С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Заметим, что так выбранное т (х) ограничено и имеет ограниченные разностаые отношения ЛЛУ т(х)-т(х — Ь) / Ь') = т'~х — — ~ Лх и '1 2/' Лч т (х+Ь) — т (х) ! Ь ) = т' (1х+ — 1, Ь '1 2/' ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ Н Вспоминая, что о †составн вектор, составленный из и, с)и Ли Л«и М ' Лу' Л1« Л«и Д«и — — мы можем эти правые части выразить через квадратичные формы Лум Лу ' от разностных отношений до третьего порядка вектор-функции и. Разиостные отношения по х участвуют только в следующих из этих форм: ( †,  †), (В ' , В ' ), (В ' , В ' ) ( Л«и Л'и ) ( Л«и Л'и ') ( Л«п Л«п Лхбу'' Лхду'/' ( ЛхдуМ ' ЛхдуЫ/' ( Лхд/« ' ЛхМ«/' Все такие квадратичные формы от разностных отношений до третьего порядка уже оценены нами через интегралы от производных начальной функ- ции ср (х, у).
Зто г.озволяет представить у (х, у, 1) в виде суммы у (х, у, 1)=до(х, у, 1)+у« (х, у, 1), так что у=-1-со к=1 — и (л) ~уо уо) Л «Ф у= — ° «=го р=+ «=1 — А (Л-у,, у,) Д М" у = -~- со к = 1 — Ь (/«6, 6) Дз, у=- — со к=2Ь у= — со «=2Ь Ру =+со «=1 — Л и(1)=~ ~; ~", (Д)6, 6)й«1 у= — со к=а «1=«опас у=у =1 — ь У(/)= ~ ~ (/й-ту,, у,)й М'У(/)+Ф. у = — со Неравенство, связывающее У(1+т), У(1), было установлено при доказательстве основной теоремы в предыдущем параграфе. Оно имеет вид (1 — тМ) У (1+т) < (!+2тМ) У(1)+ту(1).
Основная теорема утверждает, что на фиксированном интервале О <1 < Т времени псах 1/ (/) < М'У (О)+М". о<1< т Чтобы расшифровать содержание этого неравенства, вспомним, что Ло ЛО 6 = у (х) = = у (х, Д) = Лх ' Лх ' а сам вектор о — составной и состоит из сеточной вектор-функции и(х, у, 1) н ее разностных отношений по у н по 1 вплоть до второго порядка. где постоянная Ф оценивается через квадратичные интегралы от ср(х, у) и от ее производных до третьего порядка.
Заметим еще, что 6(х, у, 1) обращается в нуль во всех точках сетки, отстоящих от границы х=О или х=( не более, чем иа 56. Поэтому такие 6 при «=0 х=1 обращают в нуль квадратичную форму (БО, 6) и, следовательно, можно считать, что 6 удовлетворяют при х=О, х=1 диссипативным граничны«1 условиям. Это позволяет оценивать 6 по основной теореме об оценке разностных решений. Обозначим у кл оценки ухзностных отношении Оценив у=-+кк к=г — Л шах У (1) = шах 'У', 'У, '(г)й, б) Угг, о<с< т у= — ок к=к мы тем самым оценили максимальное по времени значение следующих сумм, взятых по сеточному слою с фиксированным 1: Х"(' ( й й)' Х" ( "".
Ж)"' к,у к,у Х" ")('Л ."'") Х"('" ("."":.'" ) к,у гу Х" ' ")(' ":;". к,у ;~ "(' й) (А лкл„л,л„) к, у Эти суммы оцениваются через Ф и через начальное при 1=0, значение таких же сумм. Эти начальные значения в свою очередь оцениваются через соответствующие интегралы от производных ~р(х, у). Так как т'(х, 1г) в каждой точке х, у, 1 нашей области при )г-у-0 стремится к х'(1 — х'), то из полученных сейчас оценок разностных отношений и из оценок полученных в начале этого параграфа, следует, что во всякой внутренней подобласти 0 <) <х:-1 — к.<1 нашей полосы 0<х(1, в которой мы строим сеточные функции, для них ограничены следующие суммы разностиых отношений, вычисленные на любом сеточном слое 1=-сопя(: ~(и и)йу ~г'~( — '" -' — ")+(-'"- -'-"-)+( — '" — '"Дйу ,у к,у „к [( лук ~ лук) + ( лу лг лу лг ) + ( лм лы ) + + (лхлу ' лулу) + ( лхлг ' лк лг )1 Х~( —." — ')+ +("... "...)1"' к,у л Во все участвующие здесь разностные отношения символ — опять лх входит не выше, чем в первой степени, и все разностные отношения, вплоть до третьего порядка, этому условию удовлетворяющие, в выписанных суммах участвуют.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ИГЛ. П Вспомним теперь условия компактности сеточных функций, установленные в Э 17. Согласно этим условиям из ограниченности ~~1 1и, и)й', ~~! [( —, — )+( —, — )+( —, — фР, ,у', [ —,'„'",„1'й' вытекает компактность сеточных функций и 1х, у, 1) относительно равномерной скодимости. Из ограниченности .'и(Л~ ЛГ) ',~и~[(Лхж ' Лхж)+(Лдж ' ЛуЛГ)+ + ( — '„",,'„,", ) ~й', у„' [ „Л„"„~ й' к,у Ли влечет компактность сеточных —. Для того чтобы Лу ' Ли компактность —, нам была бы нужна ограниченность установить ~~.~ (Лх ' Лх) ' ~х~а [(Лх' ' Лх') + (Лхау ' Лхау) + + (ЛЕЛ1 Лула)1 Однако нам пока не известно, ограничены ли суммы й, ~~( ', — 'й. 1 ~ Л~и Л-"и '~ ~ кД ~ Л~и Л и 1Лх' ' Лх'/ ' Ам(ах'Лу ' Лхкау~ к,у Нам и в дальнейшем не удастся доказать их ограниченность, Ли не удастся доказать компактность сеточных функций — —.
дх ' Вместо этого мы ограничимся тем, что установим компактность сеточных функций Ли Ли Ли в — ~в = — в,= Лх и Лх ~ Лх ' Ли следует компактность сеточных функций —, а конечность сумм л та) таогямл сущяствовлния ращения смгшлнноя злдлчи Действительно, в силу уравнения Ли Ли Ли Ли А, +Во Вт =+С=+)~и=0 каждая сеточная функция интересующего нас семейства В— Ли Лх представляется в виде суммы функций ли Ли — А --, — С=, — )',)и, лу' лу ' принадлежащих компактным семействам.
Ясно, что такое предли ставление влечет за собой компактность  —. Лх ' Теперь пора подвести итоги и резюмировать все выводы, полученные в результате проведенных нами рассуждений. Этим итогам и выводам посвящен следующий параграф. 9 20. Теорема существования решения смешанной задачи Следствия из компактности сеточных функций о характере пределов нх подпоследовательностей. Выполнение для этих пределов дифференциальных уравнений и граничных условий.
Формулировна доказанной теоремы существования и замечания о следствиях из ее доказательства. Формулировна теоремы существования в одномерном случае. Неравенства для решений и их производных. Замечания к одномерной теореме существования: !) отказ от диссипативности граничных условий, 2) случай коэффициентов, не зависящих от времени, 3) теорема существования задачи Коши внутри характеристического треугольника. В предыдущем З 19 установлена во всякой внутренней подобласти 0<л<х<! — ) <! компактность сеточных функций Лн Ли Ли и л„- л, Вл-„-. В Ч 17 было установлено, что отсюда следует непрерывность функции 1! (х, у, !), которая получается как предел некоторой сходящейся подпоследовательности, существование у нее непрерывд д ных производных - — У(х, у, !), (/(х, у, !), а также непрерывная дифференцируемость по х вектор-функции ВУ, т.
е. сущео ствованне и непрерывность - ВУ. Ясно, что из последовательностей, сходящихся во внутренних подобластях, можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в каждой такой подобласти. Конечно, скорость ее сходимости будет убывать по мере расширения подобласти.
Только зту подпоследовательность мы и будем в дальнейшем рассматривать. Оказывается, что из нее можно выбрать подпоследовательность сеточных функций, таких, что построенные по ннм функции Ви будут уже равномерно сходиться 9 с. К. Годунов 1гд. И гипеРБоличаскин ууланений в замкнутой области О(х~1, — У =.у~ У, О (=Т. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно проверить компактность сеточных функций Ви. Эта компактность вытекает из ограниченности сумм ,У, '(Ви, Ви)/Р, «,у '(В л'и В "'" 1ьу лх лу лх лу,' л,у 1[~В~~, Ву)+(В~~, В. +В., В ~16, которая нами также установлена еще в начале ~ 19. На этом мы закончим доказательство компактности сеточных функций и исследование непрерывности и дифференцируемости их пределов. Самая трудная часть исследования решений разностных уравнений завершена.
Полученные нами выводы легко приведут к теореме существования, которая на самом деле уже почти доказана. Мы сейчас покажем, что предельная вектор-функцня У(х, у, 1) удовлетворяет дифференциальным уравнениям. Действительно, на всех сетках были выполнены разностные уравнения: Ли Ли Ли Ли А — -+ В = — В = — + С-= + () (х, у, Г) а =- 0 лг у лх - л лх -лу или, что то же самое, ли ) Ли Ли ли л, у,! л хууг к,у,~ у ~к,у,— у,г +Я(х, у, 1) и =О. Если теперь заданные на сетке функции Ли Ли Ли Ли Ли и, и ' лх лх' лу лу проинтерполировать на всю область, покрытую сеткой так, как это было описано в ~ 17, и воспользоваться тем, что проинтерполированные функции равностепенно непрерывны и отличаются в двух каких-либо точках внутри одной сеточной ячейки на величину порядка 0(1~ й), то легко заметить, что всюду имеет Э 20] ТЕОРЕМА СУШЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОИ ЗАДАЧИ 259 место соотношение А — +(В,— В,) — +С вЂ” +Д(х, у, 1) и=0(3/й).
Оценка О()/ 6) равномерна во всякой внутренней подобласти. Ли Ли Ли В такой подобласти, как мы знаем, и, —,  — =( — В,) —, 1д1' ах и 1 Лх' Ли — можно считать, для рассматриваемой подпоследовательности Лу сеточных функций равномерно сходящимися (при 6- 0), соответственно к и(Х у,) дУ(х,д,о д Ви дУ дх ' дх ' ду ' Отсюда выполнение уравнения А — +в — „-+с —,„+0и =о дУ дУ дУ в любой точке любой внутренней подобласти очевидно.
Тем самым доказано, что построенная нами функция действительно удовлетворяет уравнению всюду при 0 <х(1. Далее, для любого й)0 и(х, у, 1) непрерывна по х, у, 1 при $(х<1 — $, Покажем, что при 1=0 имеет место равенство и(х, у, 0)=1р(х, у), т. е. что удовлетворяются начальные данные. Действительно, для любой сеточной и(х, у, 1) в точках сетки, лежащих на слое 1=0, мы имеем по построению и(х, у, 0) = =- 91 (х, у). Так как 91(х, у) имеет ограниченные производные, а проинтерполированная с сетки на всю область и (х, у, 1) меняется в пределах одной сеточной ячейки на О() й), мы имеем и(х, у, О) — 1р(х, у) =0(1/А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
