С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Эйлер отметил, что по смыслу задачи начальные данные и,(х), и,(х) могут быть заданы в виде двух пронзвольных кривых. Даламбер в 1750 году поспешил выступить против этого расширенного толкования его идеи, так как он подразумевал, что и(х, !) непременно должно быть выражено через х, ! аналитически. 106 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ В 1753 году Даниил Бернулли из совсем других соображений пришел к выводу, что самыми общими решениями уравнения струны должны быть решения вида Ал элса и = ~~~~ а„з(п — х соз — (1 — 1,), 1 т. е. линейные комбинации стоячих волн.
Эйлер с этим не согласился. Он сомневался в возможности представления произвольной функции тригонометрическим рядом. В 1759 году Лагранж, изучая колебания уже не струны, а аппроксимирующей ее нити с нанизанными бусинками, и затем совершая предельный переход, подтвердил результаты Эйлера, с одной стороны, и результаты, близкие к результатам Бернулли, с другой. Однако большое количество предельных переходов, которые в то время, конечно, не могли быть проведены хоть с какой-нибудь строгостью, дало основание Даламберу не согласиться с трактовкой вопроса Лагранжем. Только в 1807 году Фурье сформулировал теорему о том, что совершенно произвольная функция может быть представлена тригонометрическим рядом. !(ак это ни странно, с самыми решительными возражениями выступил против этого Лагранж, хотя его формулы почти совпадают с формулами для коэффициентов тригонометрического ряда Фурье.
Доказательство теоремы Фурье было дано в 1829 году Дирихле, которьш наложил на представляемую функцию довольно жесткие условия, носящие его нмя. В 1858 году Риман, изучая условия, при которых функция представляется тригонометрическим рядом, пришел, в частности, к своему известному определенна интеграла. Вводная глава его работы содержит увлекательное изложение истории вопроса, которое я пересказал.
Я бы очень рекомендовал прочесть эту главу. Избранные сочинения Римана переведены на русский язык и изданы у нас в 1948 году. Работа «О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда» помещена в этой книге. В заключение этого параграфа остановимся еще на одном важном вопросе, Чтобы методом Фурье можно было пользоваться для решения конкретных задач, надо указать правило для определения коэффициентов аа (коэффициентов Фурье) в разложении начальных данных задачи.
Сейчас будет описано такое правило, относящееся к разобранному примеру системы ди ! др — + — — =О, дг рв дх — „+рД вЂ”,=О. метод Фурье На решениях этой системы с граничными условиями и(0, 1) = = и(о, () =0 имеет место закон сохранения энергии: ! р,и' (х, О+ -~. рх (х, О о Он непосредственно следует из тождества интеграла энергии 5 5). Оказывается, что следствием этого закона является ортогональность собственных вектор-функций в некотором скалярном произведении, связанном с квадратичной формой интеграла энергии.
Надо только отметить, что так как наши собственные функции комплексные, то в эти формулировки надо внести уточнения, заменив квадратичную формулу интеграла энергии эрмитовой. Аккуратное изложение этих фактов из теории консервативных задач, связанных с процессами, в которых сохраняется полная энергия, будет проведено в главе !Ч. Сейчас же мы ограничимся только указанием формулы ) ~ 2 и! (Х) их (Х) + — Р! (Х) Рх (Х) 1 С(Х о для скалярного (эрмитова) произведения вектор-функций с компонентами (и,(х), Р,(х)), (и,(х), Р,(х)) и отметим, что различные собственные вектор-функции лл и,= з!и — х, 1 лл Ро — — — р,с, соз — х между собой действительно ортогональны в этом скалярном произведении. В самом деле, скалярное произведение собственных функций с номерами т, л вычисляется по формуле й Гр, тлх ..
ллх 1 / тлх ! / ллхЛ ! — оз!и — '( — !) з!и — + —,~ — р с соз ' и — р с сов — ")(с(х= 2р,ри~ оо 1 )~ оо ! )( о ! ( ро! р, ГГ. тлх . ллх тлх ллх! ( — -, если т = п, 2с( 1 1 = -'- ~ '(з!и — з!'п — +сов — соз — 1с(х= 2 ' о О, если тФп. и (х, 0) = ор (х), р (х, О) = !р (х) Как было доиазано, решение нашей задачи, отвечающее началь- ным данным КОРРЕКТНОСТЬ Итак, мы пришли к следующим формулам для коэффициентов Фурье в нашей задаче: а„= — ~ ргр(х)0„(х)+ —,ф(х) Р„(х)(с(х= ре! 3 1сг ЕРФ! о 1 р влх 1 ллх — — ГР (Х) 5!П вЂ” Г(Х вЂ” — ~ ЗР (Х) С05 — с(х, са! Л На этом мы заканчиваем наш предварительный обзор идей, связанных с методом Фурье. В главе (Ч мы подробнее разберем теорию этого метода в случае гиперболических систем с двумя независимыми переменными.
При этом мы будем существенно опираться на теорему существования решений из главы !1 и на технику так называемого преобразования Лапласа. э 8, Корректность Связь между корнями характеристического уравнения и свойствами коротких волн. Пример Адамара. Понятие о корректно и некг1рректно воставленнмх задачах. Некорректная зздача для 1равнеиия тенлонроводности. Замечания о предмете курса уравнений математической физики. Пример некорректно поставленной смешанной задачи для волнового уравнения и для уравнений акустики.
Классификация дифференпиальных уравнений с частными производными, описанная в~~ 6 (эллиптические, гиперболические, параболические уравнения), была связана со структурой характеристик — и это не случайно. Дело в том, что свойства характеристического уравнения тесно связаны с качественными особенностями поведения решений. Сейчас я постараюсь пояснить это обстоятельство, пользуясь нестрогими соображениями. Впрочем, такие нестрогие соображения, типичные для специалистов по прикладным наукам, если постараться, можно превратить в доказательство.
Однако мы не будем таких попыток делать. Рассмотрим, например, уравнение А (х, !)-у+2В(х, !) й — лг +С(х, !) л —,-+Р л" — -(-Е Эр —— г (х, !) в некоторой окрестности точки (х„, !е), которая выбрана так, чтобы коэффициенты А, В, С, ... внутри этой окрестности могли с разумной точностью считаться постоянными. Постараемся найти у нашего уравнения решения вида и = У [о (ах+ к!)!. Здесь |, т— постоянные, выбранные раз и навсегда, а р — параметр. Если взять р большим, то предлагаемая формула будет описывать очень по игл с ВВоднАя чАсть короткие волны. Подставляя эту формулу в уравнение, получим (Ат'+ 2В~Т+С$») (У" = О ( — 1.
~Р~ Увеличивая Р, мы видим, что с его ростом произвольная функция (»'(Раях+ТО] будет все точнее и точнее удовлетворять уравнению, если только постоянные з, т подчинены условию Ат'+ +2В$т+С$»=0, т. е. если вектор ($, т) направлен по нормали к характеристике. В качестве и=(/(р(йх+т()) может быть взята любая функция, постоянная вдоль прямых $х+тс=сопзЕ Эти прямые внутри нашей окрестности можно считать совпадающими с характеристиками. Очень полезно взять в качестве (»'(з) гармонику е".
Ей отвечают приближенные решения вида и =еис"Е '"Е Вещественная часть этих приближенных решений — бегущие синусоидальные волны, если ~, т вещественны. В случае, если взять уравнение с невещественными характеристиками, например, уравнение Лапласа —, + —;=0 Я +с =0), д«и д»и дх» ди» положение изменится. Среди решений вида е"'с '«н = е'»' -'- »м (это будут здесь точные, а не приближенные решения) есть решения, которые очень быстро увеличивают свою амплитуду с ростом Д Этот рост тем быстрее, чем больше Р— меньше длина волны. Для уравнений с переменными коэффициентами дело будет обстоять совершенно так же, так как «с точки зрения коротких волн» переменность коэффициентов несущественна.
По этой причине изучение уравнений с частными производными начинается, как правило, с рассмотрения модели, у которой коэффициенты постоянны. У этой модели в первую очередь удобно найти бегушие короткие волны, выяснить, растут ли они и как, а лишь потом строить строгую теорию. Разберем, в качестве примера, уравнения акустики ди + 1 дР 0 д) Р» дх др , ди -д, + Рос« д-,; = О и постараемся найти у этой системы решения вида и (»емсы»хп р Ре~ си»;Ам Подставляя формулы для и, р в уравнения и сокращая на е"" «А", мы найдем, что )»Ах должно быть собственным числом матрицы КОРРЕКТНОСТЬ а коэффициенты У, Р образовывать собственный вектор этой х матрицы.
Получаем — = -+ с,. Выберем верхний знак: Х саа. Тогда саУ+ — Р=О. Решение имеет вид ! Ра ц = — Еаа а+сап р — рсса (х+с О Р Раса Вещественные решения можно получить, отделив мнимую или вещественную часть. Выпишем последнюю: и = — — соз 1а (х + са1)1, Р Раса р = Р соз (а (х+ са1)]. Полученные формулы показывают, что звуковые гармонические волны, в том числе и короткие, перемещаются, не изменяя с течением времени сгоей амплитуды. Теперь перейдем к эллиптической системе (уравнения Коши— Римана) и посмотрим, какой характер будут иметь решения, которые строятся по таким же правилаз!, Это опять будут точные решения, так как уравнения Коши †Рима имеют постоянные коэффициенты.
Решения системы будем искать в виде ц (1ес Ямах! и РЕГ омах) с Подставляя этот вид в систему, получим У+ аа =- О, Р = — У. а Выберем а=п, л= — 1п. Тогда ц Ц елс — балх о 1(! елп!лх л л Отделив вещественную часть, найдем решения ил = у„е'л соз пх, ол =- [/се"' з!и пх. Постоянную (1„зададим формулой У„=е — т". Пример последовательности решений и„=е — ""е"'созпх, ол = е — т'" е"' з (п пх ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 1гл» был построен в свое время (1904 г.) Адамаром, который из ее рассмотрения пришел к очень важным выводам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
