С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 45
Текст из файла (страница 45)
К рите р ий Шварца. Мы будем говорить, что система обласгпей 6„6„6, с граничными дугами а, Р, у, б, о удовлетворяет кригпюериююю Шварца, если выполнены следующие два условия: 1. Любая гармоническая в 6,, непрерывная в Йьз функция, равная нулю на а 0 о и не превышающая по абсолютной величине 1 на у, всюду на дуге Р не превосходит по модулю некоторого 8(1. 2. Люба гармоническая в 6,, непрерывная в 6м функция, равная нулю на б 11 о и не превышающая по абсолютной величине 1 на р, всюду на дуге у не превосходит по модулю 8 (1.
В этом критерии предполагается, что постоянная 8 может быть выбрана для данной системы областей 6„6„6, раз и навсегда и, следовательно, она не зависит от рассматриваемой ца 10 С. К. Годунов УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ~ГЛ Н1 непрерывной гармонической функции. (Напомним, что знак черты над множеством означает замыкание этого множества.) Будем говорить, что область 6,, (6,,) удовлетворяет условию разрешимости, если при любой непрерывной на а() у() о (6Ц () () о) граничной функции существует отвечающее ей непрерывное решение задачи Дирихле в б,, (б,,).
Аналогично, область 6 = = б,л () б,м будет удовлетворять условию разрешимости, если при любой непрерывной на а()б() о граничной функции существует отвечающее ей непрерывное решение задачи Днрихле в б. Т е о р е м а. Если система областей 6„6.„6, удовлетворяет критерию Шварца и если для областей 6, „6, А выполнено условие разрешимости, то зто условие выполнено и для составной области 6 = 6ьз() 6ьэ Доказательство. Пусть на а()био задана непрерывная граничная функция г(з).
Пусть у(х, у) — какая-либо непрерывная в б функция, равная )(з) на границе а()боо. Мы сейчас опишем итерационный процесс, который, отправляясь от начального приближения д(х, у), приведет нас к решению задачи Дирихле. Положим и,(х, у)=д(х, у) и определим о,(х, у) следующим образом: и, (х, у) на 6, О о () б; решению задачи Дирихле в б,, с граничными условиями ВВ ~ —,и„= 1 (в) = и.
(х, У) ~ — „„ ~ о, ф = и, (х, у) )а. о,, (х, у) на бз 0 а 0 о; решению задачи Дирихле в б,, с граничными условиями и„~„— „, = г (з) = о„, (х, у) ! „— „ и„(х, у) на 6,()по у; решению задачи Дирнхле в б,, с граничными условиями о ~,— „х =1 (з) = и (х у) ~ —,„А, о„~а=и„(х, у)!д. сс„(х, у) = Очевидно, что каждая из функций и„(х, у), о„(х, у) по построению является непрерывной в б и принимает на границе В дальнейшем последовательные приближения и,(х, у), о„(х, у) будут строиться следующим образом: 291 МЕТОД ШВАРЦА значения 1(з).
Мы докажем, что последовательность Ио, Ио, Ип Ип Им ..., Во о, Ио, ОА, Иом, ио ио ио ам ио в„ ... Г1ереходя к этому исследованию сходимостн, отметим, что о„,— о„, на О,ЦаЦа; гармонической в Оь, функции, равной 0 на а Ц и и равной о„, — ео на у; и„— и„, (И=2, 3, 4, ...) и,— и„, на О,ЦЦЦо; гармонической в 6,, функции, равной 0 на 6 Ц и и равной и„— и„, на р.
Ио Оо-1 (и = 1, 2, 3, ...) Обозначим а„= шах ~ и„(х, а, м~а Ь„= тп ах ~ п„(х, а у)ау Из выполнения критерия Шварца дения: у) — и„,(х, у) ~, у) — о„,(х, у) ~. мы выводим следующие утверж- 6„( 9а„. ИВ~06,;, ой 1О* равномерно сходится. Отсюда будет следовать, что ее предел будет непрерывной функцией, принимающей на аЦ6ЦЦ заданные значения 1(з). Легко показать, что этот предел будет в 6 функцией гармонической. Действительно, возьмем в 6 какую-либо внутреннюю точку (х„у,). Эта точка будет внутренней хотя бы для одной нз областей 6, „Оса Рассмотрим, для определенности, случай (х„у,) ~ 6,, Последовательность и,(х, у), и,(х, у), ..., и„(х, у), ... гармонических в 6,, функций тоже равномерно сходится в 6,, к тому же пределу как подпоследовательность сходящейся последовательности.
По первой теореме Гарнака ее предел будет гармонической в 6,, функцией. Если бы (х„у,) ен6, „то, аналогично, надо было бы выделить подпоследовательность и„иь им ... и установить гармоничность ее предела. Мы видим, что для обоснования условия разрешимости задачи Дирихле в 6 достаточно установить равномерную сходимость последовательности 292 [гл. Ен УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Отсюда а„«ага„г «9""-"а„ Ь„«В~' га, (л= 2). Очевидно, что из принципа Дирихле следуют неравенства: ~ и„(х, у) — и„,(х, ~ о„ (х, у) — о„ , (х, (х, у) ен б, максимума для решения задачи У) ~ «Ь -г «сопз1 9~", у) ! «а„«сопз1 агг; л = 2, 3, 4, ... Равномерная сходимость последовательностей и„и„и„..., ог ог ог очевидна. Теперь заметим, что, начиная с п = 1, функции о„ вЂ” и„, очевидно, будут гармоническими и непрерывными в каждой из областей 6,, 6„ 6г и будут равны нулю на внешней границе а О б О о.
Из определения очевидно также, что о„— и„= 0 на бг и на (), На дуге у функция и„по построению совпадает с о„,. Поэтому о„— и„на у равно о„— о„,. По принципу максимума / о„(х, у) — и„(х, у) /«тпах~о„— и„~=шах~о„— о„г! =о„«сопз(аг". Отсюда ясно, что составная последовательность и„, о„и„о„и„ом ... тоже равномерно сходится. Доказательство теоремы завершено. Оказывается, что принцип Шварца позволяет переносить на составные области не только разрешимость задачи Дирихле с непрерывными граничными значениями, но и выполнение принципа Дирихле.
Пусть непрерывная и кусочно гладкая функция д(х, у) имеет конечный интеграл Дирихле Ра(д) =Ро,(Ы)+Рс,(к)+Ра,(у). Предположим также, что принцип Дирихле выполнен для каждой из областей 6ь„6,, Выполнение этого принципа означает, что для любой кусочно гладкой в 6,л функции о(х, у) н для гармонической там же функции и(х, у), совпадающей с о на границе р Оа() б, справедливо неравенство Ро,, (и) « Ро, (о).
В частности, для последовательности функций и„, ~, участвовавших в доказательстве предыдущей теоремы, Ро,,(и„)«РСЕ,(о„,), л=1, 2, 3, МЕТОД ШВАРЦА 993 Отметим еще, что на 6, ил=он, и поэтому Ра,(и.)-ОЕ. (а.— ). Объединяя два последние утверждения, имеем: Оа(и„)~0а(ал-г), п=1, 2, 3 Аналогично, предполагая выполнение принципа Дирихле для 6, „ мы без труда установим неравенство Ра(а )=Ра(ил), л=О, 1, 2, 3, ... Так как и, (х, у) = д, мы убедились в том, что интеграл Дирихле любой из функций последовательности и„, а„, и„а,, и„а„...
не превышает Ра(д). г'(ы знаем, что это последовательность равномерно сходится к гармонической в области 6 функции и (х, у), совпадающей с д(х, у) на границе этой области. Докажем, что Ра (и) =:-Ра (д). Достаточно установить неравенство Рн,пи,вн, (и) =Рн, (и)+Рн. (и)+Рн, (и) ==.Ра(д) для любых внутренних подобластей Нг областей 6; (Н, с: 6„ Нэ с: 6.„НА ~ 6л) н воспользоваться затем равенством Ра(и)=зцрРн,сгбцн, (и). Внутри каждой из подобластей Н, последовательность и„а„и,, а„из, ал является последовательностью гармонических функций, равно. мерно сходящихся вмес|е со своими первымп произвсд иями. (Вспомниге ~еорему Гарпина и теорему о сходимостн производных у равноегерно сходящихся гармонических последователшюшей.) Поэтому Рн, цн,шн (и) = !Цп Рн,пн,нгг, (ил).
л лл С другой стороны, Ргг,ин,ни, (и„) ~ Ра (ил)-=Ра (д), На этом мы заканчиваем доказательство неравенства Ра (и) ( Ра (д). По теореме единственности решения задачи Дирихле функция и(Х, у) ОПрЕдЕЛяЕтея ПО ГраНИЧНЫМ ЗНаЧЕНИяМ д(Х, у) ! нвол ОДНО- значно. Ее существование следует из доказанной теоремы о разрешимости задачи Днрихле в 6=6,()6,()6,, Функция, совпа- Ю с. К.
голгллл 294 [гл гп нплвнениа лапласа дающая с д(х, у) на границе а 0 б и о и имеющая интеграл Дирихле, равный Ро (и), единственна. Это было доказано в прошлом параграфе. Перечисленные сейчас факты составляют содержание принципа Дирихле для составной области С. Итак, мы показали, что из критерия Шварца для 6„ С„ Сю из разрешимости задачи Дирихле для С,л, Се, и из выполнения принципа Дирихле для 6, 6 3 следует разрешимость задачи Дирихле и выполнение принципа Дирихле для составной области С=С,,()С,а Прежде чем воспользоваться этими фактами, сделаем несколько замечаний относительно проведенного доказательства. В этом доказательстве нам Рис.
58. было совсем не существенно, чтобы области были односвязными, а каждая из дуг границы а, р, у, б, о связной. Каждая нз них может состоять из нескольких различных дуг, как это, например, изображено на рис. 58. На этом рисунке двусвязный многоугольник 6, () Сз () Сэ мы рассекли двумя параллельными прямыми р(х=О) и у(х= П2) на несколько частей. Части 6',о и 6'," мы считаем составляющими область 6,. Части 6',", 6,"', 6,'" образуют область Са*).
Границы а, б состоят каждая из трех ломаных аы а„аз; б„б„бз. Граница о разбивается на шесть различных э) Под областью обычно понимается открытое связное множество, так что, строго говоря, от и оэ не являются областями. Однако нам при рассмотрении этого примера будет удобно, немного отклонившись от общепринятых определений, называть пт и ба областями, мвтод швхецх 295 частей. На каждой из прямолинейных границ р, у должно рассматриваться по три отрезка; на рис.
89 изображены области 6„ 6„ 6„ расположенные так, что дуга о вообще отсутствует. Покажем, что области, изображенные на рис. 68, удовлетворяют критерию Шварца. 2 Рассмотрим гармоническую функцию — (х+2), неотрицатель- 5 ную в 6,06, и равную 1 на у(х=!У2). Неотрицательность этой функции следует из того, что вся наша фигура расположена в полосе — 2~х( 2, как это видно из рисунка. Очевидно, что для любой непрерывной гармонической функции, не большей 1 на у и равной нулю на аоо, из принципа максимума следует неравенство и(х, р) ~ — (х+2).
Если мы знаем, что и(х, у) не меньше — 1 на у и равна нулю гг на а() и, то аналогично мы можем написать: 2 (, И) = — — (х+2). Рзс. 59 Отсюда ясно, что если 'и1-=.1 на у и если и=О на а()о, то 2 4 при х=О, т. е, нц р, имеет место неравенство , 'и',»- — (х+2) =--. 5 5' Точно таким же способом, с помощью гармонической функции 1 — хг2, положительной в бг() 6з и равной единице на () (х=О), показывается, что любая гармоническая функция, не превышающая 1 по модулю на 8 и равная пулю на 6() о, удовлетворяет на у(х=!!2) неравенству ',и ~Зг4. Мы видим, что в рассма~риваемом случае критерий Шварца выполнен, если за 0 выбрать 4 /3 41 5= — =шах( —, — г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
