С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Заметим, что в дальнейшем нам придется иногда рассматривать сеточные функции, полученные из разностных решений дополнением недостающих значений ис(0, у, 1) (1=и„+1, и„+2,... п); и,(1, у, 1) (1=1, 2,, п„; и,+1, ..., п) не просто путем их переноса из соседней точки, но еще и с домножением (при этом переносе) на некоторые ограниченные множители ус(у, 1), б;(у, 1): и (О, у, 1)=у (у, 1)ис(й, у, 1), 1=п +1, и +2, ..., и, и,(1, у, 1) =6; (у, 1) и,(1 — й, у, 1), 1=1, 2,..., и;1 и,+1, и,+2, ..., п.
При нашем исследовании свойств разностных решений, мы будем отмечать факты, которые остаются верными, в случае, если у; (у, 1) Ф.1, бс(у, 1) Ф1 В течение всего нашего исследования разностных уравнений и доказательства теоремы существования мы будем предполагать, что начальные данные отличны от нуля только в ограниченной 1 ! области, например, только при — — 1'(у< — 1'.
При 1=т раз- 2 2 ностное решение, полученное по описанной схеме, заведомо будет 1 ! равно нулю, если [у) > — у'+и, при 1=2т, если )у) > — !'+21[ 2 2 и т. д. На последнем сеточном слое 1=Т разностное решение т будет равно нулю, если ~у!) — Г+-- й. Таким образом, на любом из рассматриваемых сеточных слоев сеточная функция и(х, у) будет отлична от нуля только в конечном числе точек.
При не слишком больших 1, и(х, у, 1)=0, если!у ))'. Этим свойством разностных решений мы будем пользоваться. Теперь мы уже можем переходить к получению оценок раз- ностных уравнений, аналогичных оценкам интегралов энергии. Нам удобно начать со следующих подготовительных лемм: Лемма !. Пусть А, 0 — симметрические матрицы, причем А положительно, а 0 — неотрицательно определены. Ппраметр положителен и такой, что А — р0 неотрицптельно определена. Тогдп, если векторьс ис, ис', ш" свлзпны равенством А и[ =!А — р0! ис'+ р0ис", то имеет место неравенство: (Аис, ис) (((А — р0] ис', ис')+р(0ис", ис'). Для доказательства удобно, сделав подстановку ис = Яиц со' = )Асй ', ис" = йя" ф !81 ОснОН!Ая теОРемА ОБ Оценке РАзнОстных Решении 231 с помощью некоторой невырожденной матрицы Р, и переписав в новых величинах исходное равенство Айв! = [А — рО')йта'+ рРйй!", помножить его слева на й*: Р*Айта =(Р*АР— рй'"Ой) та'+ рй'"Ойж".
Неравенство, которое мы хотим доказать, в силу того, что (Ав, и!) =(Арта, йта) =(й" Арта, в), (Ав', и') =(Р*Айй', ю'), (Оа!', и!') = (Р*ОРФ', та'), (Ра", и!") = (й"'Орта", и"), а, о, о РРАР= а' ~ РРРР аа о о а„/ а!)О; 4=-0. Для справедливости этого утверждения надо, чтобы А и 0 были симметричными и одна из них — (А) — положительно определенной. Неравенства 4.=-0 вытекают из неотрицательной определенности О, Легко также убедиться, что параметр р удовлетворяет (при всех !) неравенствам ) ( — р —" О. а! а!) а; — р4) О, Компоненты ю„й,', й!" векторов ю, та', ыа при таком выборе й оказываются связанными равенствами а!та! = (а! — р4) та!+ р4та(, д!! та! = (1 — р — 1в'+р — та! а ! ' ' а и надо доказать, что из них следует неравенство и л ~ , 'а!та,' =.
~ (а! — р!(!) (та!)'+ р!(! (й!Е)а, 1=! ! ! перепишется в виде (РЕАРТР, та) ( ~фй"*Ай — рй*0) й', э')+р (Р*Рйтв", у") Как известно из линейной алгебры, преобразующую матрицу й можно подобрать так, что Р "Ай, й*ОР одновременно станут диагональными: ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ П Очевидно, достаточно убедиться в справедливости при всех оценки: м(»(1 — р —,'1Ф()'+р —,'( Г)з, а( ) а( которая вытекает нз следующей цепочки очевидных равенств и неравенств: а,'=[(1 — р () а,'+р, ~'ю,"~ = ра)( () +ра ( ') ! а ( ! а)( 2 а( а( !( а() ( "а)( ')+! а,( Доказательство леммы 1 завершено.
Лемма 2. Если и) = — [и), + и)з+ н)з), А й = А и)+ тГ, ! )по для положительно определенной А: (А!О, и))» З [(Аи)2~ и)2)+(Агез (Ез)+(Аи)з и)з)) (Ай, й)» — [(Аи)„и)2)+(Аи)„и)з)+(АН)„Н)з))+ +т[(Ай, й)+(А-з), г)). Доказательство первого утверждения леммы следует из равенства 1 (А го2 н)) д (А [н)2 + (ез + Гоз)2 [(оз + Гоз + гз)з)) 1 = д [(Ан)2 н)2)+(Ан)з, и)2)+(Ашз, и)з)+2(Аи)„н)2)+ + 2(АИ)з и)з)+ 2 (Ан)з и)2)1, и из неравенств 2(А ь )~2~ (А „().( (А „;)~(А ь АА.(А, ). Второе утверждение обосновывается следующим образом: (Ай, й)=(Ац)+т), н)+тА-2~)=А(н), и))+2т(~, и))+тз(1, А-!)) = »(Ап), ю)+2т(Ан), А-2))+2тз(~, А 2[) =(Ан), и))+ + 2т (А!о+ ф А 2)) = =(Аи), н))+2т[Аи, А АГ)»(Ап), и))+2т)2 (Аи, и)Х Х У(АА '1 А Ч)» [(Анм из)+(А(ез (ез)+(Агоз (озН+ +т[(Аи, и)+(А-з[, ))1. Лемма 2 доказана.
$!81 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 233 Лемма 3. Пусть В„В,, С, С, симметрические неотрицательно определенные матрицы, А, А — положительно определены и пусть 1 ) т ) О, )Г ) О таковы, что тоже неотрицательно определены. Тогда из равенства 1 " 1 1 1 1 — А [и — и)+ — „Вь [и — ии] — — „В, [и, — и]+ — „С [и — иь] =[ вьипекает неравенстсо (Лй, й) — (Ли, и) (В,и, и) — (В,и„и,) т + ь (В1и,, и,) — (В,и, и) ь + — ' ' ' ' ([Аи, и)+~ — [[А — А1й и)~+ + ~ ь ([С вЂ” Си] ие, ии) ~ + (А' 1[, [).
Доказательство сводится к применению лемм 1 и 2. Равенство, определяющее и, может быть переписано в виде Ад= Аи+ — „- В, [и, — и]+ — В, [и, — и]+ — „-С [и, — и]+тГ = = - - ) А и + -„- В, [и, — и]~ + — [А и + — — В, [и, — и]~ + 1Г Зт + в-ГАи+ — -С[и, — и][+ т("= 1 = — а[А .+Аш,+Аш1] (-т[, где Зт А и1, = А и+ - - В, [и, — и], Зт АиГ, = Аи+ — В, [и, — и], 6 А Гс, = Аи + — „С [и, — и].
Зт По лемме 1: (Аиы ьь)((Аи, и)+ — „[(В~ио иь) — (Вьи, и)] (АГс„Гв1)((Аи, и)+ — [(В,и„и,) — (В,и, и)], (Аиы и1,)((Аи, и)+ — „[(С,и„и,) — (Си, и)]+ + — 1 ([С вЂ” Си] им и,) ( ГИПЕРБОЛИ'1ЕСКИЕ УРАВНЕЛ!ИЯ [ГЛ и и, следовательно, з [(Аим и!о)+(Аил„ил!)+(Аи!т и!т))( ((Аи, и)+ — „[(В,и„ио) — (В,и, и))+ т [(В,и„и,) — (В,и, и)1+ + ~, [(С,им и,) — (Си, и))+т (( — [С вЂ” Са)и„и) ~. Теперь можно применить лемму 2: (Аи, и)((Аи, й)+т~( — [А — А]и, и)[( ( з [(Аи!о и!о)+(Ашм и!)+(Аит ио))+ -(-т[(Аи, й)+(А-![, !)]+т(( — [А — А] и, и) [( ((Аи, и)+ — „[(Вои„ио) — (В,и, и))+ — „[(В,и„и,) — (В,и, и))+ + — „[(Сти„ит) — (Си, и)]+т/( — [С вЂ” Со) и„и,) + +т(Аи, й)+т(А.
![, Г)+т [( — [А — А]й, й) [. Нам осталось, воспользовавшись неравенством т(Ай, и)( т(Аи, и)+т',([А — А] й, и)~~ ( ==-=.т(Аи, и)+т~( — [А — А]и, и)~, справедливым при 1 ) т ~ О, заменить дважды подчеркнутое слагаемое в правой части на большую величину: т(Аи, и)+т (--[А — А] и, и) ~. В результате такой замены получаел! неравенство (Аи, и)((Аи, и)+--ИВ,ио, и,) — (В,и, и)1+ + -- [(В!и„и!) — (В,и, и))+ — [(Сои„иа) — (Си, и))+ + т (А ![, [) + т ( —, ', ([С вЂ” СД и„и,) ~ + (А и, и) + +-',[[А А]й, й)~, эквивалентное утверждению леммы.
Зада ч а. Докажите, что лемма 3 допускает следующее усиление. Вместо Зт Зт Зт неотринательной определенности матрип А — — — Дм А — — Вм А — — С, ь ' л ' а в 1а) ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИИ 235 можно потребовать неотрицательной определенности А — Р,Ве, А — р,В,, А— — раС (р~ ) О), а параметры т, А подчинить неравенству Утверждение, доказанное в лемме 3, можно сформулировать так: На решениях разностных уравнений Ли Ли Ли Ли А (х, у, () —,+В,= — В,—; — +С(х, у, ()==~(х, у, () выполнено неравенство Л (Аи, и) Л (Ваи, и) Л (Вси, и) Л (Си, и) Лх Лх + + — ( лр <(А и, и)+~ — ([А — А) и, й) +~ — ([С(х, у, () — С(х, у — й, ()]х хи(х, у — й, (), и(х, у — й, () ~+(А-т[, [) < <М [(Аи, и)+(Аи[х, у, (], и[х, у, (])+ +(Аи[х, у — й, (], и [х, у — й, (]))+(А '1, (), если только матрицы А, С имеют ограниченные производные, и если отношение шагов -„- не превышает некоторого значения р, обеспечиваюпцего неотрицательную определенность во всех точках х, у, ( матриц А — ЗоВо А — ЗрВН А — ЗрС.
При этой переформулировке мы воспользовались также постоянством В„, В, и равномерной положительной определенностью А. Из нашей формулировки очевидно, что доказанное неравенство является разностным аналогом дифференциальной фоомы интеграла энергии. Умножим обе части неравенства на тй' н просуммируем по всем внутренним точкам сеточного слоя, отвечающего выбранному моменту времени й сЛ(Аи, и) Л (Ваи, и) Л(В,и, и) Л(Си, и)З + Лх Лх + Лу )- ь<х<~-ь < ТМ У, '(А й, й)йв+2ТМ 'Я (Аи, и)й'+ А<х<т — Ь а<о<с-ь со<и< Ьоо — со < и <+со +т ~ (А-'(, Г)йв. А<а<~ †— со < д <+ со Мы выписываем здесь формально суммы бесконечного числа сла- ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [Гл и упрощения. В самом деле, + сс(СЯ, и) 1 А<к<с — л) У=в Ср=+со ссс..сч „— сс..с„,+ с.
А<к<с — л р=-рок к=С-Л к=с — л йт ~~С й ~, =йт ~~~ ~~ [(В,и, и), „— р= — со с=р р к=А р = -~- со Ч=-с-со — (В,и, и),-л,рЦ=(ст 'У, '(В,и, и)с л,„— йт ~ (В,и, и)р,„, р = — 00 р= — со "+ с лав к=с — л — йт ~~С й ~~ -, 1= — йт~~с ~) [(В,и, и)к+А „— р= — о» к =л ) р к=л р = -р со р=-С-со — (В,и, и), р][=йт 5', (В,и, и)л,р — йт,У, '(В,и, и)с „, й'т ~ ' = ~ (Аи, и)й'— «<к<с-л — со< С/< +со А<к<с — л — со<к<+со — (Аи, и) й'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
