С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Доказательство этой леммы мы проведем для области, в которой ф!(х, у) непрерывно дифференцируема вплоть до границы. В случае кусочной гладкости область 6 может быть разбита на конечную сумму областей 6„6„...6„, для каждой из которых это предположение выполнено. Доказав интересующее нас тождество для 6„6„..., б„а затем сложив их, мы получим тождество для 6. При этом интегралы по внутренним к 6 участкам границ 6„..., 6, уничтожатся, так как для двух соседних подобластей внешние нормали, а следовательно, и —, дя ' отличаются лишь знаками, функции же ф„входящие в граничные интегралы,— непрерывны. Внутри подобласти 6!, где ф!, !р, имеют непрерывными соответственно первые и вторые производ- 283 ВАРИАЦИОИИЫП ПРИИЦИП ДИРИХЛЕ 2 221 в правой части которого последний интеграл равен нулю, а пред- последний неотрицателен, сразу позволяет заключить, что О» (у) О» (ин).
Как мы огмечали, отсюда следует неравенство О» (и) ( О» (д). Мы доказали, что если для некоторых граничных значений г (~р) существует непрерывное и кусочно гладкое продолжение д(р, <р) внутрь круга, обладающее конечным ин2»егралол2 Дирихле, то гармоническая функция и (р, ~р), отвечающая тем же граничным значениям, будет также иметь конечный интеграл Дирихле, не превышающий О» (8).
В частности, отсюда следует, что граничная функция Адамара яп (льр) л= ! не имеет продолжения д(р, ~р) внутрь круга 0(р(Д (д(Д, ~р)= — -Г(~р)) с конечным 0»(д). Доказанное нами сейчас экстремальное свойство гармонических функций носит название вариационного принципа Дирихле. Мы его доказали в случае, когда гармонические функции рассматриваются в круте.
На самом деле аналогичный принцип справедлив для очень широкого класса областей. Мы этот класс в дальнейшем опишем, а сейчас остановимся на несколько более развернутом описании идеи вариационного подхода. Рассмотрим какую-либо ограниченную область на плоскости, на границе которой задана непрерывная функция г'(в). Возьмем внутри этой области гладкие функции и(х, у), принимающие граничные значения Г" (в), и для каждой из них вычислим интеграл Дирихле 0(")= ~) ~'й ) +'~,) ~ "хйу. 'о В основе вариационного подхода лежит утверждение, что минимальное значение 0(и) принимается на гармонической функции, решающей задачу Дирихле. Ясно, что 0(и) )О, и поэтому для значений этого функционала существует нижняя грань.
Пусть эта нижняя грань достигается на гладкой функции и(х, у). Как известно из вариационного исчисления, и(х, у) тогда должна удовлетворять уравнению 284 !гл гп уРАанение ллпллсА Эйлера йх ~~~'"+ ~Р~„1+,эоу!~~1+ ий~лу1 О или, что то же самое, и„,.+и„„=О 1 (О~г(64), !ив 6 (бэ ( г(6), 1п— б О (6<г), иь(г 'р) = — уравнению Лапласа. Идея этого вариационного подхода к уравнению Лапласа была впервые высказана Гауссом. Дирихле излагал этот подход на своих лекциях, одним из слушателей которых был Риман. Риман развил эту теорию н под названием принципа Дирнхле положил ее в основу своей геометрической теории функций комплексного переменного.
Эта работа произвела большое впечатление на математиков того времени. Но через 18 лет Вейерштрасс показал, что утверждения, положенные в основу вариационной теории, неубедительны. Дело в том, что из рассуждений Римана не следовало существование функции и (х, у), на которой достигается нижняя грань ):1 (и). Риман не сумел найти ответ на критику Вейерштрасса. Только через 32 года Гильберт сумел построить корректное обоснование принципа Дирихле. Так как идеология вариационных методов имеет чрезвычайно важные и многочисленные приложения, мы не можем обойти ее стороной.
Начнем наше обсуждение с пояснений критики Вейерштрасса. Разберем ~рил1ер вариационной задачи, для которой не существует функции, дающей минимум функционала 0(и). Пусть и=О на границе круга х'+у'=1. Потребуем еще, чтобы и (О, О) = 1. Рассмотрим всевозможные кусочно гладкие функции и (х, у), удовлезворяющие сформулированным ограничениям, и для каждой из них вычислим интеграл Дирихле ьг(и). Постараемся оценить нижнюю грань 0 (и).
Для этого введем полярные координаты х=г сох~, у=гз)п ~р и определим функции и;(г, гр) (О (6 (1) равенством 285 влиилцноннын пиинцип дигихлв $22! Вычислим Р,(иь): ги ! ! 2и — ге(г= —. гь ! 3 !и-- Ясно, что 0(иь) — 0 при 6-ь О. Очевидно, что иь(х, у) ~,.+„. ! =О, иь(0, 0)=1, т. е. иь(х, у) допустимы в нашей задаче. С другой стороны, мы показали, что О(и,)- 0 при 6-ь О.
Отсюда ясно, что 1п10 (и) ==. 1п10(иь) =О. Из неотрицательности 0(и) вытекает равенство 1п1 0 (и) = О. Однако ни на одной допустимой функции эта нижняя грань не достигается. В самом деле, если 0(и)= ~1 !М~й ) +Ы!йхйу=О и! д (! то и=сонэ!, но постоянная не может принимазь различных значений в центре круга и на окружности. Тот же самый пример последовательности функций (иь) 6 = ! ! ! — — может играть еще одну роль. Он представ- 2' 3' ''' и'''' лает собой интересный пример последовательности функций, принимающих на границе круга нулевые значения н имеющих интеграл Дирихле, стремящийся к нулю.
Замечательно, что сами эти функции к нулю равномерно не сходятся, несмотря на то, что функция и(х, у) =0 является здесь экстремальной. Мы видим, что даже в случае, когда экстре иальная функция существует, минимизирующая последовательносп!ь может к ней не сходиться. Есть еше одна трудность в вариационном подходе к задаче Дирихле. Выше был построен пример непрерывной на границе круга функции, которая не может быть продолжена внутрь круга так, чтобы иметь там конечный интеграл Дирихле (пример Адамара). Ясно, что для граничной функции Адамара нельзя решать задачу Дирихле с помощью вариационного прцнципа, Поэтому мы накладываем на граничную !".(!Е) следующее ограничение: существует в области О непрерывная вплоть до границы, гладкая, ВАРИАЦИОИИЫН ПРИНЦИП ДИРИХЛВ Нз доказанного равенства и из неравенства ! ! ! вытекает, что й( — й+ -д — — 0а(и — о).
Отсюда 2 2 4 0о (и — о) =-~ ~ [(и„— о„)»+(ив — ов)») йхйу О. Таким образом, и — о=сонэ!. На границе и — о=О. Равенство и — о=О всюду в 6 доказано. Применение этой чеоремы единственности экстремальной функции к случаю круговой области завершает для этой обласги обоснование принципа Дирихле. Повторим формулировку принципа в этом случае: Если !'(»р) — непрерывная функция, допускающая хотя бы одно непрерывное кусочно гладкое продолжение у(Р, ср) (д(р, гр) =!" (!Р)) внутрь круга О==о=!с с конечным интегралом Дирихле 0я(у), пю существует среди таких продолжений единственное гладкое продолжение и(о, гр) такое, что 0о(и) =й, где й — нижняя рань интегралов Дирихле для таких продолжена!!.
Лродоллсение и (о, !Р) чв,гнется гармонической в кЧэуге функцией, решающей задачу Дирихле Ж, Р) =1(ч) В предь!душем параграфе иы показали, что уравнение Лапласа н интеграл Дирихле инвариантны относительно обратимых конформных преобразований х=х5, ц), В=»(х, у), у= — у(», !)), !!=т)(х, у) независил!Ых переменных. Отсюда вытекает, что если некоторая замкнутая область 6+Г л!ожет быть непрерывно и конформно отображена на круг, то мы можем ручаться, что задаю Дирихле с непрерывными гра- ~~-=ъ, ничнымн значениями для области разрешима. В частности, отсюда вы- Рис. 66. текает разрешимость задачи Дирихле для областей, изображенных на рнс. 56, т.
е. для кругового сектора или для луночек, ограниченных дугами окружностей. В теории функций комплексного переменного приводятся простые формулы для озображений этих областей на единичный круг. уРАВнение лАт|л»сА 1гл ти Для всех этих областей справедлив и принцип Дирихле. Действительно, пусть à — граница 6, и(г=[. Покажем, что .Оо (и) ==. Ро (д), где д — какая угодно кусочно гладкая функция, определенная в 6 и принимающая те же самые граничные значения, что и и(х, у) (д(г=Г). Пусть равенства х=х($, т)), у=у(й, ч) определяют конформное отображение круга К (ст + т)' ==- 1) на 6.
При этом и[»(Е, т)), у($, т))] — гармоническая функция от $, т), и т +я*=~ =т[х(е, т)), у(е, т))]. Очевидно, что функция у(3, т)) = = д[х(Е, т)), у($, т))] принимает на окружности В»+ т1' =1 те же граничные значения, что и и [»($, т)), у($, т))]. В силу инвариант- ности интеграла Дирихле Ро(и) =0» (и[»(Е, т)), уД, т))][, Оо(д) =О» (д[х(с, т1), у(с, т)Ц), а в силу принципа Дирихле для круга 0»(у[х(с, т1), у(с, т))]) ==О» (и[х(Ч, т1), у(";, т1)][. Поэтому Оо(д) )Оо(и). Наше доказательство единственности экстремальной функции годится для произвольных областей, в том числе и для рассматриваемых сейчас.
Мы заканчиваем на этом обоснование принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для всех областей, которые элементарными конформными преобразованиями могут быть непрерывно (вместе с границей) отображены на круг. В частности, принцип Дирихле и разрешимость задачи Дирихле обоснованы для сектора и луночек, изображенных на рис. 56. В следующем параграфе будет изучен альтерннрующий метод Шварца, с помощью которого нам удастся распространить теоремы о разрешимости задачи Дирихле и о поименимости принципа Дирихле на любые многоугольники.
Если воспользоваться теоремой о том, что всякую односвязную область со спрямляемой границей, содерм ащей не менее двух точек, можно непрерывно и конформно отобразить на круг, то после некоторого уточнения формулировок нетрудно обосновать разрешимость задачи Дирихле и принцип Дирихле. Однако мы не будем пользоваться этой теоремой о конформных отображениях, так как ее доказательство в аккуратной формулировке, которая нас бы удовлетворяла, совсем не так просто. метод шВАРцА $23. Метод Шварца 289 Альтернирующий метод Шварца доказательства существования решения задачи Дирихле для составных областей. Критерий Шварца.
Формулировка теоремы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования принципа Дирихле. Пример получения теоремы существования решения задачи Дирихле н принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Проверка критерия Шварца с помощью геометрического «условия луночким Схема доказательства принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для любых многоугольных областей. В этом параграфе будет рассмотрен альтернирующий метод Шварца решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в составных областях. Предположим, что область 6 разбивается на три части 6„ 6„ 6, так, как это показано на рис. 57. Обозначим теоретико-множественную сумму областей 6, и 6, вместе с их общей границей р через 6,, Аналогично обозначим 6ещ = 6, О 11 6в11 у, где 11 означает знак объединения. Граница области А 6,, состоит из дуг а, у и о.
Предположим, что для частичных областей 6,, и 6вв разрешима задача Дирихле с любы- а бг у' з й ми непрерывными граничными значениями. Нашей целью о будет формулировка условия на области 6„6,, 6ю Рис. 57. при котором из разрешимости задачи Дирихле для частичных областей 6,, и 6а в будет вытекать ее разрешимость для всей области 6. Сначала мы сфорьулируем этот критерий в той форме, в какой он нужен для проведения доказательства существования, но из которой, на первый взгляд, совсем не видно эффективного способа и роверки, выполнен ли он для конкретно заданных геометрически областей. В дальнейшем будут указаны простые геометрически наглядные достаточные условия выполнения нашего критерия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
