С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ясно, что выбором достаточно большого положительного а можно добиться положительности наклонов характеристик дх' —, =а+/гь ит Рассмотрим систему с положительным наклоном характеристик внутри некоторого достаточно большого прямоугольника, содержащего характеристический треугольник (рис. 55). Если система не была определена в этом прямоугольнике всюду, то мы ее доопределим, про- Хороютристиихххии трвухольи и должив коэффициенты и правые части произвольным достаточно гладким образом.
Продолжим также начальные данные на все основание этого и Л х прямоугольника. Так как систему мы предполагаем с положительными Аь Рис 55. то граничные условия нужно для нее задавать только на левой границе. Зададим их опять-таки произвольно достаточно гладкими и согласованными с начальными данными. (В качестве граничных условий могут быть заданы зна. чения всех неизвестных функций и, на левой границе.) ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ П У такой расширенной задачи по доказанной теореме будет существовать решение. В частности, оно будет существовать и внутри характеристического треугольника.
По теореме единственности решение внутри этого треугольника не зависит от нашего произвола в продолжении уравнений, начальных и граничных условий. В нашем доказательстве мы не сформулировали аккуратно предположений относительно коэффициентов и начальных данных (из которых следовала бы возможность их гладкого продолжения) и не дали точного описания такого продолжения.
Мы не будем останавливаться на этих тонкостях. Этими замечаниями мы закончим наше обсуждение теоремы существования. Глава !!/ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА $ 21. Свойства гармонических функций В этом параграфе мы начнем подробное исследование решений простейшего эллиптического уравнения — уравнения Лапласа даи дзи — у+ з.=-О. С этим уравнением мы уже встречались во вводной дхв дуг ' части курса.
Остановимся сначала на инвариантности уравнения Лапласа относительно некоторых преобразований плоскости независимых переменных х, у. Такими преобразованиями являются произвольнь.е нсвырожденные конформные преобразования х=х1й, т1), у=у1й т)). Условие конформности (как известно из теории функций комплексного переменного) записывается в виде уравнений Коши — Римана дх ду дс дч ' дх ду дч= дй Невырожденность преобразования эквивалентна неравенству дх дх Жд-и ду ду дч дя ч~ О.
Налз будет удобно пользоваться не самими условнялш Коши— Инвариантность уравнения Лапласа и интеграла Дирихле относительно конформных преобразований плоскости. Две теоремы о среднем арифметическолг для гармонических функций. Следствие — оценка гармонической функции в центре круга через интеграл ее квадрата. Из сходимости последовательности гармонических функций в среднем вытекает равномерная сходимость в некоторой подобласти. Решение задачи Дирихле в круге бесконечно днфференцируемо во всех внутренних точках.
Оценка его производных в центре круга. Теорема Гарнака о равномерной сходимостн и о гармоничности претела. Сходимость производных во внутренних точках. Неравенство Гарнака для неотрицательных гармонических функций. Теорема Лнувил.тя. Усиленный принцип максимума. Теорема о разрывной мажоранте Устранимые особенности. 288 ~гл н1 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Римана, а легко вытекающими из них тремя группами равенств дх дх дб ду дч ду ' дч (д=) + ~д ) (д ) [~дб) + ~~д ) ]+ дхд [дЬдЦ+ д11дн1 +(Ф)'[(Ф)'+ д)'1 = [Сй)'+'~-;д дх дх йз ди ду ду Уи дч Уи д2и (дхоти д~и дх ду д~и ~ду1х ди Ух ди Уу д82 дхг ~Я) + дхдудх д~ + ду'~дб,l + дхдь2+ дуд$~' дх дх дэ ди ду ду дй дч д'и д'и 1д'и д-'и'~ д$' + дц- '~,дх' + дуи! д'и дэи — „+--.,=О и Последнее из ннк показывает, что Уи д-'и , —, + -, =О эквивалентны.
Проинтегрируем равенство утверждения дх дч ду дч 4)'+ (й)'= [~й)'+(й)'1 ~„' дз по некоторой области т на плоскости $, тр дх дх дз дч ду ду Ж дч 11. дхду+ дх ду О дэ йэ дч дч П1. д'х дэх д~у д~у д$"- дни д$1 дп1 —,+ — =О, — + — =О. Какова бы ни была достаточно гладкая функция и(х, у), мы можем для нее получить следующие равенства: ди ди дх ди ду + дэ дхда ду д$ ' ди ди дх ди ду дЧ дхди дуди' 270 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА !гл. н! Для доказательства первого утверждения достаточно переписать формулу Пуассона для круга с центром в точке (х„у,): и (х, + р соз а, у, + р з (и са) = ! Г" яа ра = — и(хо+Й соз Ч» Уо+Рз!п Ч>) а !АР а и положить р=О.
Вторую форму теоремы о среднем арифметическом легко вывести из первой. Действительно, прн любом г (О =г ~)л) ! и (х„у,) = — ~ и (х, + г соз 1р, у, + г з ! и ар) дар. а Умножим обе части этого равенства на гдг и проинтегрируем по г от О до )а! и(Ха, У„) ~ ГПГ= — Е! ) и(ХО+ГСОЗ1Р, Уа+ГЗГПЧ)Г "Г ГУ. ! Г о а Отсюда ) (и(х, у) ехеу К и (л'а уо) = )7а 2Л С л е д с т в и е !. При гпех же предпололкениях ;и(х„у,), (=.! Г ! ! иа(л, у) е(х ду. !' Лй!l ) 1 Доказательство следует из второй формы только что доказанной теоремы: ! Г 1 ,и(Х,, у,)1= — а ) Е! и(Х, у) дла(у а.== —, '! ~ , 'и(Х, у) 1)ХЕ)у К и из неравенства Коши — Буняковского: ~ ~ ! и (х, у)' ,е(х ду ( ~ Г) ~ и' (х, у) е(х а(у )/ ~ ~ ! ' 1(х ду = к к к = ) пгаа 1/ ~ ~ и'(х, у) а(хе(у. к Будем обозначать посредством ба множество точек области 6, удаленных от ее границы больше, чем на 6,= О.
27! э и! свойствл ГАРмонических Функции С л е д с т в и е 2. Последовательность (и„(х, у)) гармонических в 6 функций, сходящихся в 6 в среднем, в каждой внутренней подобласти 6ь сходится равномерно. Это утверждение следует из того, что тах (и„(х, у) — и (х, у) ~(=1/ ~ ~ (и„— и,„)'йхйу, ол е>яоь ' У' алб р ~о так как любой круг радиуса б с центром в 6ь принадлежит полностью 6 (разность и„— и также гармонична). Оказывается, что гармоническая функция внутри круга может быть сколько угодно раз продифференцирована, если она на всем круге непрерывна и ограничена.
Для доказательства этого факта заметим, что дл Г ггггФ ) Л! КЕ'Ф(л '" ее лу ~ )(г Ф вЂ” (х+ у) ! (рг Ф вЂ” (х+ (Е))л и что !йе'Ф вЂ” (х+(у)!~)»' — р'х'~у', Последнее становится очевидным, если на комплексной плоскости рассмотреть треугольник со следующими вершинами: Пе'Ф, х+!у и начало координат. Отсюда ! ль )грФ 1 л! )( йг и дул- л )герат (х (О) ~ ()( — ) 22 ! Е2)л~~ Аналогично д' ЙЕ !Ф и! )1 дх'" дул '")~>е св — (х — (у) ~ (И вЂ” ) хг+Ег)"' Существование, ограниченность н непрерывность всех этих производных делают законным формальное дифференцирование внутри круга х'-1-уе =-=-.
г'( П' формулы Пуассона ел ял ! (' /(<Г) йе'Ф Йр ! (' ) (Ф) йе гевт 2л,) ( р) р и 2л 1 леьг — (х+ (О) 2л,) )1е гч — (х — (О) О О Н по параметрам х, у любое конечное число раз. (Непрерывность и-х производных вытекает пз ограниченност!! !г-)-1-х). Для производных получаем оценку (н ) О): 1,' — ':-",',--"' ~=-( —,Р—.'='-~; —" Через )И мы обозначили !пах !) (ф) ! = гпах, и Ю соэ 7 )» з(п 'Р) ~.
В центре круга, т. е. при х=у=О л ли свопствх ГАРмОнических Функция сходится равномерно вместе с производными любого фиксированного порядка. Пределом втой последовательности является гармоническая функция и (х, у), а пределом последовательноспмй производных — соответствуюи(ие производные от и. Это утверждение вытекает из доказанной теоремы Гарнака и второго следствия теоремы о среднем арифметическом.
Выведем из формулы Пуассона изящное неравенство Гарнака для неотрицательных гармонических функций. Неравенство Гарнака. Пусть и(х, у))0 гармонична (и непРеРывна вплоть до гРаницы) внУтРи кРУга (х — х )'+ (У вЂ” Уь)5( (Гт'. Тогда она удовлетворяет неравенству (О ( р(Р) к — р и- и(хь Уо)~и(то+Рсоза, Уо+Редпа)~р— и(хо Уо) к+р Для доказательства воспользуемся неравенством р р )Ч рь й2 рь /52 рь у+р л+р (л-ср)2 )('+р' — 2)(рсолол (й — р)ь к — р и формулой Пуассона и (Хь+Р СО5 а Уь+Р51П а) =- 1 (л и (хь+ Й соз 1Р, Уь+ Я 51п <Р),, й1Р )и рл ь Пользуясь еще неотрицательностью и (х, + )т сов 1р, у, + )с 51п 1р) = =)(1р), мы имеем — — ~ ) (1Р) й1Р - и (хь+ Р соз а Уь + Р 51п а) ллл — ~ ),1Р) й1Р.
По теореме о среднем арифметическом лл Неравенство Гарнака доказано. Докажем теперь одну заллечательную теорему о гармонических функциях, определенных во всех точках плоскости (х, у). Теорема Лиувилля. Гар.ионическая на всей плоскости функция и(х, у) не может быть ограниченной сверху или снизу, если она не постоянна, Доказательство. Если и(х, у) ограничена сверху, то — и (х, у) ограничена снизу.
Поэтому достаточно рассмотреть случай гармонической функции и (х, у), которая всюду больше некоторого числа М. Более того, можно считать, что М =О. Действительно, и(х, у) — М)0, а разность и — М гармонична. Итак, предпола- 274 эглвнаниа лкпллсл [гл гп гая существование гармонической во всей плоскости неотрицательной функции и(х, у), мы докажем, что эта функция постоянна. Воспользуемся нер авенством Га ривка (О ( р ( Р): — ~ и (О, 0) < и (р соз а, р з! и и) ( — Р и (О, 0). Р+р Я вЂ” р Если функция и(х, у) гармонична во всей плоскости (и)0), то, фиксирован произвольное р) 0 и неограниченно увеличивая Р, мы получим и (О, 0) == и (р соз а, р гйп а) ~ и (О, 0), и(р сова, рз(па) — = и(0, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
