С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Теорема Лиувилля доказана. Усилен н ы й п ри нц и п максимума. Если гармоническпя в области 6 функция и(х, у) принимает свое наибольшее или свое наименьшее значение в некоторой внутренней точке (х„у,), то и(х, у) =-сопзй Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть только случай и(х, у))и(х„, у„)=0. Все другие случаи приводятся к этому так же, как и в предыдущей теореме. Пусть круг радиуса Р с центром в точке (хь, у„) содержится в 6. Для любоп внутренней точки (х, у) этого круга (х — х,)'+(у — у,)'=р'(Р' по неравенству Гарнака 0= ~и(хы у„).==и(х, у) = ~ ~и(хы у„)=0. Итак, и (х, у) =0 внутри круга.
Пусть теперь (х", уч) — любая другая внутренняя точка 6. Соединим ее с точкой (х„у,) ломаной, целиком лежащей в 6. Пусть каждая точка ломаной отстоит от границы больше чем на Ь)0. Выберем Р(б и построим на ломаной конечную последовательность точек (х„у„), (х„у,), ... ..., (х„, у„) (х„=х*, у„=-у") такую, что (хч — х„,)'+(у, — у,,)'=-- .= Р'14. Если мы построим круг с центром в точке (хю у~,) радиуса Р, то точка (хю.„уч,) будет для него внутренней. Гслн иам )далось для неотрицательной гармонической функции сс(х, у) ус.лновить, ч|о и (хы уь) =О, то по доказанному и (хг и у„,) =.О. Следовательно, из и(х„уч) =О вытекает, что и(х", у*) =.О.
Усиленный принцип максимума доказан, Т с о р е м а о р а з р ы в н о й м а ж о р а и т е. Рассмотрим осрпниченную обласп~ь 6 с грпницей Г и отметим в 6 = 6-(-Г конечное число точек (х„у,), (х,, уч), ..., (хн, ун). Некоторые из этих точек могут лежать внутри 6, некоторые могут быть на грпнице Г. Пусть и(х, у), о(х, у) — две функции, непрерывные и гармоничные в 6+Г, кроме, может быть, точек (хь у;).
В этих точках и(х, у), о(х, у) могут терпеть разрыв или могурп быть % зн свОЙствА ГАРмОнических Функций не определены. Предположим, однако, ограниченность этих функций: ~ и (х, у) ! « М, ! о (х, у) ! « М в 6+Г (за исключением, конечно, точек (хь уд). Если и(х, у) !г «о(х, у),г во всех точках границы, кроме, быть может, попавших на границу точек (хь у;), то и вс1оду внутри 6+Г и(х, у) «о(х, у). (Опять-таки за исключением, быть может, точек (х„у1), лежащих внутри.) Для доказательства рассмотрим функцию 'Кл 2М гол(х, у) =и(х, у) — о(х, у) — à — л!п — )'+!' -у)' 6 Здесь й — диаметр области 6, так что 1и л — =О, 1' (х — кдл+ (у — удл б)0 — некоторое фиксированное маленькое число.
Рассмотрим область 6ы полученную вырезанием из 6 кружочков радиуса б с центрами во всех точках (хи у;). Граница 6л состоит нз кусков границы Г области 6 н из дуг окружностей, ограничивающих вырезанные кружочки. Очевидно, что на 6, вместе с ее гРаницей фУнкциЯ и11(х, У) неп; еРывна, гаРмонична и неположительна.
Последнее утверждение вытекает из принципа максимума и из неравенства Члл 2М л ьэз(х, у) =и(х, у) — о(х, у) — ~, !и - — .:О, . ! е ! (х —.Й)-'+(у — удл '1 зв выполненного на границе 6ь. Зафиксируем 1очку (х, у) н, устремляя в неравенстве и1ь (х, у) « =-.0 параметр б к нулю, убедимся, что и(х, у) — о(х, у)«0. Теорема о разрывной мажоранте доказана. Из этой теоремы можно вывесп1 теорему единственности решения задачи Дирихле в ограниченной области с кусочно непрерывной граничной функцией, имеющей конечное число точек разрьща.
Другим следе~вием теоремы о разрывной ллажоранте является Теорема об устра пимой особенности. Пусть и(х, у) — гармоническая и ограниченная в окрестности некоторой точки (х„, у,) функция, за исключением, быть может, самой этой п1очки. Тогда можно так доопределить значение и(х„у,), чтобы после этого и(х, у) стала гарл1онической во всей рассматриваемой окрестности точки (х„у,), включая и саму эту точку.
Доказательство Пусть круг (х — х)'+(у — у)л«)л" лежит целиком внутри окрестности. Пусть и*(х, у) — гармониче- 276 уялвнвние лАплАсА ~гл. гп окая всюду внутри круга и принимает иа окружности (х — х,)'+ + (у — у,)'=Р' те же значения, что и и (х, у). Функцию и" можно построить с помощью интеграла Пуассона. Ясно, что если ~и(х, у)~-=-.М, то и ~и*(х, у)~(М. Поэтому мы можем применить лемму о разрывной мажоранте и с ее помощью утверждать, что и* (х, у) «=. и (х, у) ~ и " (х, у) всюду, кроме точки (х„у,). Следовательно, и(х, у)=и*(х, у). Это позволяет утверждать, что, положив и (х„у,) = и*(х„у,), мы превратим и(х, у) в функцию, непрерывную и гармоническую во всей окрестности. На этом мы закончим обзор основных свойств гармонических функций в областях общего вида и в следующем параграфе вернемся к изучению гармонических функций в круге.
5 22. Вариациоиный принцип Дирихле Формула для вычисления интеграла Дирихле гармонической в круге функции по коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной в круге гармонической функции, имеющей бесконечный интеграл Днрихле. Неравенство лля интегралов Дирнхле двух функций, принимающих на границе круга одинаковые значения, одна из которых гармоничесная. Пример Адамара непрерывной на границе кру~а функции, которая не может быть продолжена внутрь с конечным интегралом Дирихле.
Вариационный подход к зада |е Дирихле. Некоторые исторические замечания. Пример неразрешимой вариационной задачи. Единственность экстремальной функции. Принцип Дирихле для круга и для простейших областей, полученных из пего конформными преобразованиями. Ближайшие параграфы будут посвящены доказательству разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях весьма широкого класса. Доказательство основано на так называелгом вариационном подходе к задаче н опирается на некоторые важные и интересные свойства интеграла Дирнхле, Сейчас мы изучим интеграл Дирихле для функций, гармонических в круге, и докажем экстремальное свойство этого интеграла. Для простоты расслзотрнзг круг радиуса Р с центром в начале координат и напомним, что интегралом Дирнхле называется выражение зп г о,м- (( ьг-а *а =$")(ге-~ з) зг ..
ы+аг(» х=рсоза, у=-рз(па. Если функция и(х, у) гармонична в круге радиуса Р, то внутри круга радиуса г = Р производные и„и у„непрерывны. Следовательно, интеграл 0„(и) — интеграл от непрерывной функции. Но вхоипционнын принцип диоихла 2 221 при г =)2 этот интеграл может оказаться несобственным интегралом. При этом под 0п(и) понимается 1нп 0,(и). г л Как было показано во вводной части 8 2), функция и(х, у), непрерывная в круге хо+ уо =- Йо и гармоническая внутри этого круга, представляется в виде ряда и(р сов а, ряпа) = — '+ ~~ ( — ) (ал сов па+Ьлзгп па), л =- г где коэффициенты ал и Ьл являются коэффициентами Фурье гра- ничной функции Г(гр) =и (12 сох гр, Й яп гр)г ал = — ~ г (гр) сох лгр йр, и = О, 1, 2, ..., 1 о 2л Ьл = — ~ Г (Чг) 21п пгр гггр, л =- 1, 2, ...
1 Г о Сейчас мы воспользуемся выписанным рядом для вычисления интеграла Лирихле. Очевидно, это внутри круга 0(р(г почленное дифференцирование по р и а для ряда и (о сов а, р яп а) законно, так как формально продифференцированные ряды ъг ирл-' и = т — „— (ал СО2 Ла+ Ьл 2Ш Па), л=г и„= ~~ ( — ) л( — ил яп ла+Ьл сов ля) лог /р гл а — „1 ()1) л=-. г сходятся там равномерно. Следовательно, аи Ъ~ при-2 — — — (ал соз па + Ь„з)гг пя), л=г — П -„( — ал 2Шгга+Ьл газ ЛЯ).
а=г Это позволяет вычислить интеграл Дирихле 0,(и) в явном виде. Начнем с вычисления 2л ол 1($)' "" 1(л — ")'-'"" о о зтв ггл. и! УРАВНЕНИЕ ЛЛПЛАСА Подынтегральные выражения представляются двойными суммами — -) р= 7 тп я,„(а„соьпа+Ь„ыппа)(а соьта+Ь Мота), др) ог, л=! / ди)о 1 = Х от<-и-! тп ' „.„( — а„ь(п па+ Ь„соь па) ( — а„ь(п та+ Ь,„соь та). т, и=! Теперь заметим, что ~ (а„соьпа+Ь„ьшпа)(а соьта+Ь ь(пта)да= о 0 если т топ (а„'+ Ь2) и, еел и т = и ~= О, ~ ( — а„ь(п па+ Ь„соь па) ( — а ьгп пга+Ь„„соь та) г(а = Ц О, если т~-п, (а„'+ Ь-„*) и, если гп = — гг чь О.
Это замечание приводит нас к выводу, что ~(~~'-'-)'р а= ~ (~~„" — )' ' г(а=-. У '(а~~+Ь~,) "- — "„,'. о о и=-! Отсюда СО = 2п 1! и'(а2+Ь2) ~ ~ .,„г(о = 2! Э' п(а'„)-Ь!) (' ) Из определения интеграла Ря(и) вытекает, что Ря(и) = !!гп Р,(и) =-и ~' п(а„'+Ь."). .-я а=! Если ряд в правой части расходится, то это значит, что Ря (и) = оо. Адамар построил пример непрерывной функ!(ии Г" (гр) такой, что решение задачи Дирихле в круге 0(р -гк для уравнения 279 вчоилционнын пяинцип дияихлв $22! о"и д'и Лапласа — —, + —, = О с граничным условием и (Д соз ц>, Д з(п >у) = ддх« ду« =Г(>р) имеет бесконечнь>й интеграл Дирихле.
Функция Адамара записывается равномерно сходящимся рядом: (Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна.) Решение и (х, у) задачи Днрихле с граничными значениями )(>р) имеет интеграл Дирихле: ъ-~ «! Ря(и) =н 7 «=! Этот прнмер в дальнейшем нам понадобится при обсуждении очень важного и интересного вариацнонного подхода к решению задачи Дирнхле. А сейчас мы докажем с помощью ряда (1) следующую замечательную теорему.
Теорема. Пусть д(р, ц>) — какая-либо непрерь>вная в круге О=-=-р==Д кусочно глпдкпя функция с конечным ино>егралом Дирихле 2«Я Ря (у) = ~ ) (у +: уч) р с>р с(Ч>. о На границе круга д(р, Ч>) принилтет граничные значения )(ч) =у(д. ч') Построим гарноническу>о функцию и(р, а) с теми же сал>ь>ми граничными значениями и ()2>, >р) = > (Ч>). Мы докажем, что интеграл Дирихле Ря(и) конечен и не превышпет Ря(д): Ря (и) .= Ря (д). Граничной функция >'(Ч) =-у(П, Ч) может быть сопоставлен сходящийся к ней в среднем ряд Фурье к (и, >х) =-2.
+ х (а„созн>у+Ь„5>оа>р). Решение и(р, >р) задачи Дирихле представляется тогда рядом и(рч ч>) =--' + ~~ ~ я) (п„сок>г!) .РЬ, зшпа>)„ « =- ! 2ао гГЛ П1 УРАВНЕНИИ ЛАПЛАСА Интеграл Дирихле этого решения Ря (и) = п 'У„'и (а'„+ Ьй). Для того чтобы доказать неравенство Ря(и)~РЛ(а), очевидно, достаточно убедиться в том, что при всех й(' и 'У', п(а„'+ЬД==РЛ(д), и=! т. е. и том, что Ря(ил) -Ря(д), где ин = ' + '5' ®" (а„соя п(р+Ь„В!П!1(р). в = —.) В доказательстве, которое мы приведем, будет использовано, что иА имеет непрерывные вторые производные. (На самом деле иА— полипом переменных х, у и имеет производные любого порядка.) Доказательство будет состоять из двух лемм.
Л е м м а !. Выполнено равенство ~ [д(гс, ср) — ин(гт, гг)Н'[ ~ аг(г)=О. Доказательство. Ясно, что д(Й, гр) — ив (Й, (р) — непрерывная функция, имеющая сходящийся к ней в среднем ряд Фурье йг(й, ср) — иА (й), (р) = ~~ (а„созп(г) .(-Ьв з(пггср). .—.А -Р) Коэффициенты Фурье, отвечающие значениям индекса от 1 до йг включительно, будут для этой функции равны нулю. Э)н коэффициенты определяются интегралами: 2В Аю — — ~ [д (В, гр) — ин (В, гр)) с((р = О о 2В А,=! )в(в, ю) — (в, юз ввю-ю, ) )п=),2,...,йг, в„=( (в(в, в) —,.(в, в)! ( „вю=ю.
) В г8! злтошноннып пьннцип диьихла Любая линейная комбинация Аьл А„..., Ан, В„..., Вн !оже будет равна нулю. В частности, ~~ п(Алал+ ВлЬл) =О. л=! Это равенство можно переписать еще так: гл Г и 1 !л !л, л! — (л, л!
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
