С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 16
Текст из файла (страница 16)
дхг ди1 ди дги Уравнение теплопроводностн — — — =0 имеет в качестве дт дхг уравнения характеристик уравнение $г=О, распадающееся надва совпадающих уравнения. Оно относится к промежуточному между эллиптическим и гиперболическим классу параболических уравнений. Мы не будем приводить определения параболических уравнений, а лишь отметим, что в это определение входят не только коэффициенты при старших производных, но и некоторые другие коэффициенты, 92 ВВоднАя чАсть В заключение параграфа укажем на следующее обстоятельство. Несмотря на то, что переход к новым неизвестным функциям и замена уравнений их линейными комбинациями оставляет харак- теристики неизменными, бывают случаи, когда для описания одного и того же явления могут употребляться уравнения и системы, имеющие разные характеристики.
Приведем пример. Уравнения акустики ! др ди до — -+р — +р -=О сох д! едх аду= ди др р —,+ —,=О, о дт дх до др р — + — =О е д! др если первое нз них продифференцировать по ! и вычесть из результата второе и третье, продифференцированные соответственно пах и по у, приводят к одному уравнению второго порядка: ! д'р дар д'р — — = О. с! д!г дха дра Его характеристическое уравнение гр,' — с,' (<р,а + гр',) = О отличается от характеристического уравнения исходной системы грг !ф!е — се (грха+ грие)) = О. В этих преобразованиях использовалось дифференцирование, которое не включалось в число преобразований, оставляющих характеристики инвариантными.
5 7. Метод Фурье Схема метода Фурье для уравнения У!апласа и его обоснование. Метод Фурье для гиперболической системы уравнений акустики. Представление реше. ний в виде сух|мы стоячих волн. Пересказ вводной главы из работы Римана, посвященной истории метода Фурье. Ортогональность собственных вектор-функ. ций и вычисление коэффициентов Фурье. В этом параграфе мы опишем идею так называемого метода Фурье. Этот очень распространенный метод решения дифференциальных уравнений, к сожалению, не является универсальным. Он применим только к линейным уравнениям некоторого специального вида, позволяющего построить для этих уравнений достаточно богатый запас частных решений. Линейные комбинации этих частных решений затем применяются для того, чтобы аппроксимировать более или менее произвольное решение, 93 метод етиьв д'и д'и Рассмотрим, например, уравнение Лапласа — —, + —,=0 в круге х'+у'()т'.
Нам будет удобно, перейдя к полярным координатам г, р(х=гсозф, у=ге(ну), записать это уравнение в форме а затем искать его частные решения вида и (г, р) = А (г) В «р). Подставив эту формулу в уравнение, будем иметь — [гА'(г))' Вйр)+ (') В" Ор)=О и, далее, г (гА ' (г)!' В" «р) А (г) В (е) Так как из этого равенства ). должно зависеть, с одной стороны, только от г, а с другой — только от гр, то необходимо, чтобы оно ни от одного, ни от другого аргумента не зависело, т. е. было бы постоянным.
Уравнение — ч'~ =л в«г) = или, что то же самое, В-+),В(р) =О имеет общее решение В (гр) = с, з ! и ()г )ир) + сэ сох ()г'Ьр). Очевидно, что В (гр) должно быть гладкой периодической с периодом 2п функцией от гр. Для этого необходимо и достаточно, чтобы )Г). было целым числом и, т. е. чтобы ).=и'. (Докажите это.) Уравнение г [гА ' (г)]' — и'А (г) = 0 для множителя А (г) является так называемым ураеиениелг Эйлера, Его общее решение (при и~О) А (г) = с,г" + с,г"". Итак, мы пришли к решениям уравнения Лапласа, имеюшим вид и (г, ф) = А (г) В(гр) =(свг" +с4г") (с1 31п пф+сэ соз пф), Частные решения и = г-" в!и пу И=гаисозпгр, 94 вводная часть [гл. ! получаются специальным выбором постоянных (сз=с,=1, с,=с,=О), (с,=с,=1, с,=с,=0), (сз сз 1 сг са 0) (сз сг 1 сз сз 0) Решения г."сов л!р, г "з)ишь, имеют особенность при г=О, и мы постараемся обойтись без них.
Добавим к набору частных решений г" сох п<р, г" з!пп<р еще частное решение и=1, являю- щееся ограниченным решением, отвечающим з - ° ---- - ",'Разы- скивая его в виде и(г, !р)=А(г)соа(0 Ч!!=-, 4 ь замечаем, что ограниченное решение уравнения г [гА' (г))' = 0 получается из общего А(г) =с,+сз!и г лишь при сз — — 0) Линейная комбинация построенных частных решений и(г, ~р) = — + — (а„сох пгг+Ь„з!ппгр), очевидно, тоже будет решением уравнения Лапласа. Интересно, что если считать постоянные аз а„ам а„. Ь, Ь„ Ь~ .
ограниченными, то линейная комбинация бесконечного числа слагаемых и(г, Ч!) = — '+ т — „(а„сох пр+Ь„зп!г!Ч!) является при г(й' решением уравнения Лапласа. В самом деле, этот ряд можно переписать еще так: ее яч!+! мя !!т) (а„— га„) и(г, !р) = — -+ г йе /'3 П Ряд Ю вЂ” + ~> — "„" (х+ (у)" = ш (х+ !у) = ц! (г) является рядом Тейлора с радиусом сходимости не меньшим, чем Й. Отсюда следует, что внутри круга сходимости функции н!(г) — аналитическая, и Ке н! гармонична.
мв'»оп»'угьй Если предположить равномерную сходимость ряда и (г, »р) = — '- + ~~~~~ — „(а„сов п»р + Ь„з 1п вр) »=! вплоть до границы круга г= )т, то для граничных значений и (Я, ф) =Г(»р) мы будем иметь представление рядом Фурье ! (»р) = — ' — + ~! (а„соэп<р+Ь„з(оп»р). =! Как известно, коэффициенты Фурье а„Ь» вычисляются по фор- мулам а»= — ~ !'(~р)соэй»р»(»р, /г=О, 1, 2, ..., л, ..., о Ь»= ~1(»р) з!и/г»р»(»р, /г=1, 2, ..., л, .... О Для того чтобы обеспечить равномерную сходнмость рядов (1) и (2) (первого в замкнутом круге г==..!х), достаточно предположить непрерывность вторых производных у 1(»р). Интегрирование»! по частям можно убедиться в том, что при этом ! а, = — —., ~ !'" (»р) соэ й»р»(»р, 0 ! Ь»=- — „, 1 Г(»р) э!пй»р»(»р, о ! а», ( "» и ~ Ь» ( "ь'" а» .= — ! ~ (~р) сов Ьр»(»р, ! г О /г=0,1,2,...,п,..., - ! ! (!р) гйп 1: »(»р, ! !' й=1, 2, ..., и, Эти неравенства обеспечивают сходимость.
Таким образом, для любой достаточно гладкой Г(»р), заданной на границе круга О~г==)т', законно следующее построение решения задачи Дирихле: 1'. Вычисляем коэффициенты Фурье 1(»р) по формулам !гл ! вводи»я '!ость 2'. Используем эти коэффициенты при составлении »линейной комбинации» и(г, ер)= 2' + ~,-'- — „(а„созлер+й„з!плер)= «=1 — +,) !1«г сов пер+ р ~" г«з!и пер «=! «=! л(гсозер, го!'пер) = о« 1 !' 1 — — ~ ) (а) е(а+ 2« о 2« ) (и) йе!«Ки ! )(и) Ре '«е)и + 2л е ~>е-'о — ге-«е о яе~«ге«е о ) (и) Яе'а е)и о о о« )ое!а — яе 1 ~ — — + .
1!(а)!йх =лещ, я 2 Ле!и ге!«) о разложив подынтегральное выражение в ряд Тейлора по степе« ням —: й ' г — — + 1)(а) = — )(а)+ ~~) (- -~ Е'"!Ч-и))(а). 1 — — — е' «Е-о г «=! Этот ряд можно почленно проинтегрировать н перегруппировать частных решений уравнения Лапласа. Мы доказали, что построенная функция л(г, ер) является в круге г= ес решением задачи Дирпхле для уравнения Лапласа с граничным значением ) (ер), если функция р'(ер) достаточно гладкая. Сейчас мы покажем, что описанная процедура применима для любой непрерывной р'(ер), совсем не обязательно днфференцируемой. Есть примеры, показывающие, что ряд Фурье для непрерывной функции может не сходиться к яей равномерно. Несмотря на это, мы покажем, что полученный при помощи нашей процедуры ряд для решения задачи Днрихле сходится к этому решению равномерно в любом круге г =" Йо= Й радиуса )с„о!еньшего )е.
В ч 2 решение задачи Дирихле в круге при любой непрерывной р" (ер) было построено с помощью формулы Пуассона. Воспользуемся комплексной формой этого решения 9! МЕТОД ФУРЬЕ слагаемые: 2п 1 ГГ ! йе2о п2(х, у)=и!(»соз!р, гз)пгр)= — ~ ~ ~— — + ., 1~(а)о(а= 2 »ое2о — ге!в о 2п 1 Г = 2 — ) 1(а)е(а+ 7„( — 1 — „~ (созперсозпа+з(опора(ппа)~(а)е(а+ о Ъл»»1л! +! ~~ (--) — „(з(ил!рсоа па — з!ппа сов п!р)1(а) о(а= ~(и) + ~~~ л г (СОз!р+! юп ор)л= — + ~~~~ л (Х+!у)л л=! л=! Через ал, ул мы обозначили интегралы 2п ил= — ~ )(а) сов па»(а, п=О, 1, 2, ..., 1 о Ьл = -- ~ ((а) з(п па е(а, и = 1, 2, ..., 1 о совпадающие с коэффициентами Фурье. Тео! самым показано, что для любой непрерывной 1'(ер) формула решения задачи Дирихле и (х, у) = Ке '-" + 5' '", „' " (х+ (у)л л=-! представляет собой просто другую запись формулы Пуассона. Следовательно, справедлива формула (1) и обоснован метод Фурье. Выделяя мнимую часть из ряда и!=и+ба=- о-+» —" „" (х+!у)", найдем гл о(х, у) = т — „( — (2„созпгр+а„з!пп!р).
=! 2'(ы обосновали правило Фурье построения гармонической в круге функции и (х, у) по ее непрерывным граничным значениям. Более того, мы дали также ряд для построения о(х, у) — гармонической функции, сопряженной к и (х, у) и связанной с ней соотношениями !гл. ! вводная часть Коши †Рима Из этих соотношений видно, что функция в(х, у) определяется по заданной и(х, у) однозначно, с точностью до произвольной постоянной (однозначно определяются о„о,). Мы доказали тем самым, что аналитическая в круге ~х+!у'(Р функция ш восстанавливается по непрерывным граничным значениям ее вещественной части однозначно, с точностью до произвольного постоянного мнимого слагаемого !С. Нам будет важно для дальнейшего заметить, что если числовой ряд !,' (!а„~+~Ь„!) сходится, то ш л=! как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций будет непрерывной в замкнутом круге!х+!у!==)т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
