С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Обращающийся в нуль па обеих границах множитель х(х — 1) при производных и„вводится здесь с той же целью, с которой в задаче с одной границей х= — О вводился множитель х. Чита- телю рекомендуется проделать аккуратно построение соответству- ющей расширенной системы и убедиться, что получающиеся оценки записываются в сокращенном виде ) и !',и - соп51 !! !р (!Р, если определить нормы в пространстве (1 решений и в простран- стве Ф начальных данных формулами: У- Г = 1/ —,— ~ ~ ((и, и)+(и„и!)+(Ки„, лА'и„)+х'(х — 1)'(и„, и„)1!(х+ г + гпах 1/ $ [(и, и)+(Ки„, Ки„)+хи(х — 1)'(ил, ил)1 !(х, о<г<г У а !=соли! ! ! ((ср,')ь= 1!' ~ 1(р, ср)+(15!р„, КЧ!„)+х'(х — 1)'(р, ср„)1!(х.
Б $ 161 твое ем» единственности в смеши нное з хе » че аоз Теперь мы кратко остановимся на том, как развитая здесь техника позволяет получить теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных, правых частей и коэффициентов уравнений в случае симметрических гиперболических систем. Оценку разности решений двух систем: А» дГ+В' дх+С» д '+О и =1м ди| ди1 ди» ди«ди«ди» А» дГ +В»-дх+С»-д- +~»и»=1» мы будем проводить в области, ограниченной снизу плоскостью ~ = О, а сверху «шапочкой», удовлетворяющей неравенствам гамильтона — Якоби, полученным как с помощью одной, так и другой систем.
Определим норму о о'о некоторой вектор-функции п как ~! о ~)=и|ах 1/ ~ ~ ~Х ог,'«(х "у. 1 У 1=«иин Двойной интеграл здесь берется по внутренней части сечения 1 = сопз(, лежащей внутри «шапочки». Предположим, что для решений обеих систем ограничены нормы Для этого достаточно предположить, что коэффициенты и начальные данные обеих систем достаточно гладкие, но мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта.
Рассмотрим разность уравнений наших систем. Эту разность можно переписать в виде следующего уравнения для разности решений и, — и,: А д(и,— и»)+В д(и, и»)+С д(и, и»)+я ( ) дх ду =1,— 1,— (А,— А,) дг — (В,— В,) д- — (С, — С,) д — ('«» — м'») и,. ди» ди, ди» Если ')А,— А»~', 1В,— В»~,', (~~С,— С»(, )Г~,— С»~~, (~1,— 1»(, 'малы, то мала и вся сумма (по нашей норме ) (), вынесенная в правую часть этого равенства. Рассматривая это векторное уравнение как систему для и, — и, и предполагая малость разности начальных данных, т. е. малость (и,„— и»«)«, мы отсюда можем получить опенку малости )и, — и»'(.
Тем самым доказывается, что если начальные данные, коэффициенты и правые части являются достаточно гладкими, то решение непрерывно зависит от всех этих параметров задачи. Точно так же доказывается непрерывная зависимость решений смешанной задачи от всех определяющих ее величин. При этом 210 ГИПЕРБОЛИ«!ВСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. и д! +!«! дх + 1 тии»=1!, 1=1, 2, ..., и«, ди! ди! «- — -! ди! ди! — д — — — и! .д- + ~ !пии! —— !«, »=и«+1, ..., и, 1=! /г! > 0 (О ( х ( 1) с граничными условиями и!= ~ч аци; прп х=О !'=л +! и« и! = ~х~ ~11!,и! при х=1 (»=1, 2, ..., П«), (! =-и,+1, ..., и) и начальными данными и, (х, 0) = ч!! (х), у нас может появиться желание разыскивать решение не при 1~ О, а при 1.
= О. В случае такого «обращения» времени «приходящие» на границу и «уходящие» с границы характеристики меняются ролями. Число граничных условий должно теперь равняться числу характеристик, «приходящих» в старом смысле. Решать задачу в сторону 1(0 и одновременно в сторону г'>О возможно лишь, если число характеристик с положительным только надо предположить, что и,(х, 1), и,(х, () удовлетворяют одинаковым граничным условиям.
На самом деле доказательство можно провести и в случае близких граничных условий, но мы не будем останавливаться на нужных для такого доказательства изменениях техники. Если бы для всех разбиравшихся нами задач (задача Коши в области под «шапочкой» и смешанная задача при 1> О, 0 «-.х~ ~1) были доказаны теоремы существования, то из доказанной единственности решений и из нх непрерывной зависимости от условий задачи вытекала бы их корректность. Мы приведем в дальнейшем доказательство теоремы существования для случая трех независимых переменных (х, у, г). Остановимся теперь на одном простом, но очень важном для дальнейшего, понятии — понятии обратимой смешанной задачи. Обратимые задачи играют принципиальную роль в теории метода Фурье, изучением которого мы будем заниматься в четвертой главе.
При решении системы $ !71 критерии компдктности снточных функция 211 наклоном равно числу характеристик с отрицательным наклоном (т. е. если п=2п,) и если граничные условия можно разрешить как относительно римановых инвариантов, связанных с положительным наклоном характеристик (и„и„..., ил,), так и относительно инвариантов, отвечающих характеристикам с отрицатель- НЫМ НаКЛОНОМ (и„,~!, и„,~з, ..., изл,).
В ЭТОМ СЛУЧаЕ ГРаНИЧНЫЕ условия можно записать так: зло ~ 7!!му —— ~ сазуи, (! =1, 2, ..., п,) !=ар+! на одном нз концов (с(е117!у!)ФО, с(е1~!!а1,)ФО) и аналогичное Условие с дРУгими матРицами уц, а2! на дРУгом конце отРезка. Такие задачи, для разрешимости которых направление времени не играет роли, мы будем называть обратимыми. $17.
Критерии компактности сеточных функций Сеточные функции и правила их интерполяции — распространения на всю область, понрытую сеткой. Оценки квздратичных интегралов от проинтерполированных функций через сеточные суммы. Применение критерия компактности. Лифференцируемость пределов и оценки непрерывности пределов и их производных. При доказательстве теоремы существования решений у симметрических гиперболических систем нам придется пользоваться критериями компактности некоторых семейств функций.
Ряд таких критериев был уже приведен в Э 9. Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы приспособить эти критерии к последовательностям приближенных решений, которые будут строиться в процессе доказательства теоремы существования. Приближенные решения мы будем получать в виде сеточных функций, определенных на дискретной системе точек х=!Ь, у=1Ь, 1=Ьт с целыми !', 1', Ь. Постоянные Ь, т называются шагами сетки.
Обычно у нас будет целое семейство сеточных функций, определенных каждая на своей сетке, причем среди этих сеток будут сетки с как угодно малыми шагами т, Ь. Рассматривая фиксированную сетку, мы обозначим и(х, у, 1)е и(!Ь, 1Ь, Ьт) через из!а и сформулируем правило интерполяции, позволяющее функции, первоначально заданной только на сетке, сопоставить вполне определенную непрерывную функцию, заданную уже при всех х, у, 1. Зту непрерывную функцию, определенную по сеточной и!!а, мы в дальнейшем будем опять обозначать и(х, у, 1). Значения и(х, у, 1) внутри параллелепипеда (ячейки сетки) рй=.х~(!+1)Ь, )Ь~у«-.(1+1)Ь, Ьт(1((й+1)т 212 1гл.
и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ мы определим формулой и(х, у, 1) =и, дл (1+1 — — „)(1+! — — ")(й+! — — )+ ' "(' ' —.")( '--.")(-'-') +и, дм л(1+1 — — „) ( — „— 1) (й+1 — — )+ +и,;,, л„(1+1 — — „)(» — 1)( — — й) + +и„, дел ( — „— 1) ( — — !)(й+1 — — )+ + (х . ) („ , ) ( ) + +и!., т, ( — — 1') (!'+1 — ,"-) (й+1 — — ) -1- +иьп ! л!, (-„— — 1) (1+! — — "„) ( — й) = а;; л (х, у, 1).ие !.
л. с(Р г л.)0. Р,),Л В последней сумме 1', 1', й' пробегают значения, соответствующие вершинам параллелепипеда, а через аг;, л (х, у, 1) мы обозначили коэффициенты интерполяционной формулы, подробно выписанные в первых строках. Внутри параллелепипеда и(х, у, 1) будет линейной по х при фиксированных у, 1, линейной по ! при постоянных х, у, линейной по у при фиксированных х, й Нетрудно убедиться, что в каждой точке (х, у, 1) параллелепипеда, сумма всех коэффициентов а; ! л равна единице. Действительно, если и; ! „во всех вершинах равна 1, то и(х, у, 1), будучи линейной по каждому аргументу, оказывается единицей при всех х, у, 1 внутри параллелепипеда.
Для такой иу, очевидно, что и(х, у, 1) получится единицей во всех внутренних точках, т, е. и(х, у, 1)=1= У а()л(х, у, 1)и(;л = У',ал;л(х, у, !). !'!'л /с л Интегрируя доказанное сейчас равенство (! + 1) Л (! + 1) Л (Л + 1)! 1 ((х ((у Ж = и /л ((+ил и+ пл(л-ь ит а(, л (х, у, 1)((х((у((1, (Ч Л (Л )Л ЛР мы приходим к выводу, что сумма интегралов в правой части равна й'т. Любые два интеграла слагаемых в этой сумме равны )Г ° а !7) КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ з)з аи;» = О, ~", ас;» (х, у, /)=1, т'/'»' и применим неравенство Буняковского: и'(х, у, /) =( ~ а);» (х, у, /) и/,/;~ '= т Р/'»' =('5',)~ а;;» ") ар;» ис/»)~ -~~аиг» ~~а//»и)/» = = ~ ар/» (х, у, /) и,в/».
Полученный таким образом вывод и'(х, у, /) ( ~~ ар;» (х, у, /) и,',/,», ('/'» мы проинтегрируем по всему параллелепипеду () ч- ) )» () + ) )» (» + Н т и'(х, у, /)((х(/у(//~ /» /»»т ( ~~~5 ~ ~ ар/',(х, у, /)(/х(/у(//~ и);н= — ~~/(й/» . Итак, по сетОчному параллелепипеду по всем восьми вершинам параллелепипеда Если некоторая область () в пространстве х, у, / покрывается полностью некоторым конечным числом ячеек сетки (сеточными параллелепипедами), то, суммируя доказанные неравенства по всем этим ячейкам (каждая вершина — узел сетки — принадлежит не более, чем восьми примыкающим к ней параллелепипедам), между собой, как это легко вытекает из следующих свойств симметрии: аи» (/й+$, у, /) =а)+и» ([)+11'й — $, у, /), а)/» (х, /'й+тЯ=а//,-и (х, [/+1)й — )1, /), а;; » (х, у, йт + 6) = ар/ »+ ) (х, у, [й + 1] т — 6).
Поэтому для каждого из коэффициентов а); м (х, у, /) ((+п»и+и» (»+нт (Хт / » (Х, Дт /) ((Х ((Д ((/ = » /» »т В этом можно убедиться и непосредственной выкладкой. Воспользуемся тем, что 214 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ получаем неравенство ) ) ) ив (х, у, 1) с(х Г(у й ~ йвт 'У, 'и'(х, у, 1). е по всем узлам Это неравенство показывает, что если мы построим какую- либо сеточную функцию и оценим для нее Ьвт У', и' (х у 1) по всем узлам сетнп то, продолжив интерполяцией эту сеточную функцию на всю область О, покрытую сеткой, мы можем для этого продолжения автоматически использовать оценку интеграла ~ ~ ~ и' (х, у, 1) с(х Йу М, с той же самой величиной, которой оценена сеточная сумма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
