С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Чтобы обеспечить сходимость ряда У', ( а„!+; Ь„!), достаточно предполагать л=-1 функцию ((Ч!) имеющей вторые непрерывные производные. Отметим, что приведенное нами рассуждение дает аккуратное доказательство того факта, что всякая достаточно гладкая (имеющая непрерывные вторые производные) периодическая с периодом 2л функция (Ч!) может быть представлена равномерно сходящимся к ней рядом Фурье (2), для коэффициентов которого выполнены неравенства (а„!( —,, !Ь„! ( —, сопз! сов!! Легко убедиться в том, что это доказательство, основанное на теории интеграла Пуассона, по существу никак не опирается на те сведения о рядах Фурье, которые мы использовали при предварительном разборе наводящих соображений.
Ясно, что если функция ((г) имеет непрерывные вторые производные и периодична с периодом 2(, то ее можно записать следующим равномерно сходящимся рядом: ((3) = — '+ ~, яь соз-- — + ~ ~ь 3!и —. ь=! в=! Действительно, этот случай сводится к предыдущему, если положить З!! яз з= — !р, !р= — 3= — ° 2! Т' метод ФуРье Приведенной сейчас формой ряда Фурье для Г (г) мы воспользуемся ниже в этом параграфе. В качестве другого пргмера на метод Фурье рассмотрим задачу об акустических колебаниях слоя газа толщины ((О ( х ( !) между двумя неподвижными плоскостями.
Для этого у системы уравнений акустики < ди ! др — + — — =О, д! Ро дх будем разыскивать решения, удовлетворяющие граничным условиям: и = 0 при х= О, х= й Начнем с отыскания частных решений вида и = Т (!) () (х), р=т(!) Р (х). Из уравнений акустики следует, что если такие решения существуют, то Т, Р, () связаны равенствами Т'(!) ! Р'(х) — = — — — = Л=сопз(, Т(!) ро У(х) Т (!),и (х) Т(!) " Р(х) р со — Л сопз! (Л является, с одной стороны, функцией только от (, а с другой— только от х, поэтому оно на самом деле не зависит ни от одного, ни от другого).
Отсюда Т (!) =-сопз(еи, и поэтому мы должны рассматривать частные решения такого вида: и = е" () (х), р =- ем Р (х). Очевидно, что для () (х) должны быть выполнены граничные условия () (О) =() (!) =О. Подстановка решений указанного вида в исходную систему дает для (), Р обыкновенные дифференциальные уравнения Общее решение этих уравнений имеет вид ох Хх (! = Ае'о+ Ве ох х Р = — росоАе" + росе Ве 'о. юо 1гл 1 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Постоянные А, В определим из граничных условий и (0) = и (1) = О.
Эти условия приводят к однородной системе линейных уравнений А+В=О, и и Аесс 1-Ве сс = 0 которая имеет ненулевое решение, лишь если 1 ~ и и Лг и=, с,,= 25,1 =0 со е 1 Ас(Л) = и Есс ол .ол ~ — с — С вЂ” с и .е — е е с =Е Ал =151п — Х, 1 .Ал ол — — — с е ~ +е Р = — Росе 2 ол = — Роео СО5 — Х. Значения параметра Л, при которых задача ли+ — — = о, 1 еР Ро "л ЛР+р„,-;",'! 0 и (о) =и(1) =о имеет нетривиальное решение, называ1отся собственньыеи значениями, а соответствующие решения и (х), Р (х) образуют собственную нектар-функциса.
Мы установили, что собственные значения и собственные функции даются формулами "лсо Ло=( ', ил=15(п — , "х, Р,= — рс,соз — х, и тем самым показали, что частных решений лес и, = е "" и, (х), р, = е " Р» (х) будет бесконечно много. Ясно, что любая конечная линейная комбинация и = 'у, 'аоио, р = ~'', аоро, о о т. е. если Л= — ' ()е — целое). Постоянные А, В при таких Л определяются с точностью до произвольного множителя. Мы можем положить А =1с2, В= — 1/2. Тогда 1О1 мнтод аррьа т.
е. также удовлетворяет системе ди ! др — + — — =о, д1 рс дх др, ди д1 + Ро~сд и граничным условиям и (О, 1) =и ((, 1) =О. Для системы ди 1др — + — — =О, д1 рс дх др ди д1 + Риеодх и(0, 1)=и(1, 1)=0 обычно решают задачу с начальными данными и (х, 0) = ср (х), р (х, 0) = ф (х). Аппраксимируем вектор-функцию (~р(х), ф(х)) конечными линейными иомбинациями (~~ ) ~ах(р" ). Естественно ожидать, что решение й (х, 1) = ~ аие'"и' Уи (х), р(х, () = аале «'Ри(х) будем аппроксимировать разыскиваемое решение и(х, 1), р(х, 1). Мы сейчас ограничиваемся только не очень аккуратными формулировками, которые нужны для понимания примера.
Стро- гая теория будет построена немного дальше. Остановимся еще на следующем обстоятельстве. Рассматривая вещественную систему с вещественными граничными условиями, мы построили у нее комплексные частные решения , илс, — илх . илс, .
йл , илсс . лл ии = (е ' з(п †" = 1 соз †" ' 1з1п — х — з1п †' ( з1п — х Слс, Ри= — р сие 1 соз — х= — р,с ~соз — (соз — х+(з(п — (соа — х). илсс ил .. алсс аи о 4 4 !ГЛ. ! ВВОднАя чАсть Ясно, что линейная комбинация "~:)- "(:!::) "(:-'.::) является также линейной комбинацией вещественных частных решений йлсо . йл — 51П вЂ” ! 51П вЂ” Х 0 йлсо 1ол Росо соз — 1соз — х, олсо . «л СОЗ ! 51П вЂ” Х Ро+Р о 1олсо 10л Р с 51п — ! соз — х, о о 1 Ро — Р-о 21 Наоборот, любая комбинация этих вещественных частных решений будет комбинацией комплексных решений (а„, ро).
Использование комплексных решений удобно для упрощения выкладок. Решения вида КЛ СО ~ ~СО (и) 1 1 + 1 ~! = а у — 51П вЂ” ! 51П вЂ” Х соз — ', 151п —, х +ь соз ' ! + ) 51п -"- х »Г = Р' а'+ 60 ( »лспо (1+«) Фл !1 — р с 51п ' соз — х о о описывают так называемые собственные колебания слоя газа, заклюи ченного между неподвижны«1и плоскостями х=О, х=(, или, как иногда говорят, — сл«оячае 0 волны. Графики распределе- ния скорости и давления в такой волне в некоторый момент времени приведены на рис. 24. Название «стоячие волны» подчеркивает тот факт, что для таких колебаний точки, в которых амплитуда ско- рости и (или давления р) Рис.
24. равна нулю (узлы) или экст- ремальна (пучности), все время остаются в одних и тех же местах. Отметим, что в «узлах» скорости амплитуда давления максимальна. Нужно также ука- метод ФуРье зать, что колебания давления сдвинуты по фазе относительно колебаний и. Перейдем к обоснованию метода Фурье для системы уравнений акустики.
А именно, покажем, что решение этой системы с условиями и (О, () = и ((, 1) =0 и при некоторых дополнительных ограничениях на начальные функции и(х, 0) и р(х, 0) представляется в виде бесконечной суммы частных решений системы, описывающих стоячие волны. В $ 5 мы установили, что если ф(х), ф(х) имеют непрерывные первые и вторые производные при О (х(! и удовлетворяют условиям согласования р(о)=о, ф(1)=о, Ф" (о)= р у)=о; ф (о)=ф у)=о, то решение уравнений акустики имеет вид ((х — пЯ)+г (к+се() ) (х — с4) — у (к+се() и= 2 Р = рсоа 2 здесь 1(г), г(г), дважды непрерывно дифференцируемые периодические функции с периодом 21 ) (г+21) =1(г), г (г+21) =у(г), связаны равенством 1(г)= — г( — г).
Как известно, всякую достаточно гладкую периодическую функцию можно разложить в равномерно сходящийся ряд Фурье: аз 'с йл чч -, Ьл 1 (2) — .2 + аь сок 2+ ()ь з1п — 2, а=1 ао %1 йл ъз . йл Д(2) = — + г ае сок - — 2+ й ()» 51п — 2. =2 й (Мы уже отмечали, что доказательство этого факта вытекает, в частности, из рассмотрений начала этого параграфа.) Условие 1(г) = — д( — г) накладывает на коэффициенты соотношения аа =- — аю ра = ()ь в силу которых а, Сз Дл ЧЧ . йл ((2) = — — — й аа соз — 2+ й Р» Я!п — 2 2 а =-1 а=! ае %~ дл %~ , дл д(г) = — + й а, соз — г+ й ра з(п — г.
а=1 а=1 Коэффициенты а„, ()а УДовлетвоРЯют неРавенствам ) ае) (сопз111ге, ) Ре) (сопз(1ка, вытекаюЩим из непРеРывности втоРых пРоизвоД- (гл, ! ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ных Г, д". Для решения 1(х — са1) +я (х+с,1) и= 2 > ! (х — с>1) — с (х+ са() Р = Раса 2 мы приходим к представлению ГГ Ал Ал и= т аа — (соз — "(х+са!) — соз — (х — са!)~+ 2 ~ + 7 ра 5!и (х+са1)+5!и — (х — са!)]> 1 Г . Ал .
Ал р — — а, — а„— сов — (х+ с,!) + сов — (х — с„!) ~ + Ал а=! + ~~ ра 5!и (х+са1)+81п (х са!)1 р;. Г . Ал . Ал а=! ( перестановка членов, производившаяся прн получении этого представления, законна в силу равномерной н абсолютной сходимости рядов, вытекающей из неравенств СОП5! СОП5! > (аа!( —,, > ра( Аа ). Тех! самым получено представление решения через комбинацию вектор-функций ( ;:) =(') иа ! 1 с05 — (х+ са1] — 005 — (х — са1) Ал Раса ~005 — (х+ са1) + соа — (х — с>С)~ ! Алса! ! ! . Ал с05 — (1+ — ) Мп — х 2са) ! — р„с, Мп — !1+ — ! соа — х 1 ( 2са! Ал Фл и,~ ! Г ' '1 Мп — (х+ са!) + Мп — 1х — са1) 2 а! раса) — Мп — (х+саб+5!п — '(х — са()~ 1 а 1>лса . Йл соа — 1 Мп — х 1 1 Сиса Ал — раса 5>п — 1 соа — х 1 каждая из которых является стоячей волной.
105 метод Фувье Тем самым мы показали, что любое решение системы уравнений акустики, отвечающее достаточно гладким начальным данным и(х, 0) = р(х), р(х, 0) =кр(х) таким, что р(О)=р"(0)=ф'(О)=р(1)= р"(1)=ф (1)=О (это условия согласовання начальных данных с граничными условиями и(0, !) =и(1, !) =0), может быть разложено в равномерно сходящийся ряд по частным решениям — стоячим волнам. Обоснованне метода Фурье для рассматриваемой задачи закончено. Теперь немного истории. Метод, который носит название метода Фурье, возник еще в 18 веке при изучении уравнения, описывающего колебания струны.
Это уравнение точно такое же, какое получается, если нз системы ди ! др — + — --=О, д! ро дх др, ди др+росо дх 0 исключить одну из неизвестных функций (например р), Так мы приходим к уравнению (3) В нашей задаче и(х, !) удовлетворяет граничным условиял! и(0, !) = и (1, !) =- О. Этны же условиям удовлетворяет отклонение струны, закрепленной на концах.
!В 4 5 мы получали уравнение такого же вида, как и (3), исключением не р, а и.) Изучая уравнение колебаний струны, Даламбер в 1747 году показал, что его общее решение имеет вид и(х, !) =! (х — со!)+д(х+со!). В 1748 году Эйлер выразил 1, р через начальное отклоненпе струны и,(х) и через ее начальную скорость и,(х), получив формулу -!-ссС ио (х+со!)+и, (х — соО + 1 (' 2 2со к — с„! которую мы теперь обычно называем формулой Даламбера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
