С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Итак, пусть и(х, у)+Ы(х, у) — решение однородной задачи: (аи+Ьо) ~г=О, а, следовательно, и (1хи+ро),г=О. Поэтому функция и+ (р = а+ '" = ""+Р" + '" '" а ) ((3 аз ( йя аг ) ри имеет вещественную часть (), обращаюн(уюся в нуль на границе круга. Так как и (х, у) +1о (х, р) регулярна внутри круга, а а(х, у)+([) (х, у) имеет в начале координат нуль кратности 11(, то функция () (х, у)+()г(х, у) имеет в начале координат не выше чем д(. Мы найдем сейчас общий вид аналитической функции ()+(Р', имеющей в начале координат полюс кратности не выше 11( и зов з»длч» гильввят» в кятгв такой, что У(х, д) =0 на окружности х'+д'=1.
Пусть У+Ю имеет в центре круга полюс с главной частью: »= — ! ($»+ п!») (х+ (д)». Нетрудно проверить, что полином » =.— ! Д» — (т!») (х + (д)-» имеет вещественную часть, принимающую на границе те же значения, что и вещественная часть главной части. Поэтому функция »= — 1 Ф+ 1Ч' = ~ [Д»+ (т!») (х+ 1д)» — Д» — 1т!») (х+ (д)-») имеет вещественную часть, обращающуюся на границе в нуль, и ту же главную часть, что и У+(г'. Следовательно, (У + 1Р") — (Ф + (Ч') ограничена, и вещественная часть разности принимает на границе нулевые значения.
Отсюда (l — Ф=О, Р" — Ч'=С* =сопз1. Итак, » =- — ! (I+Л/=!С*+ '5', [(Б»+!П»)(х+1д)» — Д» — 1П»)(х+1д)»]. »= —,х С другой стороны, постоянные $», »!» могут быть выбраны произвольно. Функция (/+Ю будет при этом аналитической с нулевой вещественной частью на окружности и с полюсом порядка не выше М в центре. Это решение зависит от 2М+! постоянных $-ц $-»,, 5-л, Ч1 Ч» ° ° ° Чи С*.
Мы показали, что при У)0 решение задачи Гильберта определяется с точностью до 2М+1 линейно независимых решений однородной задачи. (Почему они линейно независимы?) Рассмотрим теперь случай У(0. Пусть и(х, д)+Ы(х, д)— решение задачи Гильберта. Так как построенная выше функция с»(х, д)+1р(х, д) имеют полюс порядка (М( в начале координат, то функция и(х, д)+(д(х, д)="' "'+'."'" "' и (х, у)+!Р (х, у) имеет нуль в начале координат кратности не меньшей чем ~ М й Граничные значения вещественной части У(х, д) равны я»+ р» ч'+р' г УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА (гл ьп Пусть коэффициенты Фурье этой функции равны р ( ) / (а) а„и Ь„.
Ранее, в й 7, было показано, что коэффициенты ряда Тейлора функции ()+а'~'=сас+сааг+саага+ ... (г=х+(У) определяются по формулам са Вас = -а-+ (С, са„=а„— (Ь, (п)0) (3) однозначно с точностью до постоянной С. Так как первые,~ Л(~ коэффициентов обращаются в нуль, то это означает, что все коэф- фициенты ряда Тейлора функции (7 + (у' (а значит, и сама функ- ция) определяются однозначно по граничному условию. Сле- довательно, и+ (и = ((7+ (У) (ах+ (()) определяется однозначно. Итак, мы доказали, что при М (О не существует более одного решения задачи, и если задача разрешима, то асР па=па= ... Р а 22, =-Ь,=Ьа= ...
=Ь м~ 2=0. С другой стороны, если эти условия выполнены, то построенная функция (7+(12 имеет нуль в начале координат порядка не ниже чем ~)((',(постоянную С а соотношении (3) полагаем равной нулю). Тогда функция и+(о=(сс+(р)(()+(У) аналитична в круге и, по построению (7, удовлетворяет граничным условиям. Записав явные выражения для коэффициентов Фурье, получим необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Гиль- берта: 3 р()1'()+э'()1 созпэа(В=О (П=О, 1, 2, ..., ~й( — 1), с ааа 7(ю ),, ) я~ ю а(з = 0 (и = 1, 2, ..., ~ )У ~ — 1).
с Обозначив аш Аа аагя~ю "-' ' соа(аа — ~ М ( г) р(а) (да(а)+ьа(а)1 ( ~ й(; ~ й('+1~ а 2 ~ й(( 1) мы можем, переписав эти равенства в виде ~ ~ (з) арс (з) а)з = О, й = 1, 2, ..., 2 ~ й( ~ — 1, с 307 ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ $24! сказать, что для разрешимости задачи Гильберта при У ( 0 необходимо и достаточно, чтобы правая часть г(з) была ортогональна к 2 ~ У ~ — 1-мерному пространству функций, являющихся линейными комбинациями уо ~р„..., ~ре,н, ь (Вопрос: почему функции ~р между собой линейно независимы?) Теорема полностью доказана.
В заключении рассмотрим одну задачу для уравнения Лапласа, тесно связанную с задачей Гильберта. Задача с косой производной. Найти решение Ч2(х, у) уравнения Лапласа -- — „+ —;=О, непрерывное вплоть до границы вместе с первыми производными и удовлетвортиогцее граничному условию: -- ~ =7(з). Здесь — означает производную по некотод~р ! ду д» ~г дУ рому направлению у. Если обозначить направляющие косинусы этого направления через а(в), — Ь(з), то граничное условие перепишется следующим образом: а (в) — — Ь (в) — = 1(в). д~р д~р дх ду Положим и =~р„о= — сру.
Очевидно, что и„= — о„. Кроме того, и„— ау=(~р„) — ( — ру)у = гр,. + р„„=О. Мы выяснили, что и (х, у), о (х, у) связаны условиями Коши — Римана. Функция и+1о— аналитическая. Граничное условие а~р — Ьсру=~ перепишется для этой аналитической функции так: Таким образом, каждому решению задачи с косой производной соответствует решение задачи Гильберта по формулам и = ср,, о= — сру. Обратно, по решению задачи !'ильберта можно одно.
значно, с точностью до произвольной аддитивной постоянной, определить решение ~р задачи с косой производной. Таким образом, в случае единичного круга было доказано следующее: если индекс граничного условия У==О, то по доказанной теореме задача Гильберта, а с ней и задача с косой производной всегда разрешимы. При этом функция Ч2 определяется с точностью до 222' + 2 линейно независимых решений однородной задачи (одна произвольная постоянная появляется при переходе от и, ик ар). Если же индекс й((О, то для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнения 2 ~ М ~ — 1 условия, и решение определяется с точностью до одной произвольной постоянной. В качестве примера можно рассмотреть так называемую задачу Неймана — частный случай задачи с косой производной, когда направление у совпадает с нормалью. Для круга в этом случае а(в) =созе, Ь(в) = — з(ив и, следовательно, индекс равен — !.
308 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [ГЛ. П1 Условие разрешимости, как это вытекает из теоремы (и из рази зобранного ранее примера 2), записывается в виде ~ ((з) с(8 =0. о Решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольной постоянной. На этом мы заканчиваем изучение задачи Гильберта. Сделаем лишь еще одно терминологическое замечание. В настоящее время индексом той или иной краевой задачи принято называть разность между числом решений однородной задачи и числом условий ортогональности, которые должны выполняться для правой части в случае разре1иимости. В задаче Гильберта эта разность равна 2А(+1 (а в задаче с косой производной 2М +2) как в случае положительного, так и в случае отрицательного Аг.
Именно поэтому мы назвали Аг индексом граничного условия, чтобы не путать его с индексом 21У' + 1 задачи. У п р аж не н и е. Докажите, что для разрешимости системы к амха=)1, 1=1, 2, ..., 1, (4) а=! ,Ч =! необходимо и достаточно, чтобы !! были ортогональны ( 5~ а!!! =О любому , ! —.— ! решению однороднои сопрнженнои системы ! ~ а;аа;=О, 4=1, 2, ..., К. (5) Разность любых двух решений системы (4) удовлетворяет однородныч уравнениям К а!Ауа= О.
(6) ь=! Разность размерностей пространств решений у систем (6), (5) называется индексом системы (4). Докажите, что этот индекс равен К вЂ” д ч 25. Некорректные задачи Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи Коши для периодичесних решений Лапласа. Разложение этих решений в ряд Фурье. Логарифмически выпуклые функпии и получение с их помошыо нера. вснств для логарифмических функпий. Условная корректность в классе ограниченных решений. Регуляризапия приближений для начальных данных и отыскание решения некорректной задачи, ограниченного известной константой.
В заключение нашего обзора теории эллиптических уравнений, который мы проводим на простейших типичных задачах, остановимся еще на разборе «некорректной» задачи. Несмотря на постулат Адамара о том, что реальные физические процессы описываются, как правило, задачами корректными, есть много науч- 309 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗЛДЛЧИ 2 251 ных вопросов, сводящихся к задачам некорректным.
Обычно эти вопросы бывают связаны с попыткой восстановить течение какого- либо процесса, описываемого корректной задачей, по результатам измерений, которые должны единственным образом определять решение, но делают это некорректным образом. Так, например, потенциал поля тяготения может быть получен по заданному распределению масс решением некоторой корректной задачи для уравнения Пуассона. Однако, если мы постараемся определить это поле по результатам измерений, сделанных на какой-либо поверхности, например, на поверхности Земли, то мы придем к некорректной задаче Кошн, рассмотренной в примере Адамара. Несмотря на это, задачу восстановления поля тяготения по данным Коши часто решают, например, в целях гравиметрической разведки.
Этот параграф будет посвящен решению задачи Коши для уравнения Лапласа. Несколько точнее будет сказать, что мы решаем смешанную краевую задачу, так как и(х, у) мы будем предполагать периодической по х с периодом 2п. Более того, мы ограничимся предположением, что и(х, у) = — и( — х, у). Пусть решение определено и непрерывно вместе с первыми производными в полосе О (у=-1. Для простоты еще предположим, что и (х, О) = = О, и обозначим ди(х, у)~ Предполагая, что такое решение существует, выпишем его разложение в ряд Фурье по переменной х.
В силу наложенных условий (нечетности и гладкости функции) этот ряд имеет вид и(х, у) = ~ Ь„(у) 5!и их и =-1 н сходится при каждом у(Ои=у =.1) равномерно относительно х. Чтобы вычислить коэффициенты Фурье Ь, (у), заметим, что 2и Ьи(У) -- ~ и(х, У) 5шпх1(х. Затем Умножил! УРавнение Лапласа ! о — — О дх' ду2 почленно на 5(п пх и проинтегрируем получившееся равенство от О до 2пс 2и 2и д'и (х, д) дх2 5!Них!(х+ ) 5!и пх!(х=О. Г д'и (х, д) дух а Это равенство справедливо для внутренних точек полосы О < у < 1. Для этих точек гармоническая функция и(х, у), как мы знаем, З1О УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
