С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 46
Текст из файла (страница 46)
5 '(4' 5г Если бы мы имели обоснование разрешимости задачи Дирпхле и принципа Дирнхле для односвязных областей 6," () 6',"() 6,"'() 0 ()г () ()з' 6г' О 6г' 0 Рз1 6з 0 6г" 0 6г" 0 6!' 0 уг () у, () уз, то имели бы право перенести эти утверждения н на неодносвязную область 6,()6,()6,. Ясно, что приведенное сейчас рассуждение является общим.
Мы не будем на нем подробнее останавливаться и, доказав в дальнейшем выполнение принципа Дирихле для односвязных многоугольников, не будем при исследовании эту односвязность оговаривать. Перенесение доказанных фактов с односвязных на многосвязные многоугольники проводится по разобранной на этом примере схеме путем разрезания на односвязные части, 10 296 [ГЛ 111 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Сейчас мы опишем и докажем одно очень простое и удобное геометрическое условие, из которого следует вь1полнение критерия Шварца.
Пусть внутри области 6, можно выделить подобласть 6.',", ограниченную двумя дугами окружностей, пересекающихся в точках А, В, лежащих на границе 6, так, что дуги р, у оказываются по разные стороны от луночки АВ. А На рис. бО изображены несколько допустимых для нас йт е г й Е вариантов расположений луночки 6,'"' внутри области 6,.
Дуги окружностей, ограничивающих луночку, мы предполагаем не совпадающил1и. На рис. 61 изображена область, в которую луночку поместить нельзя, так как дуги р н у касаются между и'кув ь" Рис. 60. Рис. 61. собой в точках Р, Я. Оказывается, что если в 6, описанным выше образом можно поместить луночку, п1о критерий Шварца вьиголнен. Сейчас мы это докажем. Пусть нам известно, что некоторая непрерывная гармоническая функция и(х, у) равна нулю на а()о и не превышает по модулю 1 на у. Тогда по принцицу максимума она не превышает по модулю 1 на дуге окружности, ограничивающей луночку справа (см. рис.
61). Если удастся показать, что абсолютная величина этой функции не больше некоторого 8(8(1) на левой дуге, ограничивающей луночку, то из принципа максимума без труда выведем, что и на р такое неравенство имеет место. Достаточно построить гармоническую функцию 1в(х, у), равную 1 на правой дуге и неотрицательную на остальной части границы области 6,() 6о'() 6',", чтобы из принципа максимума вывести неравенство (и(х, у) )~со(х, у), (х, у) ен 6л.
297 МЕТОД ШВАРЦА Если при этом окажется, что на левой дуге, ограничивающей луночку, ш(В, то нужное нам утверждение будет доказано. Гармоническую функцию — мажоранту ш (х, у) — мы построим так, чтобы она была однозначна на плоскости с разрезом вдоль правой дуги нашей луночки, равнялась 1 на этой дуге слева от разреза и нулю справа от него.
Эту функцию нам удастся построить постоянной вдоль каждой дуги той или иной окружности, проходящей через точки А, В. Для этого достаточно воспользоваться гармоничностью функции иА у уа и (х, у) = и (Агс(и —" — Агс1и ~+ Ь "— хА , „) и подобрать постоянные а, Ь и ветви арктангенса так, чтобы удовлетворить поставленным условиям. Гармоничностью этой функции мы пользовались еще во вводной главе при выводе формулы Пуассона для решения задачи Дирихле в круге. На левой границе луночки наша ш, очевидно, принимает некоторое положи.
тельное, меньшее 1, значение В. Правда, использовать функцию ш (х, у) в качестве мажоранты на основе прос1ейшего принципа максимума нельзя, так как она разрывна в точках А, В, лежащих на границе 6. Однако она ограничена, что позволяет использовать лемму о разрывной мажоранте 8 21). На э1ом заканчиваются рассуждения, доказывающие, что из равенства и (х, у) =О на а() о и неравенства ~и~ ( 1 иа у следует неравенство ~ и,' =. В на и Проверка первой половины критерия Шварца закончена. 8 В~орая половина проверяется л совершенно аналогично.
р Сейчас мы покажем, как использование критерия луночки позволяет легко убедиться в разрешимости зада- Рис. 62. чи Дирихле и в выполнении принципа Дирихле для любого многоугольника. Как уже было отмечено, мы ограничимся односвязными многоугольниками. Пусть некоторый многоугольник можно отрезком прямой АВ, лежащим целиком внутри многоугольника, разрезать на две части АРВ и ВЯА (рис. 62), для каждой из которых справедливость доказываемого утверждения уже установлена, Для краткости мы будем утверждение о разрешимости задачи Дирихле и о выполнении принципа Дирихле называть утверждением О. 298 [гл. Рп УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Окружим отрезок АВ некоторой луночкой, лежащей целиком внутри многоугольника. Как было показано в предыдущем параграфе, для луночки АгВэ утверждение Р справедливо.
С помощью нашего геометрического критерия легко проверить справедливость Р для области АРВЕА, состоящей из многоугольника АРВ, дополненного заштрихованной частью луночки. Из справедливости П для АРВУА и для ВЯА уже нетрудно вывести, опять-таки с помощью условия луночки, справедливость 0 для АРФ~А. Любой односвязный многоугольник можно разрезать прямолинейными отрезками на треугольники так, что каждое сечение увеличивает число раздельно лежащих областей.
Поэтому достаточно ограничиться проверкой справедливости 0 для треугольников и даже для прямоугольных треугольников (любой из треугольников может быть рассечен на два прямоугольных одной из своих вы- сот). На рис. 63 изображено, как В прямоугольный треугольник АВС Ц, разрезается на три области 6„ 6„ Г 6, дугами АЕ, АР окружностей, Б' проходящих через точку А, центры которых помещены в вершины ост- 6, рых углов С и В.
А Очевидно, что и здесь условие луночки выполнено. Поэтому достаточно уметь проверять справедливость утверждения Й лишь для круговых секторов САВ, ВАР. В конце прошлого параграфа была доказана разрешимость задачи Дирихле и вътолнеиие принципа Дирихле для любых секторов. На этом мы заканчиваем описание схемы доказательства того, что по любой непрерывной функции, заданной на границе произвольного многоугольника с конечным числом сторон, внутри этого многоугольника может быть построена гармоническая функция, непрерывная вплоть до границы и там совпадающая с заданной. Если это гармоническое продолжение граничной функции внутрь многоугольника имеет бесконечный интеграл Дирихле, то не существует какого-либо продолжения этой граничной функции внутрь с конечным интегралом Дирихле. Если же интеграл Дирихле гармонического продолжения конечен, то для любого другого продолжения он строго больше или бесконечен.
Эти утверждения составляют содержание принципа Дирихле для многоугольных областей. Теперь он нами обоснован, так же как и разрешимость для этих областей задачи Дирихле при любой непрерывной граничной функции. 999 ЭАдАчА ГильвеРТА В кРуГе $ 24. Задача Гильберта для уравнений Коши — Римана в круге Постановка и примеры. Индекс граничного условия.
Нормировка (регуляризация) граничного условия в задаче Гильберта. Теорема существования решения в случае неотрицательного индекса граничного условия. Исследование неединствепности прн положительном или нулевом индексе граничных условий. Единственность и условия разрешимости прн отрицательнои индексе. Задача с косой производной и ее сведение к задаче Гильберта. Задача Неймана. Индекс задачи и индекс граничных условий.
Понятие об индексе для системы линейных алгебраических уравнений. Мы довольно подробно изучили задачу Дирихле для уравнения Лапласа, как пример типичной задачи, решаемой для уравнений эллиптического типа. В этом параграфе будет разобран несколько более сложный пример задачи Гильберта для уравнений Коши — Римана. При изучении задачи Гильберта мы ограничимся только простейшей односвязной областью — кругом. Основные факты, которые мы для этой задачи установиьк могут быть получены также для любой односвязной обтасти с достаточно гладкой границей. Более того, онп могут быть получены нз теорем, доказанных для круга, с помощью конформного преобразования. Мы не можем в нашем курсе на таком перенесении останавливаться, так как в нашем распоряжении нет тех тонких теорем о граничных свойствах конформных преобразований, которые для этого перенесения нужны. Задача Гильберта в единичном круге ха+уз(! ставится так.
Надо пайп>и решение и (х, у), о(х, у), непрерывное вплоть до границы Г (х'+уз= 1), уравнений Коши — Римана и„— о„=О, ив+о,=О, удовлетворяюгцее на границе граничному условию а (з) и+Ь (х) о=1(з). Коэффициенты а (л), Ь (з) предполагаются достаточно гладкими функциями длины дуги в единичной окружности; функция Г(х)— тоже достаточно гладкая, а'(з)+ Ь'(з) ) О. Изучение задачи Гильберта начнем с разбора двух типичных примеров. П ример 1. Пусть а(з) =1, Ь(л) =О, и ~г=г(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
