С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 21
Текст из файла (страница 21)
)сг ~ ) ) 1«(х!(УЖ» «, «', д', о с,«',д' т,— т, сг Х У Т х,— х, у,— у, Ото!ода следует существование хз, уз (х', - х,» х,', у', »уз = у,') таких, что т,— т! гг Х )г !и (хз Уз тз) — и (хз Уз т!) !» !. ~сс Кроме того, )и(хы уа, т,) — и(х,, у,, тз) '»й(у 'Х '+зг ', г )и(хз Уз т!) — и(хо Уа тх) !» й ~ У Х + дог 1гл. г вводнля члсть а значит, [ и (хв Ув т») — и (хв Ув т»)[ ~ Е (т» — т» .~/ о у + 2 1/ х» ~ + 2 у У» Уг) Выбирая х,', хд у,', у', так, чтобы х,' — х', у,' — у', ут, — т») з мы приходим к интересующему нас неравенству: [и(хв ув т») — и(»е, уы т,) [~5Е.1гг т» — тх и тем завершаем доказательство теоремы 2.
Если у нас целое семейство (и) функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам, сформулированным как предпосылки теоремы 2 (или теоремы 1), то для любой функции этого семейства выполнены неравенства (9), (10) (или, в случае теоремы 1, неравенства (7), (8)). Неравенство (9) (или (7)) утверждает, что семейство (и) равномерно ограничено.
В силу неравенства (10) (или 8)) это семейство равностепенно непрерывно. апомним, что семейство [и (х, у, 1)) называется равностепгнно непрерывным, если для любого в > О, существует Ь> 0 такое, что из ) ах[+1бу1+ +1 б( , '< б вытекает неравенство ) аи ) ~ а для каждой и (х, у, 1) из семейства. В курсах математического анализа изучается те о р е м а Д р ц е л а, которая гласит; Всякое равномерно ограниченное и равностеяенно непрерывное в ограниченной области семейство функции (и) компактно в смысле равномерной сходи- мости. Другими словами, из всякоп бесконечной последовательности функций, принадле»наших тако»»у семейству, можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Следствие из теоремы Лрцела: Семейство функций и (х, у, 1) (или и (х, г)), удовлетворяющих условиям теоремы 2 (теоремы 1) компактно в смысле равномеряой сходимости. Мы обосновали простейшие условия компактности, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Наиболее употребительные в настоящее время и наиболее удобные для приложений критерии компактности носят название «теоремы вложения С. Л. Соболева». Сы. [5), [6).
9 1О. Обобщенные решения Обобщенное решение дяя уравнений акустики. Связь определения обобщенного решения с законами сохранения. Понятие обобщенного решения для проди ди стейшего гиперболического уравнения — + — =О. Обобщенное решение как д( дх предел гладких решений. Определение С. Л. Соболева. Зквивалентность этого определения классическому на гладких решениях. Уточнение определения. Теорема единственности.
Теорема существования. Замечание об удовлетворении начального условия. Обобпгенное решение в пространстве функций, непрерывных по 1 «в среднем». В заключение нашего вводного обзора основных фактов теории уравнений с частными производными мы кратко остановимся 127 овоеесенссъсе Решения $ !«1 на чрезвычайно важном понятии «обобщенного решения». Этому понятию и посвящен настоящий параграф. Для начала рассмотрим систему уравнений, описывающих распространение звуковых волн: —,' +- =О, доои дР дс дх д —, — + — =О. со дР«и дС дх К понятию обощенного решения этой системы приводит тождество д —, Р д с РоисГ+ —, с)с Р дС + дх Предполагая функции ср, ср гладкими и финнтными (т.
е. отличными от нуля лишь в некоторой ограниченной области на плоскости х, 1), будем иметь на решениях исходной системы: ~ ) [Рсси( дс+ д )+Р ~у дс + д ~]с(хе(1+ ~ (Р,исР+ —, сР~ их =О. с>о =о По предложению С. Л. Соболева, обобисенным ресиением называсотся такие р, и, что для них последнее тождеспсво вьтолнено при любых гладких и финитных ср, ср. В этом определении нужно еще оговорить, какому классу должны принадлежать функции р, и (измеримы, ннтегрируемы с квадратом...), но мы на этом останавливаться не будем. Постараемся придать интегральному тождеству, лежащему в основе определения обобщенного решения, некоторый наглядный смысл.
Будем пока предполагать, что ср=О, н расслсатрнвать тождество [Рои дс+Р дх]ссхдс+ ~ Роис1'с(х=О. с>о '=о Рассмотрим некоторую специальную функцию св(х, 1), устроенную следующим образом. Пусть ср(х, 1)=1 внутри некоторого гладкого замкнутого контура у на плоскости х, 1 н ср(х, 1)=0 вне другого, охватывающего у, контура у' (рис. 25). Мы будем предполагать, что контуры у и у' ограничивают некоторую замкнутую полоску, внутри которой ср(х, 1) плавно спадает от единицы до нуля. Если предполагать эту полоску очень узкой, то двойной !2а ВВОДНАЯ ЧАСТЬ !Тл. ! интеграл по верхней полуплоскости (он очевидно равен интегралу только по верхней, заштрихованной на рисунке, части полоски у, у') можно будет приближенно вычислить при помощи следующего простого соображения.
Внутри узкой полоски можно предполагать, что градиент ср(х, !) направлен по нормали к у н что рои, р Рис. 2ся Рис. 26. вдоль отрезка этой нормали, лежащей внутри у, у', почти постоянны. Интегрирование по полоске можно выполнять (рис. 26) как интегрировапп по нормали к у (дифференциал с(л) и вдоль у (дифференциал с!з): 7' Эв/ =- ) о Роп -+Р /)П вЂ” ! (Овипв+Рпл) П1= р д:р (Ропп, м опв) ~ — о!и = (Ропп, + Рп ) ( — ! ) = — Рз, + Р ид „ (п„п„— компоненты единичного вектора нормали к у, зь з„— компоненты единичного, касательного к у, вектора); ~ ~ (Ро - + Р - ) с(п (с(з = ~ (Ропол — Р О) с(з = вдоль т т вдоль и Рои с!х — Р с(!.
вдоль 7 Поэтому равенство ) ) '(Ро" д!+Рлх1!охи+ ') Р,ПЧ>с(х=О в>о в=о может быть приближенно записано в виде контурного интегрального равенства ф рои пх — р с(! О 129 й ю) ОБОБщенные Решения вдоль верхней (() 0) части контура у и замыкающего эту часть отрезка АВ оси х. Равенство <у р,и дх — р й = 0 представляет собой закон сохранения количества движения ( ~ р,и с(х — количество движения, ~ р й — импульс силы). Иногда в качестве определения обобщенного решения как раз и принимают выполнение интегральных законов сохранения в форме таких контурных интегралов су р,и с(х — р й = О, ), с( — р,и й=О.
о Второй из этих интегралов представляет закон сохранения массы, так как р — это на самом деле отклонение бр давления от состояния покоя, а для бр справедливо равенство бр=с',бр. Он опять-таки может быть получен из равенства ~ Др,и( — "+ ~)+р( —,— ф + — ф)) с(хй+ ~ (р,иф+ ),тр) с( — О, (г) о)о ~=о если выбрать ф=О, а ф — совпадающим с тем гр, которое выби- ралось прн получении закона сохранения количества движения. Форма законов сохранения Гуром г(х — р й=о, — г(х — роп И=О Р с,' ) не очень удобна для построения математической теории.
1(ело в том, что инте- гралы в этих равенствах берутся по контурам, имеющим двумерную меру нуль. Изменение же функции из ьз на мере нуль не меняет ее как элелоент про- странства бм Поэтому для функции из йз (на плоскости) значение интегралов по контуру, строго говоря, не определено. Предложенное С.
Л. Соболевым интегральное тождество (1) содержит в себе законы сохранения в форме, более удобной для строгой математики, так как неизвестные функции в нем интегрируются по двумерной области. (Интеграл ~ (роп ф+ — ф) пх содержит лишь значения и, р, задаюшиеся Р ы о с=о в качестве начальных данных). Обычно уравнения механики сплошных сред выводятся в виде интегральных законов сохранения (правда, как правило, в виде контурных интегралов), а лишь затем из них получаются дифференциальные.
Это ьюжно трактовать как первичность понятия обобщенного решения и вторичность понятия решения гладкого или, как иногда говорят, классического. 18О Сгл [ ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Отметим еще, что для нелинейных уравнений газовой динамики разрывные решения — ударные волны †мог, по-видимому, трактоваться как обобщенные решения.
Однако надо отметить, что построение соответствующей математической теории до настоящего времени не закончено. Рис. 27. Рис. 28. Теперь мы на примере простейшего гиперболического уравне- ди ди ния — + — =О покажем содержательность понятия обобщенного дг дх решения, доказав теоремы существования и единственности. Мы знаем, что общее решение этого уравнения имеет вид: и =7" (х — 7) с довольно произвольной функцией 7$).
Мы предъявляем к ней минимальные требования гладкости — требуем дифференцируемости, так как для того чтобы убедиться в том, что эта функция дей- ствительно дает решение, нам ~'Ф приходится ее производные под- ~Э ставлять в уравнения. С другой стороны,мы видим из этой формулы, что если рассмотреть последовательность гладких решений вида д и„= 7"„(х — 1) Рис. 29. с функциями 7„(9), графики ко- торых изображены на рис. 27, то обращает внимание тот факт, что эти решения сходятся к и = =7(х — г) с функцией, уже не обязательно всюду дифференцируемой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
