С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 28
Текст из файла (страница 28)
То, что мы знаем начальные данные внутри области ф(х, у, 0) (О, еще не значит, что онн не существуют при ф(х, у, 0)) О. Просто они нам там неизвестны. Влияние этих начальных данных распространяется со скоростью звука с,. В каждый момент времени 1линия ф(х, у, 1) = = 0 разделяет области, до которой дошло и до которой не дошло влияние неизвестных наи начальных данных. Поэтому ничего удивительного в том, что граница ф(х, у, 1) =0 движется внутрь области ф(0 со скоростью с„нет.
Более того, пользуясь этим наглядным истолкованием, нетрудно понять, как меняется с течением времени 1 область единственности и в случаях, когда граница начальной области ф,(х, у) =0 имеет изломы. Уравнение Гамильтона — Якоби ф, — с«)~ф'+ ф« = 0 имеет, например, следующие решения, являющиеся линейными функциями х, у, й 1р = с,1+ с«х+ ()у+ у (а»+ [1» = 1). В частности, такими решениями будут ф1= Р1(х 4Р,=- Р,(х, Р«=.
Р»(х, ф4 = ф4 (х, у, 1) =с«1 — х — 3, у, 1) =с1+х, у 1) = с»1 + у у, 1)=с.1 — у — 1. Кусочно гладкая функция ф (х, У, 1) = пцп (ф1, ф», ф», ф«) =- =пни [с,1 — х — 3, с«1+х, с,1+у, с,1 — у — 1] в каждой области гладкости будет решением уравнения ф1 =- с«У фх + ф« Поэтому, если в этих областях гладкости направить единичный вектор (т, $, т)) по внешней нормали к границе области ф(0, »1ы будем иметь, что 11 [т (А и, и) + $ (В и, и) + 11 (Си, ии 4(з ) О, 9=4 4тв ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. И (Этот интеграл можно разбить на сумму интегралов по областям гладкости поверхности ~р = 0). Область ~р< 0, !) 0 является областью единственности для уравнений акустики.
Рассмотрим ее внимательнее. Неравенство р(х, у, 0) <О выделяет на плоскости 1=0 прямоугольник — 3< <х(0, — !<у О, изображенный на рис. 39. При увели-г у чении ! граница ~р=О будет пе- .Г ремещаться внутрь первоначального прямоугольника. Нормальная скорость этого перемешения равна с„. На рисунке видно, как с течением времени область Ряс.
Зэ. ~р(0 уменьшается. При !=в ! 2с0 горизонтальные границы схлопнутсч и, начиная с этого времени, область Гр ( 0 перестанет существовать. Если изобразить эту область в пространстве х, у, 1, то она выглядит как насыпь (рис. 40). Начальные данные, заданные на основании этой насыпи, определяют единственное решение всюду внутри нее. Боковые грани насыпи, ограиичиваю*,цие область единственности, являются характеристиками уравнений акустики.
Не все характеристики годятся для ограничения области единственности — надо, чтобы нормали к ним принад- 8 лежали к границе конуса положительно определенных форм. Уравнение Гамильтона — Якоби выделя- д ю ет именно такие характеристики. Вот еще важный пример области единственно- Рнс. 40. сти для той же системы. Пусть теперь область задания начальных данных представляет собой круг )/х'+у'()т. Рассмотрим функцию ~р(х, у, !) =)сх'+у'+с„! — д.
Эта функпия удовлетворяет уравнению ~р, — с„~~'~р', + <р, = О и начальным данным 4р (х у О) — У хР+уэ 177 упянг!ение Гдмильтопл-пкопн ф ы1 (гр(х, у, 0) (О внутри круга). Поэтому поверхность )/ х'+ у'+ се( — )с = 0 представляет собой гранину области единственности (рис. 41). Эта граница является конической поверхностью с вершиной в точке х=О, у=О, 1= —. Лля 1)-- эта поверхность р х +у'+ 17 77 2 сэ са х г7 Рис.
41. Рпс. 42. +со( — 14=0 перестает существовать. Па границе существования она имеет особую точку — вершину конуса. Ясно, что геометрически картина не изменится, если центр круга будет расположен не в начале координат, а в произвольной точке (х„, уч). Это позволяет нам сказать, что реше- (4 7.1 иие при некотором 1=1, в У точке (х„уч) зависит лишь от начальных данных при 1=0 в области 6, если характеристический конус (х — х,)'+ + (у — у,) — с-„(1 — 1„)'= О (точнее, его пола при 1(1з) опирается при 1=0 на круг, целиком лежащий в области О (рис.
42). Я () Полная область единственности будет объединением таких (характеристических) конусов, опирающихся своим основанием на область О. Задача. Опишите структуру области единственности для случая, когда начальные данные для той же системы заданы в области, изображенной на рис. 43. В скобках около вершин многоугольника поставлены координаты (х, у) этих вершин. 178 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРЛБНЕНИЯ 1Гл. и В свое время, давая определение характеристической поверхности, мы ее определили как поверхность, вектор (т, $, т)) нормали к которой лежит на конусе характеристических нормалей бе(11 тА+Р>+>)С)~ =О.
Пусть вектор (т, $, «1) пробегает такой конус. Сопоставим каждому такому вектору перпендикулярную к нему плоскость т(( — 7>)+$(х — х>)+т) (у — у,) =О (т и~) [(т -) и8)> с. (Х>+>1>)) 0 Плоскости т(( — 1„)+Е(х — х,)+«)(у — у>)=0, ортогональные векторам (т, 1, и), связанным равенством т+и« = О, проходят через прямую х — И=х„— и1,, у=-у,, что видно из тождества т(( — ц+й( -х,)+П(у-у„)= — и8(( — (,)+~(х — „)+ +П(у — у„) =Цх — и1 — (х„— й1,))+>1(у — у„) =О.
Эта прямая и является «конусом>, который получается как огибающая плоскостей, нормаль к которым лежит на плоскости т+ий=О. Если (т, Е, О) пробегают конус (т+и«)> — с«(~> Р71') =О, то нормальные к ним плоскости огибают конус р(х, у, 1)=с',-(7-7„) -[(х — и~)-(х„-и7.)) (у — у,) =О. В этом легко убедиться, проверив прямым вычислением, что «р(х, у, () удовлетворяет уравнению (р,+ир„) с,:М+Ч„) =О. Итак, для уравнений распространения звука конус характеристических нормалей состоит из плоскости +ий=о (т + и$)> — с,' (Е> + т)') = О, и из конуса Когда (т, Р, т)) пробегает конус характеристических нормалей, эти плоскости огибают некоторый другой конус.
Ясно, что если поверхность имеет нормаль, лежащую на конусе характеристических нормалей, то она сама касается одной из плоскостей т(1 — („)+$ (х — х,)+г) (у — у,) =0 и огибаемого имн конуса. Этот последний носит название конуса характеристик. Проиллюстрируем понятие конуса характеристик на примере уравнений звука в движущемся газе. Конус характеристических нормалей для этих уравнений задается, как мы видели, равен- ством 179 уРАВнение гАмильтонА — якОБи $ !41 тогда как конус характеристик распадается на прямую х — И = = х,— И„у=у, и на конус с,', (1 — 1,)' — ((х — И) — (х, — И,))' — (у — у,)' = О. Расположение конуса характеристик с вершиной в начале координат х,= — О, у,=0, 7,=0 изображено на рис.
44 в дозвуковом (~(7 ~ (с,), а на рис. 45 — в сверхзвуковом (~ У ~)с,) случаях. Конус характеристик для рассматриваемых уравнений (точнее, одна из его пол) всегда расположен в верхнем полупространстве Рис. 45. Рис. 44. н содержит ось 1 только в дозвуковом случае. (Сравните рисунки конуса характеристик с рисунком конуса характеристических нормалей, который рассматривался в начале этого параграфа: рнс. 36, сверхзвуковой случай.) Рис.
47. Рис, 46. В заключение приведем область единственности для уравнений звука в движушемся газе, если начальные данные заданы прн Ч>(х, у) =3' х'+у' — 1!'(О, т. е. внутри круга радиуса )Г с центром в начале координат. Решение уравнения Гамильтона — Якоби (ВО (гл, и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВ11ЕИИЯ с начальным условием 1р(х, у, 0) =~ л'+у' — )с дается формулой р(х, у, 1)=Р"( — (71)'+у'+с,( — )Р.. Поверхность )У( — (71) +у +С( — К=О, ограничивающая нужную нам область единственности, представляет собой одну полу характеристического конуса с вершиной в точке (гя (о = хо =- с7(о = уо = О.
со " со Расположение области единственности в пространстве х, у, 1 изображено на рисунках 46 (дозвуковой случай) и 47 (сверхзвуковой случай). $ 15. Постановка смешанной задачи для гиперболической системы Обсуждение (на примере) постановки граничных условий для гиперболической системы. Число условий, которое надо задавать на той или иной границе для однозвачной разрешимости зздачи.
Условия согласования начальных данных и граничных условий (на примере). Диссипативные граничные условия. Возможность такого приведения гиперболической системы к каноническому виду, чтобы граничные условия стали диссипативными. Смешанная задача для уравнений акустики в двумерном пространстве и ее приведение к дисснпативному виду. В ближайших параграфах мы будем изучать способы получения оценок решений и теорему единственности для гиперболических систем в случае, когда решаемая задача не является задачей Коши. Мы покажем, что кроме начальных данных разумно иногда задавать еще и некоторые граничные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
