С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сейчас будет описан некоторый способ задания начальных данных нз последовательности сеток, шаги которых И стремятся к нулю. Этот способ обеспечивает равномерную (для всех таких сеток) ограниченность выписанных квадратичных форм от разностных отношении. Зададим в качестве начальных данных и(х, у, 0)=гр(х, у) некоторую гладкую гр(х, у), определенную в полосе 0(х-=.1 и равную нулю при достаточно больших у: гр(х, у) = О, если )у~ )- )'. 1 Сеточные начальные данные мы будем определять как значения гр(х, у) в соответствующих точках той или иной сетки.
Для упрощения доказательств мы предположим, что на ср(х, у), дополнительно наложено еще одно ограничение: гр(х, у) =О, если 0к($, либо если 1 — $(х(1, где $) 0 — произвольный параметр. Тем самым мы предполагаем, что гр(х, у) отлично от нуля только в конечной части полосы 0 е=-. х =--.1, нигде не примыкающей к границам этой полосы. Вместо этого, на первый взгляд очень жесткого ограничения, можно было бы ограничиться требованием, чтобы гр(х, у) удовлетворяло граничным условиям дифференциальной системы уравнений, полученной в 2 16 в качестве расширения исходной, т.
е. условиям согласования начальных данных и граничных условий. 248 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ !1 При достаточно мелкой сетке, в 1 — $(х~1 попадает больше пяти х=О, х= х=й, х= х= 26, х= х= Зй, х= х=46, х= каждую из полосок 0(х($, приграничных сеточных слоев, 1 — 6, 1 — 26, 1 — Зй, 1 — 46, [ 2,' 2, (АЗ, ЕЗ'] через Х1(АЗР, Зу) ', ХХ(А ла, ь— ) ', ..., ХХ(А л, З ) ' ..., у',(вф, вф~й„ которые только и используются при определении значений раз- ностного решения и(х, у, 1) в точках ( х=О, й, 1' х=1, 1 — 6, 1=0, т, 2т, Зт, ( 1=0, т, 2т, Зт. Поэтому эти значения будут нулями, а следовательно, равны нулю при х=О, 1 и при 1=0 разностные отношения Ац Аи цЗц йЗи й2и азц 12у' Оу ' ауд~' АН' 2цз' ДЗи ДЗц ДЗц а22 Ау ' А2,22у2 ' АуЗ ' и пропорциональные им значения всех компонент вектора й на- чальных данных нашей расширенной диссипативной разностной системы.
Тем самым наш способ задания начальных данных обес- печивает автоматическое выполнение условий их согласования с граничными условиями у расширенной разностной системы. Ац 62и АЗц азц Азц азц При вычислении — , †.. . , --„ †, На начальном слое 1 = О с помошью разностных уравнений, мы получим их как линейные комбинации (с ограниченными матричными коэффици- ентами) значений в точках слоя 22(х, у) и разностных отношений: — — -а-~,  — т,  — т, В Ау йу2 ' Ьуз' Ах' Ах Ьу' Ах йу22 Это дает возможность оценить начальное значение 249 ОЦЕНКИ РссЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИИ $1о) В свою очередь, если у ~Р (х, у) вторые производные непрерывны, эти суммы при й-к-0 стремятся соответственно к 1+ со О+ со ) (Ачс, <Р) о(хо(у, ) ) (А д ' д ) ~(х~(ус °" о— Π— со О+со ..., ~ ~ (в — '",, в — '~)(х (у, о и, следовательно, при достаточно малых й не превышают удвоен- ных значений этих интегралов.
Применив основную теорему об оценке решений разностных уравнений, мы установим, что следующие суммы: ;5'„(Ли, и)йо,,'5', (Л вЂ” '", — 'и)й, к, у к, у к, у к, будут равномерно ограничены на отрезке времени 0(Г(Т при достаточно малых шагах й. Суммы, которые удалось оценить, содержат квадратичные формы Ли Л'и Л'и от и и от разностных отношений —, —, ..., — по у и по ( лу лу " л вплоть до третьего порядка. Чтобы оценить разностные отношения по х, мы должны, как и в дифференциальном случае, воспользо- ваться уравнениями расширенной системы. Так, из уравнений Ли Ли Ли Ли (х' У' () лс +Во лк В, л, +С(х, у, ~)=+Я(х, у, ()и=0 мы сможем выразить при х=й, 2й, ..., ( — й Ли Ли во — — — в = как 'Лк Ли Ли через значения и, †,, — .
Это позволяет оценить сумму у=+ о» к=1 — И у= — со к=и ~ис(к, у, () — ис(к — Л, у, 0 1о у= — оо к=и с=! !=ос Х ~ Г и~ (к+й,, !) — и, (х, у, 0 )о1 кс+! 250 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ, И в которую вошли все разностные отношения —, (=1, 2, ..., и„ дио за исключением следующих: и'(о У О (=и+1 и+2 и ио (д у, Π— ио (( — Ь, у, 0 ( = 1, 2, ..., и,. Напомним, что при построении разностных решений нам не требовалось определять входящие в эти отношения значения и, (О, у, 1), и; (1, у, 1). Мы их довольно произвольно доопределили, положив равными значениям этих же компонент в соседних точ- ках. Благодаря этому и~(Ь, у, Π— и; (О, у, О И ( = ио+ ° иь — Π— ! и 1=,2,...,ло, и, следовательно, д= — со к=о д= — о «=о '~ (Вф, Вф)до=хо ( — ',", В'" В результате применения изложенных соображений мы приходим к неравенству, выполненному иа каждом сеточном слое с фикси- рованным к: '~ ( — ",",, Вфй' к, д ~(~(А, )к'К~(А — ",, — ",)к'-~-~(к к', (к, д к, д к, д Аналогично, используя разностные уравнения расширенной системы, которым удовлетворяют все разностные отношения; Аи йи аки йки йои и йу ' и(к ' Пук ' д(иу ' мы сумеем оценить суммы ~ (В ~"„, В '~",)йо,',) (В д",, В '~",)йо, ...
к, д к,д /В а'~, В ьки йхй(йу ' ЬхаГау )" й !9) ОПЕНКИ РЛЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ через уже оцененные суммы квадратичных форм от разностных отношений по г и по у. Вследствие того, что В может ока- заться вырожденной, а также потому, что в наши разностные Л отношения — входит только в первой степени, эти оценки не Лх дают полной информации о всех разностных отношениях третьего порядка, а такая информация нам нужна, чтобы с ее помощью установить компактность приближенных решений и сходимость ее подпоследовательностей к дифференцируемым функциям.
Мы постараемся получить нужную нам информацию о разностЛз Лз ных отношениях... с помощью приема, который в В 16 нам помог оценить интегралы от производных и„„у, и„ы, ..., на некотором удалении от границы. Начнем опять с исходной системы Ли Ли Ли Ли А — -1- В, = — Вт = + С = -1- С (х, у, с) и = О, Л) Лх Лх Лу и так же, как мы это делали а начале этого параграфа, построим расширенную систему, которой удоалетаоряют разностные отношения: Ли Ли Л'и Лзи Л'и и, ЛГ' ЛГ' ЛВ' Луз' Лглу' Нам достаточно здесь ограничиться разностными отношениями до второго порядка. Удобно состааной вектор, векторными компонентами которого являются перечисленные сейчас разностные отношения, обозначить буквой о, клеточно Ло Ло диагональные матрицы коэффициентов при разностных отношениях —, = Лг' Лх' Ло Ло Дх' Лу — — букнами Я, Вс, Вг, С, а асе «младшие члены», содержашие компо- ненты о, но не содержзшие разностных отношений от них, обозначить черезов.
В этих обозначениях расширенная система записывается как Ло Ло Ло Ло Я вЂ” +Во= В,=+С==у. ЛГ Лх Лу Лу Как уже отмечалось нами а начале параграфа, у представляется как сумма слагаемых, каждое их которых получается как результат умножения некоторого матричного коэффициента на нектар о, взятый а одной из соседних с точкой х, у, Г точен (х, у к й, Г) (х, у +- 6, Г). Матричные коэффициенты, умножаемые на р а этом прсдстанлении, определяются матрицами коэффициентов исходной системы н их разностными отношениями. Вследствие этого у=э =г — ь у=+юх=г — л (Я ту, у) Ла сопя( р,' ~ (Яо, о) аз, у= — со к=а у — со к=» у=+со.с=а — и т (х) (Я-с =, =)ля~ у=- ° х=аа у -.= -~- сох = à — ь у=+ =.г — я к сонь( ~у 7 тс(х)' Я =, =)/из+сопя( ~~) ~~~~~ чя (х) (Яо, о) Ля а'а ( Лх ' Л.с) р = — о» к=та у — ос к Л 252 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ И при любой неотрицательной уэ (х).
Константы в этих неравенствах определяются гладкостью коэффициентов исходной системы и оцениваются через ик производные. Полезно еще заметить, что ю„юг — клеточно диагональные матрицы, клетки на диагоналик которых — это матрицы В„В1, которые диагональны, а на их диагонали стоят единицы и нули. Таким же свойством, очевидно, обладают и составные Ба, Вг.
Применив к уравнению для и, т. е. к нашей Л расширенной системе, оператор = получим уравнения Лх ' Эти уравнения имеет смысл рассматривать при произвольных у, Г в точках х=2Ь, х=ЗЬ, ..., х=1 — Ь. Теперь помножим обе части полученной системы на гладкий положительный скалярный множитель т(х), который можно внести Л Л под знак разностнык отношений —, =, и воспользовавшись элементарными ЛГ Лр' тождествами Лш Л (уш) 1' Лт '1 т (х) = = = — (=) ш (х — Ь, у, 1), Лх Лх (, Лх) Лш Л(тю) /Лу) т(х) = = = — (=) ш (х+Ь, у, Г), Лх Лх (,Лх~ герепишем систему в виде Ло ') Лх у ЛЛ» ( Ло) Лт ( Ло) Лр Л (1 Лх1), + т ~=- Я] ~ — ) + т ~=' С1 (=) = «(х) =, Теперь выберем конкретный вид т(х), положив (х — 5Ь) (1 — 5Ь вЂ” х), если это выражение положительно, т(х)= 0 в противном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
