С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 35
Текст из файла (страница 35)
$18. Разностная схема и основная теорема об оценке ее решений Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Предположении отвосительно начальных данных. Три леммы об оценках разностнык решений. Зги оценки аналогичны неравенствам, вытекающим из интегралов энергии. Доказательство и формулировка основной теоремы об оценке разиостных ре~пений. В этом параграфе мы опишем простейшую разностную схему, с помощью которой можно приближенно решать диссипативную краевую задачу для гиперболических уравнений. Доказывать, что приближенные решения близки к точным, мы не будем. Да мы и не смогли бы этого сделать, так как пока нам не известен факт существования решения у дифференциальных уравнений.
В дальнейшем тсорема существования будет доказана. В ее доказательстве важную роль играет разностная схема, которую мы сейчас изучим. Оценки решений разностных уравнений, аналогичные оценкам интегралов энергии, будут существенно использоваться в доказательстве теоремы. Основное внимание при изучении разностной схемы мы обратим именно на получение этих оценок. Система дифференциальных уравнений, которую мы будем пытаться приближенно решить в прямоугольной области О ( х -- 1, — со < у <+ со, О =" 1 =-- Т, имеет вид А д, +В д„+С д — +~и=О.
ди ди ди При этом предполагается, что матрицы А и С симметрические и положительно определенные, тогда как симметрическая В от х, у, не зависит (постоянна) и имеет следующий канонический вид т !А! ОСИОВНАЯ твогемА Ов ОЦЕНКЕ гпзноотиых гвшк!!нн 225 (см. 2 11): +! по штук +! +! — ! в= Мы будем представлять В в виде разности В=В,— В, постоян- ных неотрицательно определенных симметрических матриц: +1 о +! по штук Во и — л, штук о о о +! в,= и, — по п — п, граничные условия при к=О и при х=1 мы предполагаем задан- ными в виде и, (т=1, 2 ...
и,) при х=О, ((=по+1, ..., пт) при и строго диссипативными. Условия строгой диссипативности состоят в выполнении неравенств: 8 С. К. ГОАУООЭ и!= ~ ао(у, !) иу /=л,+1 Лэ и!= ~ ~у(у, !)и! ! лт штук — ! о л — л, штук 'о +1 о о о 1-! о о ггл.
и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕИИЯ при х=О л У„и,= ла+! !2 л, л~ ггссссс) — ~", иг ( — й, ~~ и) с=л..с- ! с=л,-!-! лр (Ви, и) = ~Х,' и!в с ! с -г~х (й, >О) при х=с л, — (Ви, и)= У л, и,! — У,' и,г= с=! !Э л лл ~~ (3„ис) — У, 'ис ( — 1г, ~ и,', с=лц+1 /=! с=! с= ! с=л,+! мы должны будем переписать уравнения в виде А дсл +В д"ч+(С+ыА) д — ", +!.си=с', у которого симметрическая матрица С+!БА коэффициентов при ди дэ' — —, будет, при достаточно большом Бс, положительно определенной. Матрица В, вид граничных условий, а следовательно, и их дисснпативность, при таком преобразовании не изменятся. В продолжение всего нашего построения и исследования решений разностных уравнений мы будем считать, что все коэффициенты системы и граничных условий являются ограниченными и достаточно гладкими функциями.
Начнем с построения разностной сетки, которая будет у нас состоять из точек х=рй, у= — дй, г=гт с целыми р, сг, г. Шаги сетки сг (по пространственным переменным х, у), т (по времени с) которые сокращенно можно записать как (В,и, и) — (Вси, и)( — сг,(Вси, и) при х=О, (Вси, и) — (В,и, и) — сгл(В,и, и) при х=й Эти неравенства должны выполняться на всех векторах и, удовлетворяющих соответственным граничным условиям. Предположение о положительной определенности матрицы С не является обязательным. Оно введено для упрощения конструкции разностной схемы.
На самом деле, если интересующая нас система имеет матрицу С, этому предположению не удовлетворяющую, то, перейдя в новую систему координат х', у', г', начало отсчета которой движется относительно старой с постоянной скоростью э! параллельно оси у, х' = х, у' = у+ сэг, $ Щ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОВ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИИ Езт мы выберем так, чтобы на отрезках 0 =-х( 1, 0(!( 7" укладывалось целое число шагов.
На самом деле иам придется рассматривать в дальнейшем не одну разностную сетку и построенное на ней разностное решение, а целую последовательность решений на сетках с шагами т„й;! Т„й;! Т„й;! ..., стремящимися к нулю: т — э-О, й -э-0 прн и-~оо. При выборе последовательности шагов мы будем обеспечивать неизменность отношения шага по времени к шагу по пространству: '~й 'Ъ А1 = Ь, =" =й,„=". Для этого, выбрав каким-либо образом т„й„можно выбрать шаги более мелких сеток по правилу: 1 1 1 тз= т1 тз= тз ° ° ° те== э2 ~и~-д 1 1 1 Мы увидим вскоре, что отношение шагов т)й не может быть выбрано произвольно. Оно должно не превышать некоторого предела, который вычисляется по матрицам А, В, С.
При таком ограничении нам удастся получитьдля разностных решений оценки, которые при всех достаточно малых шагах от величины этих шагов не зависят. Переходим к построению разностного решения на сетке с некоторыми фиксированными шагами т, й. Значения и (х, у, 0) = = и(рй, уй, От) во всех точках сетки на начальном сеточном слое 1= 0 предполагаются заданными. Схема, которую мы построим, позволит по этим начальным значениям вычислить приближенные значения искомых функций на первом временнбм слое (=т.
Затем, считая слой 1=т за начальный, мы по той же разностной схеме рассчитаем решение на слое 1=2т. Считая теперь заданным слой ! = 2т, рассчитаем слой ! =Зт, и т. д. Для того чтобы описать схему, нам, очевидно, достаточно будет показать, как величины на сеточном слое ! +т вычисляются по величинам на слое й Пока мы будем иметь дело только с двумя слоями 1, 1+т, величины на нижнем слое будут обозначаться и, А, С, Я, иногда с дополнительным указанием координат х, у: и(х, у) = — и(х, у, !), А(х, у — й)=А(х, у — й, 1) и т. д. Над величинами, относящимися к верхнему слою 1+т, будет ставиться крышечка: й (х, у) = и (х, у, ! + т), С (х, у — й) = С (х, у — й, (+ т).
8" 228 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ П Разностные уравнения, приближающие нашу систему, мы получим, заменив в ней производные на аппроксимирующие их разностные отношения: й (х, у) — и (х, у) У к и(х, у) — и(х — Ь, у) ди ~ — — заменяется на д( (х,и ди ~ — — заменяется либо на дх (х,у Ьи дх Ь и (х+Ь, у) — и (х, у) ди либо на = ах Ь У У и (х, у) — и(х, у — Ь) ди 1 аи ~ — — заменяется на = ду ~х,и ЬУ При этом вместо дифференциальных уравнений мы строим следующие разностные: аи аи Ьи Ьи А (х, у) — + В, =х — В, =х+ С (х, у) — ", + Я (х, у) и (х„у) = О. то построенная схема позволяет определить значения й (х, у) не В приведенной сокращенной записи подразумевается, что входящие в нее разностные отношения вычисляются в точке х, у (точнее, х, у, 1).
Из этих разностных уравнений А (х, у) и (х, у) = А (х, у, 1) и (х, у, 1 + т) = А (х, у) и (х, у)— ди аи аи — т [ВВ = — Вг + С (х, у) =+ () (х, у) . и~ мы можем вычислить й (х, у), используя с нижнего слоя и (х — й, у), и(х, у), и(х+й, у), и(х, у — й). На самом деле нам достаточно знать и(х — й, у), и(х+й, у) не полностью, а только те компоненты этих векторов, которые определяют значения В„и(х — й, у), В,и(х+й, у), т. е. и,(х — й, у), и,(х — й, у), ..., игч(х — й, у), и,+г (х+й, у), и„,+г(к+й, у), ..., и„,(х+й, у). (Напомним, что у нас В„В,— постоянные диагональные матрицы, на главной диагонали которых стоят единицы или нули.) Ясно, что если на слое 1 нам известны и(х, у) во всех точках сетки: (х=О, у=уй), (х=й, у=уй), (х=2й, у=г))г), ...
..., (х = 1 — й, у = йй), (х = 1, у = г)й) у = О, -+. 1, .+. 2, .+- 3, ..., $ сл! ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОВ ОЦЕНКЕ РАЭНОСТНЫХ РЕШЕНИП ХС9 л1 и,(О,у, 1)= и,(й, у, 1), и,(1, у, 1)= ис(1 — И, у, 1), л, ~ Ц(у, 1) ис(1-И, у, ! ! 1) и! (й, у, 1), с = 1, 2, ..., и„ 1=по+1, по+2 ..., п, с=1, 2, ..., и,; п,+1, и,+2, ..., и, 1), с * п„+1, пэ+ 2, ..., п,, во всех точках слоя 1+х, а только при й(х(1 — й. Для опре- деления й (О, у), й (1, у) придется воспользоваться граничными условиями, которые должны быть приближением граничных усло- вий, заданных для дифференциальных уравнений. Мы будем зада- вать граничные условия разностных уравнений равенствами: л, йс(0, у)= ~~ ау(у, 1)й,(й, у) (с=1, 2, ..., и„), с=лц+ ! лл й,(1, и)= ~ рсс(у, 1)йс(1 — й„у) (с=п,+1, и,+2, ..., и,), с=! в которых коэффициенты а„(у, 1), рсс(у, 1) те же самые, что и в граничных условиях для дйфференциальных уравнений.
Напомнилс, что асн рсс удовлетворяли условию диссипативно- сти. Благодаря этой диссипативности мы будем иметь на реше- ниях разностных уравнений неравенства: (Влй й)л Р (Всй, й)А Р(0 (В,й, й), „— (В,й, й), „,„(О. С помощью описанных сейчас разностных граничных условий мы никак не определим й„,+! (О, у), йл,.ьс(0, у), ..., йл (О, у); й, (1, у), йл(1, у), ..., йл,(1, у); й., >! (1, у), „., й„(1, у), но эти компоненты граничных значений й (О, у), й(1, у) не влияют на значения Влй (О, у), В,й(0, у), которые будут использоваться в разностной слхелсе, для вычнсления сеточных функций на сле- дующем слое сетки, отвечающем времени 1+2т.
Для того чтобы упростить структуру сеточной функции, удобно, все же опреде- лить недостающие компоненты й(0, у), й(1, у), положив их рав- ными значениям этих компонент в ближайшей сеточной точке (й, у) или (1 — й, у), Нал! удобно считать, что и на начальном слое 1=0 были заданы начальные значения сс(х, у, 0) только во внутренних точках сетки й А~1 — й, а граничные значения и(0, у, 0), и(1, у, 0) определялись из граничных условий (при 1= 0): ГИПЕРВОЛИ'[ЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [Гл н Это предположение является разностным аналогом предположения о согласовании начальных данных и граничных условий, которое мы всегда должны делать при изучении гладких решений смешанных задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
