С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 38
Текст из файла (страница 38)
р,(х, у, Г) и=и'"', Ли Ли Ли Ра Р1 — =и" ". Рарч — = — РаР1 — "=ии''; л( лу= лу= Л2и РаР1Р2 лу,лг Уи Р Р1рз Л, =и" о Ли ьаь Рара) 2 — = ичь Луг Лап раршара —,=и'ь ': Лэи Рац!ркр ЛРЛ =и' ' у — '3 4) Рар!Р2ра Луа Лаи рац1Р2цэ — и ЛГЛуэ которые отличаются от и и ее разностных отношений положнтельнымн гладкими множителями ра=р1(х, у, Г). Описанное сейчас преобразование полностью аналогично такому же преобразованию дифференциальной системы в 4 16, однако теперь надо иметь в виду следующее обстоятельство.
При переходе к новым неизвестным функциям, младшие члены нижнего слоя в разностных уравнениях еще усложнятся за счет того, что в ннх войдут значения в точках, сдвинутых относительно х, у, ( не только параллельно оси у, но и в точках с первой координатой х+Л, х — Л. Чтобы разъяснить эти замечания и не слишком загромождать изложение, ограничимся введением только мноакителя ра(х, у, 1) при получении уравнения для и'". Помножив на скалярный множитель ра уравнение Ли Ли Ли Ли А — +В = — В, — +С=+Ям=о, Лу Лх Лх Лу преобразуем полученный результат Ли Ли Ли Ли Ара Л(+Вара Л вЂ” — Вара Л х+ Сра Л +1)р и=о В нашей разностной системе такое расширение проводить даже несколько проще, чем для дифференциальных уравнений в 4 16, так как теперь мы предполагаем постоянство матриц Ва, В1 и поэтому избавлены от необходимости Л Л Л Л исключать — Ва, = — В,, — В,, = В, — они нули.
Как уже не раз отме*Лу ' Л( 'Лу чалось (4 5, р !6) предположение о постоянстве В,, В, не является существенным ограничением. По мере того, как в разнсстную систему включаются уравнения для высших разностей, ее вид будет несколько усложняться за счет того, что в младшие члены начинает входить все ббльшее и большее число точек нижнего слоя, сдвинутых относительно точек х, у,г на -1- й, ч- 2Л, щ ЗЛ, ... вдоль оси у. Для наших целей будет достаточно ограничиться включением в систему уравнений для разностных отношений вплоть до третьего порядка. После этого полученную систему надо преобразовать, выбрав в количестве новых неизвестных функций векторы 244 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П воспользовавшись тоакдествами; ро(х, у, С + т) ЛС Л[саи ! Лх ра(х — 6, у Л[аои 1 Лх ро(х+й, у Лраи 1 Ьу ро(х, у — й в результате чего придем к уравнению для и'а'=р,и следующего вида.' „,(х, у, С) Ли~о Ли(а' Ли Лию> ро(х, у, С+т) ' ' ЛС ' Лх Лу ' Лу А (х, У, С) — +Во= — Во =+С(х, У, С) +...
=О. Младшие члены этого равенства, замененные в этой записи многоточием, будут содержать значения и'о =рои на нижнем слое каи в точке х, у, С, так и в точках, сдвинутых относительно х, у, С на 6 по координате х, т. е. в точках (х ш й, у, С). Точно такой же сдвиг по х на й в младших членах появится и в уравнениях для разностных отношений (по С и по у) после перехода к неизвестным, получающихся из разностных отношений помножением на соответствующие множители.
Правда, уравнения для разностных отношений по С и по у содерн<али еще до этого помножения в младших членах слагаемые со сдвинутыми на а- А, -а- 26, Ш ЗА аргументами, но, как уже отмечалось, это были сдвиги только параллельно оси у. Теперь уже нетрудно понять, какова структура разиостнык уравнений для и'а', и[И [1, и[['З[, ..., и[З ~1, и[З'З[, и[З а). эти уран.
пения имеют следующий вид: -Лй - Лй Лй Лй А — +В = — Вс= — +С==[ ° ЛС Лх Лх Ьу Здесь й составной вектор, имеющий «векторные компоненты» и'а', ии И, и[' о[, и[а'з[, ..., иск з>, а клеточно диагональные А, Ва, Вс, С составлены следующим образом: ро(х, у, С) ро (х, у, С +т) р.(х, у, с) р, (х, у, С) ро (х у. С + т) р, (х, у, С + т) А= в-( ' ), а,-( 'а ), О ( Все младшие члены мы объединили в «правой части» с, значения которой в точке (х, у, С) (й (х~ [-6) вычисляются как сумма векторов, каждый Ьа Ро(х Ч С) ЛС Ьи ра(х, у, С) = Ьх Ли ро(х, у, с) = Лх Ли ро(х, у, С) = Яу ро(х, у, С) Лр,и р,(х, у, С) Лра и ра (х, у, С+т) ЛС Лр (рои) -ж Юб Л (раи) аа, д, с Лро 0 Ь вЂ” ([МА)а у- с у 245 й сз) оценки рлзностных отношение у = -1- ос с = ! — а а=+сок=! (А !), () й! ~ сопз! ~~~ ~" (Ай, й) Ьз, и= — со к=о и= — со х=а которое позволит нам применить для оценки й основную теорему об оценке разностных решений. Чтобы эта теорема была применима, необходимо еще добиться диссипативности граничных условий у нашей расширенной системы.
Именно для этого при ее построении были введены множители рн (х, у, 1). Они здесь могут быть использованы точно так же, как и в случае расширения системы дифференциальных уравнений ($ !6). В самом деле, диссипативные гранлчные условия исходной разностной системы и;(О, у, 1) = ~ а! (у, 1) и (Ь, у, !), 1=1, 2, ..., ла, !'=л,-(- ! и;(О, у, 1)=и!((с, у, 1), 1=по+1, по+2 " и влекут для разностных отношений равенства л ли; (О, у, 1) мл би) (и, у, 1) а!1(у, 1+т) ! + с=л +! л, Лаг) + ~' — и((й, у, 1), 1=1, 2, ..., по 1=л,+! Ли!(О, у, 1) Ли! (й, у, 1) Ли! (О, у, 1) с=л,-(-! Ли) (й, у, 1) (у — Ь,1) + Лу л, лст Ла! + ~ =~1(Л, у, 1), !'=1, 2, ..., лл, .й' Лу !'=л,+! Лис(й, у, 1) бу ! па+1, по+2.....
и. бш(О, у, 1) Зги равенства можно рассматривать как граничные условия расширенной системы. Записанные через компоненты и,'.", и! ' !), и(! з! введенных нами неизвестных вектор-функций исэ', и(' '1, и!' з), они выглядят следующим из которых получается применением той или иной матрицы к значениям й в точке (х, у, 1) и в некотором (вполне определенном и не зависящем от 1) числе соседних точек сеточного слоя 1=сонэ), О < х ( 1).
Матрицы, с помощью которых 1 вычисляются через значения й на нижнем слое, выражаются через р!, а также через матрицы коэффициентов исходного разностного уравнения и через их разностные отношения вплоть до некоторого порядка. Ограниченность этих разностных отношений будет обеспечена, если рс, а также коэффициенты системы имеют ограниченные производные соответствующих порядков. Если такую ограниченность предполоскитсь то мы, очевидно, будем иметь неравенство 246 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. П образом и"'(О, у, 1)= ~~ " ' ' М! (у, 1)иьа>(й, у, !), е Р, (О, у, г) Ра(" У !) г=а,+! ! = 1, 2, ..., па, им'(О, у, ()= а( ' ' )и"'(й, у, 1), (О, , г) Ра(й У 1) а=п.+1, и,+2, ..., и, „и у Р(оу () у о, !=а,+ ! а, Ра(о У !)Рз(о + ~ы р (й,у,() /=аа+ ! !+т) и',.' " (й, у, !)+ у, г) йау ж (й г) А! ! 1=1,2,...,па ° ! (о !) — ! 1(й Ра(й у Г) Р (!г, у 1) "' а=па+1, па+2, ..., и; ии ')(о у 1)= У Ра(о У ') ( 1, !! з!+ Ра(й У 1) 1=-ю+! ' у'- Р, (о, у, !) Р, (о, у, 1) й, + „=иа'(й, у, !), г=а,+! а=1,2, ..., па, и(! 2)(о !) Ра(о У 1)Р!(О У () П, з! Ра у! у, !) Р! (Iг, у,!) а=па+1, па+2, ..., и.
Легко видеть, что при любых положительных ограниченных и гладких Ра(х У 1), Ра(х, У, !) это Условие формально того же вида, который описан в пункте 2' основной теоремы об оценке разностных решений (4 18). Диссипативность их, при достаточно малых Р, (х, у, !), доказывается почти дословным повторением доказательства диссияативности граничных условий у расширенной системы дифференциальных уравнений в Э 16. Только теперь коэффициенты граничных условий расширенной разностной системы зависят от значений Р! (х, у, 1), а! (х, у, !) не только в точке х, у, Е но и в соседних точках разностной сетки.
Поэтому мы должны говорить, что выполнение условия диссипативности обеспечивается при достаточно малых Р! (х, у, г) и при достаточно малых шагах й, т. Ограничившись этими замечаниями, мы не будем проводить доказательство подробнее. Ясно, что подобными рассужденинми обосновывается возможность приведения к диссипативному виду разностной смешанной задачи у расширенной системы разностных уравнений и в случае, когда в нее включаются разностные отношения не только первого порядка, но также второго, третьего и более высоких, если только это включение допускается гладкостью козффициевтов и граничных условий.
Для наших целей необходимо включение в расширенную систему разностньш уравнений вплоть до третьего порядка. 247 ОЦЕНКИ РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ Ф 1э) Мы здесь описали приведение н днссипативному виду граничных условий на левой границе х=о рассматриваемой нами области.
Диссипативность граничных условий для расширенной системы на правой границе х=) обеспечивается совершенно аналогично. К расширенной системе с диссипативными граничными условиями мы будем применять основную теорему об оценке решений разностных уравнений. Для применения теоремы к оценке некоторого решения необходимо, чтобы, задав разностные началььые данные при 1 =О на некоторой сетке при любых у в точках х=И, 2И, ЗИ,..., 1 — 2И,) — И, н достроив граничные значения в точках с координатами х=о, х=1, мы могли оценить по этим данным квадратичную форму с =-+ со к = Г ~ (Ай,й) Иэ. д= — сок=о Для этого, как нетрудно убедиться, достаточно уметь оценивать ~) (Аи, и) И', 1) ~~~~~) А —, — ) Иэ, Ли Изи Ли Разностные отношения —,, ..., — должны при этом вычисляться ИГ ' ЛГ Лу ' '" ' АГ с помощью разностных уравнений и вблизи границ х=о, х=1, с помощью граничных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
