С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Мы получаем здесь задачу Дирихле для гармонической функции и(х, у). Сопря>кенная к ней гармоническая функция о(х, у) =с+о,(х, у) определяется с точностью до произвольной постояннон. В 5 2 было доказано, что о(х, у) будет непрерывной вплоть до границы, если 1'(е) достаточно гладкая, ~гл. гн .тглвнвниа ллпллсл При мер 2. Пусть а(в) =х(в), Ь(в) = — у(в) (х'+у'=1), (хи — уо) ~г =1(з).
Предположим, что нам удалось найти аналитическое в единичном круге и непрерывное вплоть до границы решение и(х, у) + + со (х, у) этой задачи. Как известно, $ (и + и) (дх + с' ду) = = $(и дх — ос(у)+(су (иду+ одх) = О по любому замкнутому контуру, лежащему в круге. Мнимая часть этого интеграла дает равенство $ и ду+ о дх = О. В силу непрерывности и(х, у), о(х, у) контур можно продеформировать, не изменяя результата, и превратить в границу — единичную окружность. На этой окружности с(у =хс1в, ух = — ус(з.
Отсюда ф (их — оу) с)з = ~ 1 (з) дв. с Из разрешимости задачи Гильберта в этом примере следует, что интеграл от правой части равен нулю. Задача оказалась разрешимой не при всяких правых частях 1(в). Приведенные нами простые примеры показывают, что характер задачи существенно зависит от коэффициентов а (в), Ь(в) граничного условия. В дальнейшем выяснится, что разрешимость или Рис.
65. Рис, 64. Рис. 66. неразрешимость задачи Гильберта, а также условия единственности зависят от некоторого целого числа )У, которое может быть определено по виду функций а(в), Ь (в). Это число называется индексом граничного условия. Пусть в — длина дуги единичной окружности — меняется от О до 2и при движении точки вдоль окружности против часовой стрелки. При этом вектор с координатами а(в), Ь(з) опишет некоторую кривую на плоскости (а, Ь). Число оборотов, которое сделает зта кривая вокруг начала координат, и называется индексом.
На зо! зАдАчА ГильвеРТА В кРуГе рис. 64 — 68 изображены такие кривые в случае различных индексов. Стрелкой указано направление движения вдоль кривой при возрастании з. В разобранных нами примерах 1 и 2 значения индекса были, соответственно, равны нулю и минус единице. Теорема. Задача Гильберта при й7 ~ 0 всегда имеет неединственное решение. Это решение зависит от 2й7+! постоянной. Рис. 68. Рис. 87.
При А'(О, если задача Гильберта разрешима, то она разрешима однозначно. Для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы правая часть 7" (з) бьта ортогональна к любой функции из некоторой линейной конечномерной системы функций. Размерность этой системы 2 ~ й7 ~ — 1 = — (2й7+ 1). В разобранном примере (пример 2) задачи с индексом М= — 1 правая часть 7(з) должна быть ортогональна всего лишь к одномерному пространству.
Это пространство состоит из констант. Отсюда и получается условие ~ 1(з) 1 йз = О. Из сформулирован- о ной теоремы вытекает, что для любой достаточно г.чадкой 1(з), удовлетворяющей этому равенству, задача Гильберта этого примера разрешима однозначно. Доказательство теоремы будет дано немного ниже, а сейчас мы проведем ряд полезных предварительных построений. Прежде всего еще раз отметим, что задача Гильберта эквивалентна задаче нахождения аналитической внутри круга и непрерывной вплоть до границы функции со=и(х, у)+!о(х, у), удовлетворяющей граничному условию а (з) и + б (з) о = ) (з).
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА )гл. Н! В частном случае Ь = О в примере ! мы показали, что при таком граничном условии (и ~г = — =)! (В)) задача Гильберта легко ! (5) и (5) исследуется. Ниже мы покажем, что и в общем случае задача может быть, по существу, сведена к рассмотренному частному примеру. Для этого предположим сначала на минуту, что а(з) и Ь(з)— это граничные значения действительной и мнимой частей некоторой аналитической в круге и не равной там нулю функции с (х+ !у) = а (х, у) + 1Ь (х, у).
Тогда аналитическая в круге функция в и+!а аи+Ьа . аа — Ьи () + .~, с а+!Ь а!+Ь! аа+Ь' имеет вещественную часть (l=... значение которой на грааи+ Ьа нице известно: оно равно,, Как мы уже напоминали !(а) в примере ! (подробное доказательство изложено в ~ 2), гармонические функции У(х, у) и у" (х, у) восстанавливаются по граничным значениям (!', причем у' определяется с точностью до аддитивной постоянной. Тем самым определяется и! (х+ !у) = с (х+ !у) . [У(х, у)+!'У'(х, уЦ. Конечно, наше предположение о том, что а(з), Ь(з) — граничные значения действительной и мнимой частей аналитической в круге функции, вообще говоря, не выполняется.
Однако ясно, что граничное условие а (з) и + Ь (э) и = ! (В) эквивалентно любому условию вида р (з) а (з) и + р (з) Ь (з) и = р (з) ) (э), какова бы ни была строго положительная функция р(а). Обозначения а (з) = р (з) а (з), р (з) = р (е) Ь (з) позволяют записать его в форме а (э) и + !) (В) о = р (з) ) (э).
Ясно, что индекс пары (а(э), () (з)) в точности равен индексу ис- ходной пары, и мы попытаемся подобрать множитель р (з) так, чтобы а(з) и () (е) были граничными значениями действительной и мнимой частей аналитичсской в круге функции а(х, у)+!() (х, у). Посмотрим, можно ли подобрать множитель так, чтобы функция а+(р не имела нулей внутри круга. Будем сразу искать эту функцию в виде а(х, у)+(р(х, у) =ее<" и>+!а! У1, где р+(д— аналитическая в единичном круге функция. (Легко видеть, что ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА В КРУГЕ зоз представление в таком виде функции сс+ ср эквивалентно требованию, чтобы эта функция не имела нулей, но нам нет надобности на этой эквивалентности останавливаться.) Из равенства модулей в представлении функции а+ с[) получаем е»(" и((г = р (з) )~ а' (з) + Ь' (з) .
(1) Следовательно а (г) + (Ь (г) (2) )"г()+Ьг() ' Задача, таким образом, состоит в том, чтобы найти функции р (э), р(х, у) и д(х, у), удовлетворяющие соотношениям (1), (2). Мы будем сначала искать у(х, у), затем р(х, у) как сопряженную с ней функцию. И, наконец, из равенства (1) определится р(з). Итак, попробуем найти с)(х, у). Из определения индекса )У пары (а(з), 6(э)) видно, что при движении точки по единичной окружности против часовой стрелки после обхода всей окружности вектор — ' — обойдет окружность М раз. Следовательно, а (г) + (Ь (г) Ь»аг (г) ! (а (г) у(х, у) !г (это просто аргумент указанного вектора) получит приращение 2лМ. Тем самым, при )У~О с)(х, у) даже на границе круга не является однозначной функцией, и наше построение функции сс(х, у)+(р(х, у) незаконно. Чтобы построить функцию сс(х, у)+с[)(х, у), нам придется отказаться от требования, чтобы у этой функции внутри круга не было нулей и полюсов.
Заметим, что аналитическая функция (х+(у)У при обходе аргументом единичной окружности тоже увеличивает свой аргумент на 2лй(. Следовательно, после того, как аргумент е изменится от О до 2л, аргумент функции а (г) + (Ь (г) ! а (г) + гЬ (г) ) аг(г)+ Ь'(г) (х+(у) !(гг+аг=! )»а'+ Ьг саг Мг+(г(п (гг возвращается к первоначальному значению. Поэтому этот аргумент определяется однозначно. Приняв эти значения аргумента за граничные значения функции с)(х, у), построим внутри круга аналитическую функцию р (х, у)+(с) (х, у). Построение аналитической функции по граничным значениям ее мнимой части полностью аналогично восстановлению аналитической функции по граиичнылс значениям ее действительной части, так как — с (р+сс)) = = с) — ср. Произвольную постоянную действительной части р фиксируем каким-либо определенным образом. Тем самым мы построили аналитическую внутри круга функцию еа( г(+'г(г гг, которую мы обозначим сха(х, у)+срг(х, у).
На границе круга [ссг(х, у)+(рг(х, у)1г=е»(г а(+сг(" г!)г= („„! а ( )+гЬ (г) ! гтг!»сРй».|-н»'.' 304 (гл. Ри УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Следовательно, функция а(х, у)+(р(х, у) =[а,(х, у)+(йа(х, у))(х+(у)н а (э) + )Ь (ю) иа границе круга равна еа(' м! Множитель р(5) = ~Г ' Уа (.)+ Ь (.) . аа(" "'(Г называется регулярмзирую14(им множителем.
'г' гР (О+ Ь2 (х) При достаточно гладких функциях п (5) и Ь (5) функция а,(х, у)+1)),(х, у) будет дважды непрерывно дифференцируел1ой вплоть до границы. (Из рассмотрения способа построения функ- ций р(х, у)+и)(х, у) в () 2 видно, что для этого достаточно, чтобы а(5) и Ь(5) были четырежды непрерывно дифференцируемы.) Приступим к доказательству сформулированной выше теоремы.
Пусть й('= О. В этом случае построенная аналитическая функ- ция сс(х, у)+1р(х, у) имеет внутрн круга единственный нуль порядка Л) в начале координат. Построим аналитическую в круге и непрерывную вплоть до границы функцию () (х, у)+Ю(х, у) по граничным значениям ее действительной части: Р (5) ) (8) (l (С05 5, 51П5) = Тогда функция и(х, у)+1о(х, у) =(а+1р) (()+()г) является иско- мой функцией. Действительно, она по построению аналитична в круге и непрерывна вплоть до границы. Кроме того, она удов- летворяет граничному условию.
Действительно, аи+ра( К а(х, у)+на(х, у) ) () ( ) . Р( ) ((~) м'+Р' '(г а(х, у)+(й(х, у) )г ' ' " а'-(э)+(Р(ГГ Следовательно, аи+ро~г=р(5)((5). Существование решения прн 1)('~ О доказано. Исследуем теперь вопрос о его единственности (а точнее, о степени неедннственности). Ясно, что решение задачи Гильберта (как и решение любой линейной задачи) определяется с точностью до произвольного решения однородной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
