С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Дело в том, что решение (и», о„) удовлетворяет при 1=0 следующим начальным данным: и„(х, О) =»р„(х) =е — ""сових, о„(х, О) = ф„(х) = е — "'" з(п пх. При и- со эти начальные данные стремятся к нулю. Более того, производные от них»Г~" (х), ф1»о(х) порядков /г=1, 2, ..., р, стремятся к нулю при и — ~-со. (Здесь р — произвольное фикси- рованное натуральное число.) В самом деле, ~р,',»' (х) = .+ и "е — "'" сов пх , если )г — четное, ф1»1 (х) = + и'е — "" ей и пх »ры'(х)=.+ и'е 1 з)ппх , если й — нечетное.
ф,',»' (х) = 1- п"е- ' " сов пх С другой стороны, и„(х, 1), о„(х, 1) прн любом 1 неограничены. Мы видим, что какую бы норму мы ни выбрали для оценки вели- чины начальных данных, мы не сможем утверждать, что нз малости этой нормы вытекает малость решения (решение здесь оценивается по максимуму его модуля). В качестве допустимых норм для начальных данных мы здесь допускаем нормы следующего вида: ~, '~р (х) '!р — — п1ах ьцр ~ »р'»' (х)!, с<»<л » ) ф (х) 1л = шах зцр , 'фоа (х) П 0<» р к Адамар предложил такие задачи назыгчть некорректными. Задача называется корректной, если она разрешима при л~обых начальных (или граничных) данных, принадлежащих к некопюрому классу, имеет единственное решение и это решение непрерывно зависит от начальных данных, Задача называется некорректной, если она разреишча не при любых начальных данных, либо если она ил~еет неединственное решение, либо если нельзя выбрать такие нормы для решений и такие нормы для начальных данных, чтобы в этих нормах и»1ела место непрерывная зависимость решения от условий задачи.
В последней формулиронке предполагается, что нельзя выбрать нормы, принадлежащие к некоторому заранее очерченному, но достаточно широкому классу. Как правило, в качестве такого класса рассматриваются нормы, включающие оценку функции и ее производных вплоть до некоторого фиксированного порядка. Пример Адамара показывает, что задача Коши для уравнений Коши — Римана является некорректной, когпектность из Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге, или задачи ! и 2 для уравнения теплопроводности — корректны. Разрешимость этих задач была нами доказана, так же как и соответствующие теоремы единственности.
Непрерывная зависимость решений от граничных или начальных условий вытекает из соответствующих принципов максимума. (Проверьте это.) Сейчас мы приведем еще один пример некорректной задачи. Пусть мы рассматриваем решение уравнения теплопроводности ди д'и д1 дхл в области !(О, 0(х(п и хотим определить это решение по тем значениям, которые оно принимает при г'=О и (х, 0) = р (х). При х=О, х=п предполагаются выполненными граничные условияя и (О, () = и (и, !) = О. Зто задача об определении тепловой истории нагретого тела по его состоянию в данный момент.
Некорректность такой задачи легко устанавливается рассмотрением последовательности решений пи (х, () = е — '~' е — ™ з ! и лх, неограниченной при тобом !(О и удовлетворяющей условиям: и„(х, 0) = ф„(х) = е — ' " з! и ах, точно таким же, как в примере Адамара. Адал1ар выдвинул постулат, что все процессы в математическоп ~ризике, которые разумно описывать дифференциальными уравнениями, связаны с корректными задачами. Некорректные задачи нам приходится иногда решать в тех случаях, когда мы хотим получить описание некоторого пропесса не по условиял, которыми он вызывается, а по некоторым его следствиям, полученным в результате измерений. Например, если мы хотим установить распределение температур в теле для ! = — Т,(0, зная тепловое состояние при (=О.
Начиная с Адамара, в теории уравнений математической физики изучаются, как правило, корректные задачи. Мы тоже будем следовать по этому пути. И, Г. Петровский выделил класс уравнений, для которых корректна задача Коши, н назвал уравнения этого класса гиперболическими. Для эллиптических уравнений, точнее для некоторого естественного их подкласса, типичной корректной задачей является задача Дирихле. Мы в нашем курсе изучим типичные примеры гиперболических уравнений и задачу Коши для них. В качестве примера эллиптических уравнений мы рассмотрим только одно уравнение — уравнение Лапласа. В качестве приме- [[4 ВВоднАя чАсть [ГЛ. ! ров задач для параболических уравнений, имеющих кратные характеристики, мы уже рассматривали некоторые задачи для уравнения теплопроводности. Приведем пример, показывающий, как можно установить некорректность в смешанной задаче.
Пусть мы хотим разыскивать решение волнового уравнения при х О, /) О, удовлетворяющее при / = 0 начальным условиям ш~г о-~~(х, у), шг(г-а=ф(х. у), а при х=Π— граничному [с,— /г[с„— /ига=О. Легко проверить, что если /за+ /а < с,', /г < О, У п р а ж н е и и е. Постройте последовательиости функций ю„(х, у, 0 из приведенных прицеров иекорректиости, отыскивая удовлетворяющие граничному условию частные рещсиия во.лиового уравнения вида щ/- Ае[ ах рачтг> и отделяя затем вещсствеииую часть. Эти примеры позволяют ннй акустики др Рас) д/ также утверждать, что для уравне- ди до + -+- — =О, дх ду ди др р — + - — =О, ад[ д до др Рпдг+ д, смешанная задача в области х)0, !)О с начальными данными р[,, и[, „о~о, и с граничным условием р+/граи+!рос=О, при х=О некорректна, если й = — с„или если й< 0, /гв+!а<с,'.
В самом деле, нетрудно убедиться, что последовательности вида дгал ! дщл ! дщл д/ ' ре дх ' " рр ду ' то последовательность частных решений [р,(х, у, /)=е ~"е " ' ' ~ мги х!СозпИ(йх+се/) — (с„'— /)в)у! свидетельствует о некоррект; ости поставленной задачи. Точно так же задача некорректна при любом !, если й=- — с„. В этом убеждает последовательность иг„(х, у, !) =е ' "е" [ср — '! йв1 Функции, Удовлвтвопяюшив интвгп, нвпаввнствям 119 где гс„— построенные выше решения волнового уравнения, являются последовательностями решений уравнений акустики, свидетельствующими о некорректности поставленной задачи. Оказывается, что при всех других вещественных значениях коэффициентов й, 1 рассматриваемая смешанная задача как для волнового уравнения, так и для уравнений акустики корректна.
На доказательстве этого мы не можем сейчас останавливаться. Более подробно рассмотрение смешанной задачи для гиперболических систем проводится в главе П. 9 9. Свойства функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам Оценка максимумз и модуля непрерывности функции по интегралам от ее квадрата и квадрата ее производных. Непрерывность «в среднемк Свойства функций из функциональных пространств, введенных в В 5.
Что надо понимать под выполнением граничных условий и удовлетворением начальных данных. две теоремы, которые вместе с теоремой дрцела прннодят к критериям компактности. « ~ о' (х) с(х «КзХ, «, к, ~ о,'(х) дх~ЮХ. «« Тогда / о (х) ', ( К+ 1., ~ о (х) ~ ( К+ 2 )/ КЕ, 1о(з) и(зх) ~~( ~ х (х, ($«~ йа (хз). (1) (2) В этом параграфе мы получим описание некоторых важных для дальнейшего свойств функций, следучощих из интегральных неравенств, которьиз эти функции удовлетворяют. Такого рода неравенства обычно удается установить для решений гиперболических уравнений в результате оценок интегралов энергии. Поэтому изучение функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам, позволяет прийти к важным заключениям о свойствах решений.
В лемме 1 мы оцениь«максимум функции одного переменного и ее модуль непрерывности через интегралы квадратов самой этой функции и ее производной. Лемма 2 обобщает такие опенки на функции двух переменных, Лемма 1. Пусть непрерывная о(х) кусочно непрерывно дифферениируел«а на отрезке х, ~хатха длины Х=х,— х, и удовлетворяет неравенствам: ые ВВОднАя чАсть [ГЛ. ! Сначала убедимся в справедливости (3): ы ы [О(ВЗ) — О(ВЗ) ~ = $ О„(Х) С[Х «$ / Ок(Х) Е(Х« «1,Г ~ о„-'е(х ~гг ~ 1с[х«)/1,',~Х ~/$:~,'.
Ь Ь Для доказательства (1) и (2) разобьем [х„хз) на и равных частей и рассмотрим произвольную точку х,(А,«х, =-х,). Она 1 пРннадлежит одномУ из постРоенных отРезков (х,', хз) длины — Х. Так как ~ о'(х) [(х« ~ о'(х) с[х«К'Х, к' 1 к то на (х'„хз) найдетсЯ точка х, такаЯ, что о [хзз'д Х«К Х~ т. е. что [о(х,)1«)к пК.
Теперь нетрудно, пользуясь (3), оце- 1 нить о(х,) (! х„— х,'( — Х): и ! о (хо) ~ « ~ о (хз) [+|о (хо) о (хз) ~ «)' и К+= Е. (4) 'Гк и В этой оценке и — произвольное натуральное число. Так как разность между квадратными корнями из двух последовательных натуральных чисел меньше единицы, )у п+1 — р = (р'и+1+ у'и)-'(1, то можно выбрать и так, чтобы (РК)ьз =)/ и - (Е1К)из+1 Из этих неравенств и из (4), учитывая произвольность х„приходим к (2). Если в (4) положить п=1, то получим оценку (1).
Лемма доказана. Лемма 2. Если и(х, у) непрерывна, кусочно непрерывно дифферен[[ируема в прямоугольнике х, «х «х„у, «у «у, (хз — хз = Х, л я! етнкпии, ядовлвтвогялошив интвгг, нвваввнствлм 1!7 у,— у,= У) и удовлетворяет там неравенствам: ~ ~ и'(х, у) дхйу(М'ХУ, им к, гпах ~ и„'(х, у) йх(Ь'/Х, и~я~я~к, е гпах ~ и„'(х, у)йу==1.л1)', х,(х<о то для нее справедливы оценки / ) ~ и (йл, тн) — и (Ем ч,) ~ « 1. ( )/ ~' ~- '+ 1/ -' "' , Ч' ~1, (5) ~ и (х, у) ~ ( М + 2Ь. Действительно, два раза применяя неравенство (3) из леммы 1, доказываем (5): 'и(йо Пл) — и(с. Чл)'-'и(5 ° л) — и(й, Цл)~+ +~ и 6„л!л) — и Д„т1,): =-"1, фУ ~ ~' ~' +1. ~ГЗ~1:.З ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
