С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Сделав подстановку и=Яо, запишем нашу систему так: д — (Уо)+Сд-(Уо)+Р(Ло) =1'. д Выполняем дифференцирование 2 д +СЕ д -)-(РЯ+у2+Су2) о=~ и умножаем систему слева на 2-' -"- — , 'Л'СУ вЂ” "-+ 2-'(РХ + — У+ С вЂ” Л) о = 2-11'. Пользуясь тождеством х, 1СЕ=-К и обозначая приходим к системе следующего вида, который называется каноническим: дв до д1 дк + Вот пример системы второго порядка в канонической форме: дв1, дв1 — — —,' 111 (х, 1) — -+ти(х, 1) о,+т„(х, 1) о,=д1(х, 1), -д1 +а,(х, 1) дз+т,,(х, 1) о,+т„(х, 1) па=из(х 1).
Компоненты о;(х, 1) искомой вектор-функции о(х, 1) в канонической форме системы называются римановыми инвариантами. Так как матрица Л, приводящая систему к каноническому виду, определена неоднозначно, то неоднозначно определяются и рима- новы инварианты. В дальнейшем нам будет удобно этой неоднозначностью пользоваться, 144 !ГЛ. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ имеет двукратные характеристические корни, но ей приводиться к каноническому виду д()' И Н„+) е Е,) сц д(УИ Ну+)'В Е,) дГ УИ „В, дх д(Г'р Н вЂ” Гса Еу) сс д(УП Нг — )'е Еу) дс Упг дх д()' и Нс — )'и Е,) с, д()'И Нс — Усе Ех) дс ' р' пг дх д()'и Нх+~ В Е,) сс д(УП Н,+'ГГВЕУ) это не мешает — Π— О =О Ближайшие параграфы будут посвящены подробному исследованию важного класса гиперболических систем — симметрических 1-гиперболических (по Фрндрихсу) систем. Напомним их определение, данное нами в ~ 6 гл.
1 для случая трех независимых переменных х, у, 1. Система уравнений А (х, у, () — +В (х, у, 1) — "+С(х, у, 4) — — =~(х, у, (, и) называется симметрической (-гиперболической системой, если матрицы А, В, С являются симметрическими, а матрица А к тому же положительно определенной. Мы видим, что в случае двух независимых переменных гиперболическая система после приведения ее к каноническому виду д + д + дг дх является симметрической (-гиперболической, так как диагональная матрица К симметрична, а единичная матрица Е положи- ди ди Иногда говорят, что система — +С вЂ” +Пи =Г называется гиперболической, если существует гладкая матрица У, приводящая ее к описанному каноническому виду.
При этом совсем необязательно требовать некратности характеристических корней. Эта некратность была нам нужна лишь для построения гладкой 2 (х, ~). Если же канонический вид получен, то для построения дальнейшей теории требование некратности совсем необязательно. П р и ме р. Система уравнений Максвелла И дН„ дЕ В дН дН л— сс дГ дх' сс д~ дх ' и дН, дЕУ В дЕ, дНР сс дГ дх ' сс дг дх !45 $ н! ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ тельно определена. В случае, если независимых переменных больше, чем две, произвольную строго гиперболическую систему (с некратными характеристическими корнями) не удается, вообще говоря, привести к форме, симметричной по Фридрихсу. Однако если система ди ди ди А — +  — +С вЂ” +Яи =( д! дх ду уже является симметрической гиперболической системой, то ее можно привести к некоторому специальному каноническому виду, который отличается простотой матриц А и В.
Такой канонический вид будет удобен при изучении задач, в постановке которых выделена ось х-ов, например, задач, в которых решение разыскивается при х)0, а на плоскости х=-0 ставятся граничные условия. Мы сейчас покажем, как такое приведение осуществляется. Пусть столбцы матрицы Я являются решениями уравнений где й; — собственные значения пучка матриц йА — В, т. е. корни уравнения бе()!'йА — В)!=О. Если А =А(х, у, !), В=В(х, у, !) — симметрические с гладкими элементал1и, А — положительно определенная и среди /г! нет кратных, то можно считать г,, = г1, (х, у, !) гладкими функциями с той же гладкостью, что н у элементов матриц А, В. Доказательство, по существу, следует из приведенных выше рассуждений, в которых теперь вместо С надо брать А-'В, и все рассматриваемые функции считать зависящими не от двух аргументов (х, у), а от трех (х, у, !).
Вместо тождества СЕ=ЯК мы будем иметь теперь тождество А Вг=гК, которое может быть переписано в виде !4б 1гл. и Гипегволические хиханения Умножив это тождество слева на х.", получим о Я*Вх. = х.*Ах.. о Это тождество утверждает, что 1чй столбец симметрической матрицы Л*Вх. получается из 1сго столбца симметрической Я*АХ умножением на /г,. Легко видеть, что если среди йу нет равных, то из этого тождества следует диагональность матриц х.*ВЯ и х,*Ах.: г*Аг= '-,; г*ВК= Здесь йу =- ~ амгнгм)0 определяются нормировкой столбцов си=1 у х'. (нормировкой собственных векторов). Если считать, что нормировка обеспечивает равенства 6~ = 1, то мы будем иметь х."Ах, = ЯиВУ= К.
Сделав в симметрической гиперболической системе А — +  — +С вЂ” +Яи=1 ди ди ди д~ дх ду подстановку и=г.о, а затем помножив ее слева на Я", мы при- ведем ее к виду У~АУ д — + Л~ВЕ д + Л*СЯ д + + 2* (ЯЕ + А д- и + .В д— Л + Сд который в силу нашей конструкции 2 опять является симмет- рической гиперболической системой "+Кд'+С д +Э =~, С=.г*СК=С*.
д~ дх ду В дальнейшем, пользуясь таким каноническим видом симметрической гиперболической системы,мы не будем предполагать, что все Ц на диагонали матрицы К различны. Дело в том, что многие уравнения математической физики допускают приведение с гладко зависящей от х, у, 1 матрицей У, даже если среди собственных значений /г; есть кратные. В качестве примера можно указать 147 ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ уравнения трехмерной акустики 1 др ди да дв — — + — + — + — =О, рас, 'д1 дх ду дг ди др Р,дс+д — — — О, дх р —,-+ — =О, да др од1 ду дв др Ро — „+,—, =О, канонический вид которых О О 1 О ду из О О О О дх из + 1 Π—.сз О У2 1 ΠΠ— =со У2 —,' (" ) = а, О О О О О О О О О О О О 1 У2" о о о 1 Я = са О О О О О О О А — + — +с +Ди=г ди ди ди д/ дх ду получающийся при переходе к новым неизвестным функциям: 1 1 "з = -=-1Р+Росои1~ "з = — — 1Р Р~саи1~ из = Расо"~ иа Росоцз У2 У2 имеет диагональную матрицу К с двумя нулями на главной диагонали.
Нам будет удобно в записи матрицы К такого канонического вида выделять знаки ее диагональных элементов и предполагать, что эти знаки в рассматриваемой области не меняются, т. е. предполагать, что йь ненулевые в какой-то точке (х, у, 1), не будут обращаться в нуль нигде в этой области. После этих замечаний должно стать ясным, какие ограничения накладываются, если мы в некоторых задачах предполагаем, что симметрическая гиперболическая система !гл.
и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ имеет матрицу В следующего специального вида: ~л,+ ! ~л,+2 На самом деле беэ какого-либо дальнейшего ограничения общности мы можем пРедполагать, что все lгт (1=1, 2, ..., и,) не зависят от !х, у, 1) и даже равны единице. Действительно, пусть В имеет описанный выше диагональный вид с гладкими и всюду отличными от нуля й„йм ..., /г „йл,+!, ..., Лл, Сделаем подстановку ч ! рд„ ! после чего еще умножим полученную систему слева на Т* =Т. Мы приходим опять к симметрической системе Т"АТ вЂ” + Т*ВТ вЂ” )-Т*СТ вЂ” + +Т*~!)Т+А д +Вд +Сд )Е=Т 1, дт дТ дТ! ди у которой диагональная матрица Т*ВТ коэффициентов при— дк !49 ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ э !и имеет на диагонали постоянные элементы, равные !-1 или нулю: +! О +! лк штук +1 — ! л~ — лт штук — ! О О л — л, штук О О Т*ВТ = где А=А(х, у, !), В=В(х, у, !), С=С(х, у, !), Я=!',!(х, у, !), )=~(х, у, !), А=А*, В=В*, В = — С*.
Матрица !',! симметричной це предполагается. Умножим систему скалярно на вектор 2и 2 (А —, и)+ 2( —, и)+ 2(С вЂ”, и)+2 фи, и) =2(г, и). Преобразуем отдельные слагаемые полученного равенства (поль- Конечно, матрица Т*АТ коэффициентов при производных теперь уже не будет единичной. Для дальнейшего важно лишь то, что она положительно определена и что ее элементы — гладкие функции от х, у, !.
Сейчас мы выведем для симметрических бгиперболических систем одно очень важное тождество, называелтое цнтегрцлои энергии. Оно будет играть основную роль при построении всей теории симметрических систем. Ограничимся линейными системами вида 1БО [гл.
и гипввволичвские тгавнвния зуемся тем, что А=А~, В=В", С=С*): 2(А ~~, и)=(А д,, и)+(А д,, и)=(А ~", и)+(~~", А и)= = (А д,, и)+ (д,, Аи) = (А д", и) +(Аи, —,") = = (д~ (А™Д, и) фдк А|и, и)+ Аи' дг = — (Аи, и) — ((-„— А~и, и). Аналогично 2(В д ' и) д-(Ви, и ([в В~и, и), 2(Сд ' ) -д — (Си, и', (~д С~и, и). Кроме того, 2(0и, и) =фи, и)+(и, Я*и) =(Я+Я*] и, и). После выполнения всех этих преобразований можно написать, что — (Аи, и)+ — (Ви, и)+ — — (Си, и) =(Ри, и)+2 (Д, и).
д д д Здесь 0 = — А+ — -В+ — С вЂ” (9+9*)=Р(х, у, (). д д д Из последнего равенства ясно, какой гладкости надо требовать от А, В, С, Я, чтобы 0 обладала той или иной определенной гладкостью. Рассмотрим какую-либо область 6, лежащую внутри области существования решения и, ограниченную кусочно гладкой поверхностью 5. Проинтегрируем наше тождество по области б ~д~ (Аи, и)+ дх (Ви, и)+ д (Си, и)) "(х(У'((= = ~ ~ ЯРи, и) + 2 (1, и)) г(х ~(у с(й а Интеграл в левой части, как интеграл от дивергенции, может быть преобразован в поверхностный по теореме Гаусса — Остроградского. Мы будем единичный вектор внешней нормали к по- % Н! ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ верхности Я обозначать (т, е, т1).
Имеем ~ ~ [т(Аи, и)+а(Ви, и)+т1(Си, и)1с(5= = $ $ $ [(Ри, и) + 2 ([, и)) с(х с(у с(1. о Интегральное тождество ~ ~ ([ТА + ЕВ + т1С1 и, и) с(5 = ~ ~ ~ [(Ри, и) + 2 Д, и)) с(х с(у а( называется интегралом энергии для симметрической системы. Если взять в качестве примера систему уравнений, описывающих распространение звуковых волн (см, й 6) с матрицами А= "",,', В= 1 о о, С= о о о (матрица 1г и вектор 1 — нулевые), то получится тождество ~ ~ '[т( Р, +рьи'+рьо')+$2ри+т12ро~ йз =О, 5 выражающее (после деления на 2) закон сохранения энергии звуковых волн. В случае двух переменных х, 1 мы таким законом уже пользовались в ~ 5 при доказательстве теоремы единственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
