонента этой частотной харак гернстики и (йо), являешься рациональной функцией (ол, имеющей полюсы в точках я, удовлетворяющих характеристическому уравнению г(е! !! А — яЕ !! = О.
Докажел1 это. Наряду с преобразованием Лапласа и(1) о(йо) =$ е-'"'и (1) б( о О ай системз овыкновянных диеэяявнциьльных толвнании 325 рассмотрим еще преобразование Лапласа от Аи(ь) и от — „ ои (») ~ е-™Аи (() пг = А ~ е-'""и (1) Ж= Ао (йо), о о СО ь=о» е-'"' — "- Й = (и (1) е-'"'], — ~ и я г)е-»ии = ж о »=о = — и(0)+йод и(()е-' 'г((= — гр+йоо(ио). о Отсюда е-'"' ( — — — А и) М = — гр + иоп (йо) — А о ((ы).
~ ™(-.-- /ои о еи Так как — — — Аи=О, то о(йо) удовлетворяет систелге линейных о» уравнений (А — йоЕ) о+гр = О, которая разрешима, если только йо не является корнем характеристического уравнения ое( (! А — йЕ ~~ = О. Сформулированное утверждение про о(йо) следует из вида этой системы. Если все корни характеристического уравнения простые, то о(йо), очевидно, допускает представление в виде 1 о (йо) = ~~,. Ф. ( Воспользуемся теперь теоремой об обращении преобразования Лапласа (0(ьо-=-(( Т): +ь +ь и=»'„) о.)»»»-о(»)-~( —,', (,.""', ».~ р»-о( ). — ь » — ь Немного ниже мы покажем, что при Ь вЂ” со и Ке/гт(0, ~)1о)0 +ь — ь Это дает нам право утверждать, что () =Хг'ф+0( —,'). ! 326 ПРЕОБРАЗОВАННЕ ЛАПЛАСА Н МЕТОД ФУРЬЕ !ГЛ !У В силу произвольности Ь отсюда получается представление и ! 1) = ~~~, е ~ ф! ! решения системы в виде комбинации экспонент.
Теы самым знание частотной характеристики о 11сю) позволяет найти собственные «частоты йть и вычислить векторные коэффициР~!Ю' енты ф! разложения решения по этим частотам, то есть собственные векторы матрицы А. Докажем соотношение !1). Для этого рассмотрим -ьь 1 г е'Ф' — — е)сю, где Ке й ( О. 2л З Гьь — А — ь Изобразим путь интегрирования в Рис. 69. виде отрезка — Ь ~ сю =--.
Ь на комплекс- ной плоскости е. = Йю н дополним этот путь полуокружностью !Х1 = Ь 1Ке Х( О) так, как это сделано на рис. 69. Интеграл -ьь — ь яек< ю может быть вычислен точно с помощью вычетов. Он отличается от нашего исходного на интеграл по полуокружности, про который будет показано, что он при Ь-ьсо является величиной по- (11 рядка О! — ~.
При достаточно большом Ь полюс е.=й лежит внутри '1ь|' контура интегрирования и имеет вычет е". Следовательно, 1 г еьс — — Ю= е". 2л! $ Л вЂ” Ь Для оценки интеграла по полуокружности заметим, что Х = Ь 1 — з)п Гр+ рсоа Гр), 0 ( Гр ~ л, ! Г)!.1= Ь1Дср 1л )еье ! = е-ьееГУФ Выбрав достаточно большие Ь, можно считать, что на полуокруж ности 1/1 Х вЂ” й ~ ( 2(Ь. Поэтому ! ени 2 Р 2ле (. Е-ы,еы ь ейр Х вЂ” А 2ч ~ ж=ь ась< Ю $26! СИСТЕМА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ 327 л л»2 и нам остается показать, что е-сс!ле4(4р» 2 е-с»»»Ф4(»р=О( — ~, !(1 с где обозначено с=()(.
Представим этот положительный интеграл в виде л»2 л»'4 л/2 Г Е-С»1ЛЕ Спа И-сЫпо 6(СР Р С(СР+ и-с»~ло С(ГР ( ссо Ч» о о л»4 е л!4 с й с = — !1 — е )'й~+-- е ~'й =0( — ~=0 - — 1=0 (-»-',, так как по предположению ()(6~0. Эта оценка в курсе теории функций комплексного переменного часто носит название леммы Жордапа. Мы разобрали подробно случай, когда характеристическое уравнение не имеет кратных корней.
Случаю кратных корней посвящена следующая задача. 3 а д а ч а. В случае, если характеристический корень йу матрицы А имеет кратность гп функция о ((ы) может быть представлена в виде Вычислите (в предположении, что лейт(0) интегралы -)- »» ! (' е»Ф' йо 2л,) (иа — й;)о ' — »О Результат используйте для вывода представления решения и(Г). Изучение метода Фурье для уравнений в частных производных будет проводиться по следующей схеме. Сначала с помощью преобразования Лапласа решения системы уравнений с частными производными будет построена «частотная» характеристика этой системы, являющаяся аналитической функцией параметра ).
(«частоты»). Затем аналитическая природа этой «частотной характеристики» будет тщательно изучена, будут выделены ее полюсы, определены в их окрестности главные части лорановского разложения. С помощью теоремы об обращении преобразования Лапласа решение будет аппроксимировано контурным интегралом, который в свою очередь будет вычислен в виде конечной суммы по полюсам. Тщательное выполнение этой программы приведет нас к теореме о возможности как угодно точной аппроксимации любого решения смешанной задачи для гиперболической системы конечной суммой специальных решений — «стоячих волн». З2Е пРеОБРАВОВАние ЛАплАсА и метод ФуРье 1гл, зу $ 27.
Теорема об обращении преобразования Лапласа Формулировка теорем об обращении преобразования Лапласа и ее обобщение на растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы и вытекающие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометрическим интегралом. Обсуждается характер остаточного члена в этом тождестве. Окончание доказательства теоремы.
Приведем формулировку теорем, которые будут доказаны в этом параграфе. Теорема 1. Пусть функция и(1), определенная при 0 =.У( ( со, удовлетворяет неравенствам ( и (() ~ ( Ме-и', /и'(1) ! = Ме-Р', р)0, и пусть, кроме того, при 0(Уз(2Т ~ и' (1,) — и'(Ц) ~(Ж (Т) )Г)1,— 1з ~. Тогда при 0(1о(1 =.Т выполнено неравенство +ь и (1) — — о (Йо) епм Йо 2п д Ь Здесь и (йо) — преооразование Лапласа функции и (1): о(йо) =~ е '"'и(1) й, о а постоянная М, зависит лигиь от р, 1о, Т, М, зч' (Т). Теорема 2. Пусть функция и(1), определенная при 0(1( ж, удовлетворяет неравенствам ) и (1) ~ ( Ме"', ( и' (1) ~ (Мек', ~ и' (Ьт) — и' ((з) ~ )т' (Т) )У ~(т — 1, ~ длЯ 0 = 1з 2Т, Тогда при 0 ( 1о ( 1 = Т справедливо неравенсп1во а+о и(1) — — „, ~ о())е~сУ ( —,', а)К, а — й где о (А) = ~ и (1) е-"' Ж вЂ” преобразование Лапласа функции и (1), о а постоянная Мт зависипт лииза от К, („Т, М и зч'(Т).
Легко видеть, что теорема 2 вытекает из теоремы 1. Действительно, пусть функция и(() удовлетворяет условиям теоремы 2. Введем функцию и (8)=е 'и (1). Тогда ) и (1) (=/ и (1) (е "( ь ап теоремА ОВ ОБРАщении пРеОБРА30ВАния лАплАОА 329 а+гь — О(!га)Е' " 1Е С((а+!га)+О (1). а — гь Положим Л=а+!ю, о(й)=о(а+т)=б((ю). Так как при !о = ( (-=.
Т выражение е-" ограничено как сверху, так и снизу, то из последней формулы после сокращения на е ' вытекает заключение теоремы 2. В дальнейшем мы будем пользоваться той формой обращения преобразования Лапласа, которая дается в теореме 2. Приступим к доказательству теоремы 1. Мы начнем с нескольких подго. говительных лемм о тригонометрических интегралах. Лемма 1 При !) О, Ь)0 вьтолнено неравенство вв Гзпр (ф(Х)) ю вв е ! (Про ф (В) предполаеается, что она имеет непрерывную производную ф' (Ь) и конечную правую часть в выписанном неравенстве.) Для доказательства леммы преобразуем интегрированием по частям следующий интеграл (В) Г): в ь=в — ф (в) д$ = — — ~ — д соз ЬЕ ' з1пь$ ! Г ф(Р) ь ) ! в а ЬД вЂ” дь+ ~~ сов ЬŠ— С, ф Ф, г ф'(а) )а ъ с е 1 1 ф (1) соз Ы ь~ ф (В) соз ЬВ 11 С, К.
годунов (Ме-1' — к!' = Ме-в', где обозначено р = а — К > О. Проверим, что функция и (!) удовлетворяет остальным двум неравенствам в условии теоремы 1: ) й'(!) ~ =е- ' ~ и'(() — аи (!) ) ~М(1+) а !) е-Р'=Ме-Р', ( й' ((,) — и' ((з) ~ = ( е Р м (и' ((х) — аи ((,)) — е — ае* (и' (!з) — пи ((в)] ) ( (~(е "' — е а")(и'((,) — аи((,))+ + е — " (и ' ((з) — и' (!а) — аи ((т) + аи ((з)) ! ( ~А(Т) (!з — (е)+В(Т).~I'/1,— (а/~)У(Т).У ~~, при О(й(2Т.
Функция и(!) удовлетворяет, таким образом, всем условиям теоремы 1. Следовательно, если положить б (!со) = ~ й (!) е г™ е(! = ~ и (!) е- ьа "ем! ' с(й о о то имеет место формула +ь 1 г /1 т и (1) = и (!) е " = — ) б ((го) епм !(го + О ~ф = 2п — ь ЗЗО приоврлзовлиин ллплдол и мвтод фкгьв (гл. гч а.затем оценим слагаемые полученной суммы: — ф(Рж~ з(п Ь$ -'(ю ~~м~ [' "; — ')+) ~!"'ч,--') ~еюч) Если существуют ) рр'(гН (а р ~ р ($) ! 1)г + ОЭ Действительно, из курса математического анализа известно, что ~ . Н$=п, Ып Ь$ Я а нз леммы 1, положив гр(е)=1, получим — СО ! Г Теперь сформулированное следствие очевидно. Второе следствие нз леммы 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
