С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 37
Текст из файла (страница 37)
л<к<с — л — со< к< +со Поэтому [Аи, и)йл — У, (Аи, и)/ср ) А<к<с — л л«с — л -со< У<+со — ос< У<+со +йт ~ [(В,и, и)л „вЂ” (В,и, и)р Д+ +йт~~','[(Вои, и)с — л, р — (В,и, и)с р)( 'е=тМ ~~'', (Аи, и)й +2тМ ~~ (Аи, и)(сл-(- л<к<с-л А<к<С вЂ” А — оо<р<+со со < р < + со +т ~ (А-с[, [) й'. сс<к<с — л — со < р < -,'- со Пользуясь диссипативностью разностных граничных условий, гаемых, но это только формально, так как только конечное число из них отлично от нуля, в силу того, что разносгное решение не равно нулю лишь в конечном числе точек. Такое же предположение делается и о правой части Г'.
Левая часть этого просуммированного неравенства допускает $!Щ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ 231 в силу которой (В,и, и)у „— (В,и, и)А у«0, (В,и, и)! у — (В,и, и)! — л, у «О, и обозначая , у=+со! — А и(с)-( я Р (к„,)»), у= — о»к А +о» ! А и(со,)-( т т (к„„)к.) 1 у= — сок=у +о» ! — А к(с)=(,, (А-'), ))с.), 1 у= — сок=А С другой стороны, у=-(-со )к (1) =У(1)+,У', (Аи, и)к,й'+ ~ (Аи, и)„(йу.
В силу граничных условий о, аи(у, 1) и!(й, у, (), 1=!, 2, ..., и, и,(0, у, 1)= и,(й, у, 1), у=а,+1, и,+2, ..., л должно иметь место неравенство: (Аи, и)к,«сопз1(Аи, и), А — М,(Аи, и) А, у +со у=+о» (Аи, и)„ойу«Мо У', (Аи, и) А йу« у=+сок=! — А «М, ~ ~х~ ~(Аи, и)йУ= М,У(1). приходим к неравенствам С! ((+ Т) — У (1) ТМУ(1+ т)+ 2ТМУ (1)+ ТУ ((), (1 — ТМ) У ((+ т) «(1 + 2ТМ) У (1) + ту ((). Нам удобно теперь рассмотреть еще суммы ;у=+со к=! Гу)=~ Т.
Т. (А, )с'), = — сокг В распространенные на весь сеточный слой О-=.х«1, — со<у< - +Ос, а не только на внутренние точки й«х«1 — й, входив- шие в сумму У(1). Очевидно, что 'у' (1) ) У ((). [ГЛ. И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Аналогично, используя граничные условия и (1 — 6, д, 1), 1=1, 2, ..., и;1 и +1, ..., и, и!(6, у, 1)= ~ч, 'йи(у, О) и!(1 — 6, у, 1), [=па+1, па+2, ..., и„ 1=1 доказывается неравенство у -[- се у-+се «=! — й (Аи, и)«, йа(М! ~~~ ~Ч, '(Аи, и)йа=М!(с'(1); теперь очевидно, что и(1) У (1) (1+ М,+ М,) (У (1). Заметим, что к такому же выводу мы пришли бы в случае, если вместо граничных условий и,(0, у, 1) =и,(6, у, 1), [=п,+1, и,+2, „и, и!(1, д, 1) =и! (1 — 6, у, 1), 1=1, 2, ..., и;[ и +1, и +2, ..., и выполнялись условия и,(0, у, 1)=у!(у, 1) и,(й, у, 1), [=п,+1, и,+2, ..., п, и1(1, у, 1) с й1(у, 1) и[(1 — 6, у, 1), ! = 1, 2, ..., и„; и, + 1, ..., и с ограниченными у;(у, 1), й!(у, 1).
Сделаем еще предположение, что правые части 1(х, у, 1) на- ших разностных уравнений вычисляются по значениям и(х, у, 1), и(х+ 6, у, 1), и(х+6, у — 26, 1)..., т. е. по некоторому конеч- ному числу значений и на рассматриваемом слое 1 в точках, со- седних с точкой х, у, 1, причем так, что имеет место неравенство у=+со «=! — й Г (1) = ~,'э (А-!1, Дйй=- у= — сч к=й у=+сюк=! ~Ма,)', ~ (Аи, и)6'+Ф=М,$'(1)+Ф (М, Ф=сопз[). у — са «=а Эта гипотеза, в частности, справедлива, если 1(х, у, 1) = 9(х, у, 1) х Хи(х, у, 1)*). Выписав теперь доказанные и постулирова[[ные неравенства (1 — тМ) (!' (1+ т) ( (1 + 2тМ) (1 (1)+ тг (1), и(1) Ь (1) (1+М,+М,)(У(1), Г (1)(М,)«(1)+Ф =М,(1+М,+М,) 11(1)+Ф, ') В этом случае можно положить Ф=О.
й 1а) ОснОвндя теОРемА ОБ Оценке РАзностных Решений 239 мы из них без труда выведем следующие следствия (О <т< —, 1 0<1 =Т): (! — тМ) У (!+т) ((1+2тМ) У (1)+тМ,(1+М„+М,) У (1)+тФ, (! (! 1 ) 1+ с(2М+Мз(!+Мо+Мг)1 (! (г) 1 т Ф ! — тМ ! — тМ п1ах(Ф, У(!+т))( +,' ' ' щах(Ф, У(1)), гпах(Ф У(1)) ~( ' ' ' ~ игах(Ф У(0)), )' (!) — (1+Мо+Мг) (» (!) =- М + М ) ~!+т [™+Ма (1+Мо+Мс)+1)~гГ« ()г (0)+ 1) При т- 0 ( + 12М+ 3( + о+ г)+ )Г~ ег1м-гм о+м ~-м»1+!1 1 — ТМ и поэтому при достаточно малых т и при 0 (1(Т: г ,1!+ т 12М+ М, (1+М,+М )+ 1П вЂ”, (1+М,+М,) ~ 1 — гМ (2 (1+Мо+Мг)е(1, и+и;(!+Аг»жми) г М Р(!)(М 1~(0)+М Ф=М 1/(0)+М-, с а=+со к = ! 0 Га=т ~, '(Аи, и)йа) (М~ ~ ~ч (Аи, и)пз1 +М".
д= — о»к=о Г=соо»! у= — о» «=-а ~г=а Зго последнее неравенство и было 'целью предпринятого нами исследования разностных уравнений. Сформулируем доказанное утверждение; Основная теорема об оценке разностных решений: Луста 1'. Коэффициенты разностных уравнений ап Ли бп Ьп А (х, у, 1) м +Во=„— В,=+С(х, у, !) ==~(х, у, 1) являются достаточно гладкими функциями о), матрицы А (х, у, !), С(х, у, !) положительно определены, В„В,— постоянные диаго- ') Конечно, коэффициенты разностных уравнений прн каждом фнкснрованном шаге определены только в конечном числе точек, поэтому требует уточнення утверждения об нх гладкости. Мы считаем, что А (х, у, Г), ь (х, у, 1) заданы прн всех к, у, Г, как матрнцы с гладкими элементами, а в разностные уравнения входят в качестве коэффнцнентов нх значения в точках сетки. 240 (ГЛ.
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ нальные матрицы следующего вида: О ло шту» +! +! +! ло О штук Во О О О ло штук О +! +! л,— ло штук +! О О в,= л — л, штук О (В,и, и)„д — (В,и, и)о,о(0, (Вои, и)о, „— (В,и, и), ю о ( О О бозначения разностных отношений приняты следующие: Аи и(х, У, 1+т) — и(х, У, 0 Аи и(х, У, !) — и(х — л, У, !) А! т Ох л !!и и(х+л, у, () — и(х, у, !) Аи и(х, у+л, Π— и(х, у, 0 Лх 6 Лу А 2'.
При х=О, х=1 на любом сеточном слое 1=СОНЕ! (в том числе при 1=0) выполнены граничные условия л, ау(у, 1) иу(1!, у, 1), !=1, 2, ..., птл ! ( о у' )=л,-(-! у,(у, 1) ио(Ь, у, 1), (=по+1, по+2 ..., п; и,(1, у, 1)= ! 6!(у, 1) и,(1 — Ь, у, 1), Г=!, 2, ..., п,; п,+1, и,+2,, и, ло ~ ри(у, 1) и;(1 — й, у, 1), ! =и,+1, п,+2, ..., п„ (=1 с ограниченными козффициенпшми ау (у, 1), у, (у, 1), ру (у, 1), б, (у, 1). Эти граничные условия диссипативны в том смысле, что на лю- бых сеточных функциях, им удовлетворяюи(их, выполнены неравен- ства 24! оценки идзностных отношении 4 ]з] 3'.
В приведенной сокро]ценной записи системы предполагается, что значения ](х, у, !) вычисляюп]ся через значения и на том же сеточном слое (=сепг(, причем имеет место неравенсгпво у=+сок=! — а (А зу, ])]]Я(сопз( ~х~~ ~(Аи, и)]та+сова(. у= — «=а Это предположение, в частности, выполнено, если 7(х, у, !) = — Я(х, у, !) и(х, у, !), где ]',](х, у, !) — ограниченная матрица. При условиях 1', 2', 3' суи(ествуют постоянные М', М" такие, что !' у =+ со к = ! (у =+ со к = ! ]пах ~ ~', ~(Аи, и) йз) (М'~ ~, '~'(Аи, и)г]з~ +М". О~С~у у= — сок=-а !=соек! у= — сок=а С=а Постоянные М', М" можно вычислить по коэффициентам (и их производнглм) уравнения, коэффициентам граничных условий, а также через константы условия 3'.
9 !9. Оценки разностных отношений и компактность приближенных решений Расширение разностных уравнений. Первый шаг — включение уравнений для разностных отношений по у и по ! и приведение граничных условий у расширения к диссипативному виду. Начальные данные и нх распространение на расширенную систему. Оценка квадратичных сумм разностных отношений по у и по ! через начальные данные. Использование разностных уравнений для оценки сумм, содержаших разностные отношения по х. Уравнения и оценки для таких отношений, помноженных на множитель, аннулируюшийся вблизи границ. Исследование компакююсти сеточных функций, которая следует из всех полученных оценок.
В этом параграфе мы продолжим изучение решений разностных уравнений и установим для их решений более тонкие оценки. Как следствие этих оценок будет получена компактность сеточных функций и с ее помощью мы проведем доказательство теоремы существования. Компактность решений будет выведена из критерия компактности сеточных функций, который изучался в 9 17. Чтобы его применить, нужно сначала получить оценки для сумм по сетке, слагаемыми в которых будут квадратичные формы от разностных отношений различных порядков.
Эти оценки получаются приме- 242 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРЛБИЕНИЯ [ГЛ 1! пением основной теоремы предыдущего параграфа к расширенной системе разностных уравнений. Такой метод аналогичен использованию интегралов энергии при изучении расширенных систем гиперболических дифференциальных уравнений в 2 16.
При первом чтении несколько громоздкие выкладки и построения настоящего параграфа, набранные петитом, можно опустить и прямо перейти к его заключительной части, где из компактности сеточных функций выводится теорема существования решений у дифференциальных уравнений. Начнем с построения расширенной системы разностных уравнений. Пусть и(х, у, 1) — сеточная функция, определенная только в точках сетки и удовлетворяющая разностным уравнениям: ди Ьи Ьи йи А(х, у, 1) —,+В,= — В,— "+С(х, у, 1) — ", +Я(х, у, 1)и=О.
Аналогично тому, как в 2 16 мы получили расширенную систему дифференцированием исходной, так н здесь мы ее будем получать путем «разностного дифференцирования» — применения операторов д а —, — "-, описанных в 2 18. Так мы приходим к уравнениям М иу А(х, у, 1+т) — у — -1-В» ',~ — В, л ' +С(х,у,1+т) а + +~[ — А~+ Я(х, у, 1+т)~ — + [ — С (х, у, 1)1 — + [ — Я~ и = О, (аи~ ~аи) /аи) /аи Ь А(х, у, 1) '- '+В, '- — В, '- +С(х, у, 1)=+ +( —;А~[,—,"~ +()(х, у, )Я + +Я(и1, „»,+~-" — С~ [=-~~ =О, напоминающим дифференциальные уравнения 2 16.
Правда, здесь есть одно отличие. В младших членах последаи ди него равенства сеточныефункции —, — ", и берутся не в тех же ду ' точках (х, у, 11, что и в первом равействе, а в смещенных точках 1х, у — й, 11. Проводя дальнейшее расширение разностной системы, в нее можно включить уравнения для разностных отно- 243 опвнкн паэностных отношвнни 4 121 шений высшего порядка по у и по (1 Ли и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
