С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(1) Выражение для определителя может быть получено прямым (довольно громоздким) вычислением. Значительного упрощения выкладки можно добиться, заметив, что система уравнений инвариантна относительно вращения и поэтому естественно ожидать, что определитель зависит от переменных $ и Ч простым образом: он зависит лишь от $4+Ча. Полагая в определителе Ч = 0 и разлагая его по второй и четвертой строкам, получаем равенство оо — Е О [ — за+2<о (а+Ь)) — З а — ь = Π— Ь а = [ — $а + 2оо (а + Ь)1 [со (а' — Ь') — аво1 = О. Заменяя теперь Ео на Еа+Ча, приходим к равенству (1).
Теперь можно вернуться к первоначальным обозначениям и написать с(е1 [ТА+ИВ+ЧС[= 4 о К+3 Р— ~о*а-оо1а-аа*аоо)=о. 4Ро (К+ — Р) Зто уравнение определяет плоскость Т=О и два конуса: 4 К+ — и т' — (Ео+Ча) =О, з Ра т — и (з +Ч)=0. Ро Зги конусы и плоскость Т=О изображены на рис. 35. Внутренней полой конуса, содержащей вектор т = 1, 5=0, Ч=О, будет верхняя пола конуса 4 К+ — Р т' — Да+и') =О. 3 Ра Зто значит, что матрицы ТА+$В+ЧС будут неотрицательно определены, если 4 ъ К+ — Р [гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Функцию Н (ь-, н) здесь надо определить равенством Мне кажется, что эти примеры достаточно проиллюстрировали структуру и способ определения множества векторов, отвечающих неотрицательно определенным матрицам тА+йВ+т(С.
В заключение сделаем еще одно замечание. До сих пор мы изучали форму т (Аи, и) + й (Ви, и) + т((Си, и) в некоторой Т фиксированной точке (х„у„(а). Если матрицы коэффициентов А, В, С вЂ” переменные, т. е. зависят от точки (х, у, г), то и конус векторов (т, $, тй, связанных с неотрицательно определенными формами, будет в каждой точке свой.
Поэтому мы должны писать его уравнение в виде т+ Н (3, гь х, у, О ~ О. Функция Н и здесь — однородРис. 35. ная первой степени по перемен- ным 1, т( и, следовательно, если она дифференцируема, 5НЕ + т(Нч = Й. Этим равенством мы воспользуемся в дальнейшем. $ 14. Уравнение Гамильтона — Якоби Неравенство и уравнение Гамильтона — Якоби Схематическое описание приема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристики и канонические уравнения Гамильтона для их построения. Конус характеристических нормалей для уравнений акустики и уравнения Гамильтона — Якоби для этой системы.
Описание областей единственности для нее. Конус характеристик и конус характеристических нормалей Пример: урапнения акустики. В этом параграфе мы подведем итог в рассмотрении вопроса об области единственности для решений симметрических гиперболических систем. Пусть некоторая область ограничена снизу плоскостью т = О, а сверху «шапочкой» гр(х, у, ()=О (дгас(«рным). Предположим, что внутри области ср<0, а вне ее гр)0. Итак, мы рассматриваем область, высеченную неравенствами гр(0, «) О. Эта область предполагается ограниченной. Внешняя нормаль к «шапочке» ~р=О направлена вдоль вектора — градиента (грь гр„, тра). Если (т, $, т~) †единичн вектор внешней нормали, то й'« =Чт ив = Ч', ет) = Ч3«, /г) О. !69 квхвнвиив глмильтонх — якови $ !4! Если мы хотим, чтобы форма т(Аи, и)+$(Ви, и)+т!(Си, и) была неотрицательно определенной, нам надо, как мы уже знаем, потребовать, чтобы т + Н ($, т!, х, у, ()'=-- О.
Умножим левую часть неравенства на положительное й и воспользуемся однородностью (первой степени) функции Н: йт+ Н(н=, ят, х, у, () )О. Инымн словами, уравнение поверхности !р(х, у, !))О должно задаваться функцией !р, удовлетворяющей неравенству ср,+Н(!р, ср.„х, у, !)зО. Это неравенство называется неравенством Гамильтона — Якоби. Среди всех поверхностей, удовлетворяющих этому неравенству, особую роль играют поверхности, для которых функция ср удовлетворяет равенству ср,+ Н(!Г„срг.
х, у, !) =О. Это равенство называется уравнением Гамилынона — Якоби. Заметим еще раз, что если взять по поверхности !р = сопз(, связанной этим уравнением, интеграл ~ (((тА+~В+т!С) и, и)йз, то этот интеграл будет неотрицательным. Отметим еще тот факт, что прп получении оценок для производных мы расширяли изучаемую систему до системы, матрицы коэффициентов прн производных у которой принимали клеточный вид Очевидно, что условия неотрицательной определенности расши- ренной матрицы совпадают с условиями неотрицательной определенности матрицы тА + $В+ !!С. В свое время мы определили понятие характеристики как такой поверхности, для которой вектор нормали (т, $, т!) удовлетворяет уравнению де(!)!тА+ЕВ+!!С(=0.
Равенство т+Н=О дает только часть решений этого уравнения. Равенство де(!!тА+ +КВ+т!С!'=0 определяет некоторый конус — конус характери.сп!ических нормалей. Уравнение Гамильтона — Якоби выделяет ца 1то ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. И этого конуса только одну полу, а илсенно полу, охватывающую положипильную полуось т. Способы интегрирования уравнения Гамильтона — Якоби изучаются в курсе теоретической механики. Сейчас я очень коротко остановлюсь на процедуре получения решения (существование и гладкость которого, равно как и гладкость функции Н, предполагаются), чтобы использовать зту процедуру при разборе важного примера. Наряду с уравнением срс+Н(ср„ср„х, у, 1) =О рассмотрим равенства, получающиеся из него дифференцированием по х и по у: дсР» дсР» дсуу д +Нср д +НР с1 +Нх=О дсрх дср дсру — +Н вЂ” +Н вЂ” +Н =О.
д1 Рх ду ху ду дхх дсрх Заметив теперь, что — = —, перепишем их так: ду дх ' — + Н вЂ” + Н вЂ” х+ Н»=О, дсрх дсрх дср. дс чх дх чх ду д~ру дсру дсру — +Н вЂ” +Н вЂ” +Н =О. д1 чх дх Рх ду Само исходное уравнение - - + Н (ср „ср„, х, у, 1) = О, ВОСПОЛЬЗОВаВШИСЬ таждЕСтВОМ Н (Срх, Срх, Х, у, 1) =Ср НР +СрХНЧ ~х х чх (однородность Н по ср„, сру первой степени), можно переписать так: -Р + Н - т + Н вЂ” Р- = О.
д1 Рх дх ьх ду Систему дср дср ду — +Н --+Н вЂ” =О, дс чх дх ьу ду дсрх дсрх дср» — +Н вЂ” +Н вЂ” х+Н =О, д1 Рх дх Рх ду дсрх дсру дсру — +Н вЂ” +Н вЂ” +Н =О д1 "х дх Ру ду нетрудно проинтегрировать методом характеристик, который изу- чается в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений, УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ Э И1 Обозначим дл=х, УА=У, ф =Р» ГР„=Р, и пеРепишем системУ еще раз: дф дф дф д1+поа(Р» Рм У» Уо ) ду +~о*(РТ Ро У» Ум ) д, дрл др, др, --+Н, — +Н„-+Н, =О, дР +Н дйа+Н дух+И О д1 Р' доя Р, дуо Рассмотрим характеристики этой системы: Р' 11 Р» Вдоль этих характеристик — = — +Н, — +Н,— = — Н „— = — Н,.
др, др| дрл др, дро д1 д1 Р' ду, Р' дуо о" й Кроме того, опять же вдоль характеристик "-"-='ф+н ' — '+н ' — "=о. д1 д1 Р' дул Р* дуо — +Н( —, —, х, у, ()=О, дф 1дф дф д1 ~ дх ' ду ' принимающие при 1=0 начальные значения <р(х, у, 0) =ф,(х, у), то мы можем гостроить это решение так. Через каждую точку (х, у) нашей области на плоскости 1=0 проведем характеристику, определяемую начальными данными Уло = х у-о Уоо = У У-о~ дфо дфо и уравнениями М' =Н, — = — Н ар~ ж (канонические уравнения Гамильтона). Траектории этих уравнений Х=ул=ул(1 Уло Ум)1 У=уо=уо(1 Уло Ум) заполняют некоторую окрестность нашей области, заданной при 1=0.
Вдоль каждой из этих траекторий ф=-ф(уло уоо) =фо(уло Ум) не зависит от 1. Из уравнений х=ул(1, Уло Уоо)1 У=уо(1 Уло~ Ум) Итак, если мы знаем, что в некоторой окрестности плоскости 1=0 точнее, в некоторой окрестности определенной области на этой плоскости) существует решение ф(х, у, 1) уравнения Гамильтона — Якоби 172 1ГЛ и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕИИЯ по заданным х, у, 1 могут быть определены «7, доо, а следовательно, и значения ср. Провести по описанной схеме доказательство существования решения не слишком сложно, но громоздко и кропотливо. Аккуратно такое доказательство, даже для более общего случая, проведено в книге Г!.
Г. Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений». Мы ограничимся только приведенной схемой и перейдем к рассмотрению примеров. Отметим только, что характеристики уравнения ~рс = Н (ср„, сро, х, у, 1)=0, в свою очередь описывающего характеристическую поверхность некоторой системы, называются бихарактериетиками. Выпишем уравнение Гамильтона — Якоби для симметрической системы, описывающей распространение звуковых волн в движущейся среде, ди ди др Ро д1+Р~(7 д + д' =О до до др , — +Ри + — =О, о ДГ о Дх Ду ! др 0 др ди до —,,— + — „— +- + — =О.
рос! дс рос„'-' дх Дх ду Здесь и+(7, а — компоненты скорости (и(((7, а(((7), р — возмущение давления. Если положить У=1, х'=х — (71, у'=-у (т. е. перейти к движущимся со скоростью «1 координатам), эта система перейдет в уже известную нам систему уравнений акустики: ди др Ро д1 + -дх =0 до др Ро др + ду 1 др ди До —.- —, + —, +, =О. рос,; 'др дх' ду' Уравнение с!е( !! ЕА + СВ+ «1С !! = 0 для уравнений звука в движущейся среде имеет внд р, (х+ии о О ро (х+ 17«) ч 1 — о(х+иу $ россо Раскрывая определитель, получаем равенство -'; (т-!-(7;) ((т+ (7~)« — е„(й»-(- П«)! = О. Конус характеристических нормалей для втой системы распадается на плоскость т+(х'5=0 ]73 э 14] УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ и конус второго порядка (т+ир — с;(р+Ч ) =О.
Таким образом, конус характеристических нормалей разбивает все пространство т, $, т] на четыре части: 1. т + ия ) с, )/ $'+ т]' П. с, Р'й'+и ~т+и~~О, 1П. 0~ +ий~ — с„р у+0, !Ч. — с,р'р+ч ~т+ий. Вектор т= 1, $=0, т]=0, очевидно, принадлежит области 1: (т+ и$) с, )/С'+ 4]'). Именно в этой области лежат векторы (т, с, т]), отвечающие положительно определенным энергетическим формам.
Если',и](с„то для векторов этой области т) Со)7Г+]]' — ~% Гь (с„— ~и )д~ о. Вся эта область при этом лежит в полупространстве ! ~ О. Если же ]и])с„то область т) Ряс. 36. ) с„~: ~'+ ]]' — и$ уже пересекается с полупростраиством т:= О. Ее расположение в этом случае изображено иа рнс. 35 (и) 0). Уравнение Гамильтона — Якоби, отвечающее нашей системе, имеет внд 4р~ + и4р — с 1 Ч' + ~' = — О (н(3, ч) =и,—,)уу+ ]).
В покоя]цемся газе (и =0) оно упрощается: 4р,+Н (]р„, 4РР) =-Ч~,— с„ф 4р„'+4Р„'=О. Построим сначала характеристики для этого простейшего случая (Н (с, ]]) = — с„)7 Б4+ ]]'). Пусть неравенство ]р„(х, у) ( 0 определяет на плоскости х, у некоторую область, изображенную на рис. 37. Кривая 4р„(х, у) =0 является ее границей. Постараемся построить функцию ]р = Ч](х, у, !) такую, чтобы 4р (х, у, 0) = = 4р„(х, у) и чтобы она удовлетворяла уравнению Гампльтона— Якоби 4г,-с,) Ч;-) Р)=О. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА †ЯКО Э 141 в области ф(х, у, 1)(0, однозначно определяют решение для 1)0 в области 1р(х, у, 1)(0. Почему с ростом 1 на нашем рисунке эта область уменьшает свои размеры? Вспоминая, что скорость движения границы этой области носит название «скорость звука», мы можем дать этому факту следующее нестрогое, но по существу правильное, наглядное истолкование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
