С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Сеточные сс(х, у, 1) из нашей подпоследовательности равномерно при $ ~х=-1 — $, — 'т'=-у('г', 0-(1(Т сходятся к и(х, у, 1) прп Ь- О. Теперь очевидно, что и (х у, О) — Ч (х, у) = О. Из-за произвольности $)0 это равенство имеет место всюду при 0 <х<1. Точно так же проверяется выполнение граничных условий при х=о, х=1. При этой проверке мы должны пользоваться непрерывностью Ви при 0(х(1. Напомним, что Ви — это вектор с компонентами и„и„脄— и„,, 1, — и.,».м ..., — и„„о, О,, О. Тем самым мы подчеркнем, чзо и„и„..., и„, у нас непрерывны в замкнутой области О ( х (1.
(Про непрерывность и,,» ь и„, ьг, ..., и„мы можем утверждать, что она имеет место лишь при 0 (х <1. Непрерывности этих последних функций !гл и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕНИЯ вплоть до границы мы доказывать ие умеем.) Для сеточных им и„ ..., и,, мы имеем равенства (в граничных точках сетки): л| и,(0, у, !)= ~Ч~ ау(у, !)иу(й, у, !), о=1, 2 ... и„ Г=л,+! л,+! и!(1, у, !)= ~Ч" „р!У(у, !)и!(! — й, у, !), т=п,+1, и,+2...п,. !=! Для проинтерполированных ио(х, у, !) отсюда заключаем, что л, и!(О, у, !) —,) ~ ау(у, !)и,(0, у, !) =0()У й), о=1, 2,, и,, (=л,+! л +! и; (1, у, !) — ~Ч~ ~р!! (у, !) иу(1, у, !) = — 0()Гй), ! = г!о+ 1* по+ 2, ..., и,. Переходя к пределу при й-+.О, убеждаемся в выполнении граничных условий для предельных функций.
Сформулируем доказанную теорему и все налагаемые при этом условия. !. Область, где строится решение, задается неравенствалит: 0 = х ~ С вЂ” со ( у ( + оо, 0 - ! ..=. Т. П. Система уравнений: А(х, у, !) -- +В- — +С(х, у, !) -+1;!(х, у, !)и=-О, +! +! ло штук +! — ! — ! гч — "о шту'! — ! О О л — л, штук имеет матрицу В постоянной специального вида, А, С вЂ” матрш!ы симмегпрические и положительно определенные. Все матрицы коэффициентов достаточно гладкие. 1П.
Граничные условия на левой границе л, и!= ~ со!тиу (!=1, 2, ..., по). ! ло+1 э к!1 твогемл сзщаствовкния еашвния смвшкннон злдлчн 26! на правой границе и,=~ч" Цит (( п,+1, п,+2, ..., и!). ! ! Здесь а!у(у, !), р!!(у, 1) — достаточно гладкие функции времени. Граничные условия предполагаются строго диссипативными. Это означает, что любая вектор-функция и, удовлетворяющая граничным условиям, удовлетворяет также неравенствам л, (Ви, и);„,« — нь ~ и,' !=и,+! а, (Ви, и) ',х-! ) й, ~~', и! ~ =! йь) О. Если а!р ~!! постоЯнны, то, как зто видно из пРиведенного доказательства, вместо строгой диссипативности можно ограничиться просто диссипативностью (йь = 0).
!Ч. Накальные данные и(х, у, 0)=ср(х, у) предполагаются 1 достаточно гладкими, равными нулю при ~ у ~ ) — У' и во всех точ- 2 ках х, у, таких, что либо 0«х«$, либо ! — х)$)0 для некоторого $. Ч, При предположениях 1 — 1Ч существует реи!ение поставленной задачи. Это решение будет отлично от нуля лишь в ограниченной части описанной в ! области, Решение единственно. По поводу единственности см. конец приведенного ниже замечания 2. Заме чан не 1. В формулировке пункза 1Ч можно отказаться от требования, чтобы !р(х, у) обращалась в нуль в окрестности границ х=О, х=1. Проще всего это сделать, построив последовательность решений, начальные данные которых обращаются в нуль в полосках все более и более узких, но имеют ограниченными все производные до некоторого порядка, причем эти производные сходятся к производной предельной функции. Последовательность соответствующих решений, как можно показать, будет компактна и из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к решению, начальные данные для которого — предел начальных данных из выбранной последовательности.
Мы не будем проводить эти рассуждения подробнее, ограничившись лишь приведенной схемой. Заметим, однако, что начальные данные, для которых таким путем удастся доказать существование решения. окажутся согласованными с граничными условиями в том смысле, какой был описан в $ 15, 262 [гл и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ За меч ание 2. Для построенного решения из нашего доказательства можно вывести оценки с постоянными, выражающимися через размеры области, коэффициенты уравнений и граничных условий, начальные данные и через производные этих функций достаточно высокого порядка. Такие оценки вытекают из заключительного замечания 2 17 и из полученных при доказательстве теоремы существования оценок сумм квадратов разностных отношений. Оценки решения имеют вид ~и,,=--сонэ(, ~ — - .=соп51, - -~(соп51, ди~ ! дт ди;( дт~ д) )~„д,, ь дГ |к,, и„п ~ !(У~~ — ~ -~Уà — 1~';1~Та -юЛ дю ди, 1 ду п,„ь ду ~,„д„ь ! ( соп51(Р' ( 11 — 15 ) +)' ( х1 — хг ) + )' Гу1 — уД~ ! 1 = 1, 2, ..., и ~ , ш(х„у,, 1,) — и~(х., у„1г) ~ ( ~ - ЧК~,-и -~1 ...-*.:, Гт~,:а, !""!....,, -'-"'1„.и, „1= =..
соп51((~ 1, — 1, + ) '! х, — х, + )Г у, — у, ), ~ди, ~ 1=1,2, ..., п,,~ Из этих оценок, в частности, следуют свойства 1), 2), 3) решения и(х, у, 1), которые в 2 1б использовались прп доказательстве теоремы единственности. В дальнейшем мы будем существенно использовать теорему существования в одномерном случае. Такая теорема доказывается, по существу, так же как н двумерная, описанная нами, но, конечно, несколько проще.
Не сстанавливаясь на отличиях в деталях доказательств, приведем ее формулировку и обсудим некоторые простые следствия из нее. Нам удобно, имея в виду дальнейшие применения, считать в этой формулировке постоянной не матрицу В коэффициентов прн производных по х, а матрицу А коэффициентов при производных по 1. Эту последнюю матрицу мы будем, не ограничивая общности, считать единичной. Матрица В предполагается диагональной с элементами главной диагонали +- К (1, х), не обращающимися в нуль. 1. Область, где строится решение, является прямоугольником (1==Х~1, 0(1~Т, $ !ь! тЙОРЙмА сун!ЙстВОЙАння Решения смешАннОЙ зкдьчн 263 1!. Система уравнений — +й! д + ~тип~=О ди! ди! д! ' дх ди! ди! Ъч — - — й! — А+ т тии,=О д! дх ! (1=1, 2, ..., пл), ((=п„+1, ..., п), я!(х, 1) >О.
Коэффициенты предполагаются достаточно гладкими. !11. Граничные условия на левой границе и!= ~', и!!и1 (!'=1, 2, ..., и„), !=л,+! на правой границе лл и;= ~ р!1и! (!'=ил+1, ..., и). Здесь а!! (1), р!! (1) — достаточно гладкие функции времени. Граничные условия предполагиются строго диссипгтивными. Зто означает, что любая функция, удовлетворяющая грани~сным условиялс, удовлетворяет также и неравенствам — й!и)+ ~, й!и,' ( — йь — на правой границе, !=! 4 =л,+! л л, — Я!и,'+ ~ й!и! -".— Яь — на левой УРаюи(е. !=-лл+ ! ~=! Если а!1, р!! постоянны, и!о достаточно ограничил!ься просп!о диссипативностью (й = 0). !Ч.
Начальные данные ил(х, 0) =!р!(х) предполагаются достаточно гладкими и согласованными с граничными условиями вмес!пе со своими производными достал!очно высокого порядка. Ч. При предположениях ! — !Ч существует единственное реп!ение поставленной задачи в прямоугольнике 0 х(1, 0 =.1== Т (единственность была доказана в $ 16). Для этого решения могут быть получены оценки с постоянными, выражаюшимися через размеры прямоугольника, через коэффициенты уравнений и граничных условий, начальные данные и через производные этих функций достаточно высокого порядка. х ал твоивл1л сищаствоалния Ращения схщшлниои злдлчи 265 дх иые данные.
Этот треугольник высвкавтся характеристикой — = дг' = )гг(х, г) с наибольшим Йь проходящей через левую границу от- . дх резка, и характеристикой — =)г,(х, г) с наименьшим/г; (х, г), прохо- дг дящей через его правую границу. Коэффициенты )гг(х,г) системы диг диг %1 -ду +гг~(х, г) д + 7 гуйла =О мы здесь не предполагаем строго положительными или отрица. тельными. Они могут даже менять знак. Мы сейчас покажем, как из нашей теоремы существования для граничной задачи вывести теорему существования решения задачи Коши внутри характеристического треугольника. Во-первых, покажем, что можно ограничиться только случаем строго положительных наклонов характеристик й,(х, г). Действительно, преобразо ванне независимых переменных х' =х — аг, приводит систему к виду ди; ди; —,г-,'-+(а+юг) --,'-+ ~итмих =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
