С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 20
Текст из файла (страница 20)
21.. (5') Начиная доказательство второго утверждения леммы, заметим, что из неравенства ~ ~ и' (х, у) йх с(у ( МХУ, ив очевидно существование точки (х„, у,), в которой (и (х„у,) ((М. В произвольной (х, у) ~ и (х, у) ~ ( ~ и (х,, у,))+',и(х, у) — и(х„у,) ~(М+2Ь. Лемма 2 доказана. При изучении гиперболических уравнений нам удобно пользоваться не самими неравенствами, сформулированными в леммах 1, 2, а легко выводимыми из них следствиями, содержащимися в леммах 3, 4. После этих лемм мы схематически наметим, как утверждения лемм 1 — 4 будут использоваться в теории гиперболических систем. Лемма 3. Для кусочно непрерывно дифференцируемой в прямоугольнике 0~я-= 1, 0(1(Т функции и(х, 1) и для любых 118 сгл 1 вводнАя чАсть 0 ( сс ( (2 ( Т, 0 ( 1 ( Т имеют место неравенства: т с ~ 1и (х, сс) — и (х, 1,)]' ссх ( ~ 1, — 12 ~ ~ ~ ис (х, !) с(х ссс', о о о с т с Г2 С и' (х, 1) с(х( — ~ 1 и' (х, с) с(х й+ 2Т ] ~ ис (х, 1) с(х с(1, ЪВ о о с тс ,гтс и'(х, 1)с(х -8 1сс ~ ~ и'(х, 1) с(хс(1 1/ ~ ~ и,'(х, 1)с(хй-(- Ъ о Ъ о тс + ~.
~ ~ и' (х, У) с(х сУ. о о Доказательство первого из них получается интегрированием по х неравенства т (и(х, 12) — и(х, !2)]'== ~12 — !2!~ ис (х, 1)И~11,— 1,) ~ и,'(х, 1)Л, о которое, по существу, уже использовалось (в других обозначениях) при доказательстве леммы 2 и леммы !.
Второе и третье вытекают из результата интегрирования по х неравенств: / т ~( ]ио(х, С)си т +1 и'(х, 1) ( Т ~ ис (х, 1) сУ Ъ 2 ~т доказанных в других обозначениях в лемме 1 (неравенства (1) и (2)). При этом надо воспользоваться неравенством Буняковского, с „),, ))~12)с ! ')*, ))2) )с о т 2 т ]=й о о ~ и' (х, () Й+ 2Т ~ и,2 (х, с) Ж, о ,о т 2 ис (х, () й+ ,,г г и' (х, 1) й ф ~ ис (х, 1) с(с -1- а г + —, ~ ио(х, 1) а)с, о о г! Финкции, удовлвтвоаяющив иитвга. нвалввнствлм 119 в силу которого с, т Гт ~ )сс ~ и' (х, 1) й )ст ~ и,' (х, 1) Н с(х ( о о о Гт Ттс ( ~/ $ $и'(х, 1)с(хс(1 ),Г $ $ и,'(х, 1) с(хсй.
о а о о Утверждения леммы 3 допускают несложное обобщение на функции и(х, у, 1) трех переменных О=х= 1, О==.у(лс, 0(1~Т, которое мы сформулируем в виде леммы 4. Лемма 4. Имеют место нериеенеисеи ~ ~ 1и (х, У, 1,) — и (х, У, 1г))г с(х с(У ( оо стт ( ~ 1с — 1г ~ ~ ~ ~ ис (х, у, 1) с(хс(ус(1, ооа тт ~ ~ (и (х„у, 1) — и (х„у, 1))' с(у й = оо стт ( ~ х, — х, ~ ~ ~ ~ и,' (х, у, 1) с(~ ссу й, о о а ~ $ иг(х, у, с) с(хс(у— оо стт — -~~~ '( у 'ого с т 1) с(х с(у й + 2Т ~ ~ ~ и', (х, д, 1) с(х с(у й, 'аоо ~ ~ иг (х, у, 1) с(х с(д =.
оо т / стт =8 )сс ~ ~ ~ и'(х, у, 1) с(хс(уй ~сс ~ ~ ~ и',(х, у, 1) с(хс(ус(1+ о о о ого С тТ + ~. ~ ~ ~ и (х, у, 1) с(хе(ус(1. ого Первое, третье, четвертое из них доказываются дословным повторением доказательства леммы 3, в котором и(х, 1) надо заменить на и(х, у, 1), а вместо интегрирования по х от 0 до с выполнить интегрирование по х, у в прямоугольнике О~х~ 1, .0 ( у ( лс. Второе же отличается от.первого лишь обозначениями. 120 Егл. ! ВВОДНАЯ ЧАСТИ Простые, но важные оценки, составляющие содержание лемм 1 — 4 будут существенно использоваться в дальнейшем при построении теории гиперболических уравнений.
В 2 5 при изучении решений гиперболической системы (уравнений акустики) мы ввели функциональные пространства Ф, ЕЕ вектор-функций (со, ф), (и, р), норма в которых определена равенствами (1) — )! ((О'(*(!-О'( (О(О'((т~.(('( (3(с* о Г т! ~(а)~~ = ~ус ~ ~ (и'(х, Е)+р'(х, Е)+и(+и,"+р(+р„'] с(хсЕЕ+ О О Г! + гпак ~тт ~ (ио(х, Е)+ро(х, Е)+и((х, Е)+ЕО! (х, Е)]с(х. о ! т Для уменьшения громоздкости удобно считать, что каждая из компонент сЕ((х), ф (х) лежит в пространстве, норма которого определяется равенством: / ! ]ср]= 1/ ~ ((ро (х)+ (ср' (х)1'(с(х, О /! ] ф )( =- 1,т ~ ((Е(О (х) + 1ОР' (х)1", с(х.
о Ил(енно такое пространство скалярных функций лты будем теперь обозначать через Ф: 1((О1(,! = ~/ ~ ]сро(х)+((Е('(х)]О] с(х. О Точно так же мы будем считать, что компоненты и(х, Е), р(х, Е) лежат в пространстве ЕЕ скалярных функций с нормой (! т! ](и]н= 1! ~~1ио(х, е)+и(1(х, е)+иО(х, е)]сехсее+ оо ,Г ! + (пах ~ут ~1ио(х, Е)+и".„(х, Е)]сЕх. о -(~т Из неравенства Буняковского для кусочно непрерывно дифференцнруемых (Е((х) имеем (см. лемму 1): 1ср (хо) — ср (хо) ! ~ ]тт / х! — хо / 1(р ]со, э и еэнкции.
тдовлвтвояяющив интвги нвяаввнствхм 121 и следовательно, любое множество достаточно гладких функций (~р(х)), имеющих ограниченную 'норму ~(ср~)э(М, удовлетворяет одной и той же оценке непрерывности ~ р(х,) — р(х,)1<Р'~х,— «.,).М. При пополнении пространства Ф с помощью обычной процедуры, принятой в функциональном анализе (см, ссылки, сделанные в 2 5), мы сопоставляем каждому элементу пополнения последовательность функций !2,(х), фундаментальную по ) ((ь (точнее, сопоставляется класс эквивалентных фундаментальных последовательностей). Например, можно считать, что 1 1 ~~Ч~/ !РФ~~Ф~ 1 1+( 1 ! ° Все такие !р! имеют ограниченную норму: 1 р!~! =12! — р1+ ! 1е=,'!ч — 2.1е+1 р1~~ ~ 1-(-! !+1 ~~гг~~~ 2 +(( Р1(~'э ! 1 2 и поэтому (~р;(х,) — <р!(х,) ~(М Р ~х, — х, (. Мы будем говорить, что элемент !р пополнения удовлетворяет условиям !р (0) = р (1) = О, если можно подобрать сопоставленную ему последовательность ср!(х) такую, что гр,(0) =!р,(!) =О.
Для таких (р,(х) ~ ср, (х) ~, = ~ ф! (х) — ~р! (О) ~ ( М )/ х, !ср,(х); = ~ср!(х) — срг (1) ~, ( М р 1 — х, ~ср,(х)~ < М гпах () 'х, к'Т вЂ” х) < М фг — , ~ в Г,) — е ( .) ! ( л4 гтрк, — *. 1; кроме того ~%(х) !р~(х) <)!р! — чъ~~Ь ~ 2 <~ — !+ь !) ~/ Ь+! Последовательность !р, (х) оказывается последовательностью непрерывных функций, фундаментальной относительно равномерной сходимости. Предел этой последовательности является непрерывной функцией, обращающейся в нуль при х=О, х=1.
Именно это и служит оправданием нашего распространения понятий ср(0) =О, ср(1) =0 на пополнение пространства Ф. Функции, достаточно гладкие и имеющие ограниченную норму пространства У фи(хэ 1)Яи~М ВВОДНАЯ ЧАСТЬ пл, т (ограниченную одной и той же постоянной М), являются в силу леммы 3 «равностепенно непрерывными в среднем по Рь Под этими словами мы понимаем выполнение для всех таких функций неравенств: ') (и (х, (,) — и (х, к«Ц' дх ~ ( ~, — к«) !) и )о ( ~ ~, — (, ~ М'. ь В частности, если /!ит)(М, и;(х, О) =кр, (х), то 1 $ (и; (х, (,) — кь, (х))к дх ( / ( ! М.
(6) О При переходе к пополнениям пространств У, Ф мы будем гово- рить, что элемент и еп У удовлетворяет при ~=0 начальным дан- ным кр ~ Ф, если для всех членов фундаментальных последова- тельностей (и,), («рг), сопоставляемых этим и, кр, выполнены нера- венства (6). Сформулированные сейчас определения появились как след- ствие точки зрения, согласно которой элементам пополненного пространства приписываются свойства, выражаемые неравенствами, которые выполнены равномерно (с одними и теми же постоян- ными) для всех членов фундаментальных последовательностей, сопоставленных этим элементам.
Мы не будем развивать эту точку зрения подробнее, ограни- чившись приведенной здесь качественной формулировкой и разоб- ранными примерами. В заключение параграфа приведем две теоремы, которые используются в следующей главе при доказательстве теоремы существования. Первая из них относится к функциям от двух переменных х, Т, а вторая к функциям от трех переменных х, у, ~. Изучив эти теоремы, читатель без особого труда сможет сформулировать и доказать их обобщения на случай, когда неза- висимых переменных еще больше. Теорема !.
Непрерывная в прямоугольнике хт ( х ( х, = х, + Х, (~т~(,=(,+т функция и (х, ~) с кусочно непрерывными производными (непре- рывными в каждом из многоугольников, которые в конечном числе покрывают прямоугольник), такая, что при всех ( кк ~ и«(х, () дх ( М'Х, к~ к, кк к'.«Х и'(х, ()дх~х. ~ и)(х, ()дх- т,, к, к, % О! ФУНКНИИ, УЛОВЛЕТВОРяюньие интегР. НЕРЛВЕНСтвлМ !25 Удобно начать с замечания, что из неравенства д,«, ) ) из(х, у) с(х с(у» МзХ)г д, «, можно вывести существование при каждом (=Го такой точки хо, уа, что (и(хо, уо, Го) !» М.
По лемме ! (неравенство 3) для любых х, у из нашей области следует: ! и (х, У, Го) — и (хо, Уа, (о) !» ! и (х, У, Га) — и (х, УФ Га) 1+ +!и(х Уа (а) — ™(ха Уо «о)!»Е.()/ +1дг )»2Е.. Г ! — . ! Г! У вЂ” У. ! '! Х Тем самым ! и (х, у, (а) !» М+2Ь и вследствие произвольности «а первое утверждение теоремы 2 доказано. Из леммы 1, кап мы уже отметили, следует оценка непрерывности по х, у: 1и(я! Ч! 1) и(ьз Чз Г)!»!. (рг Х + )г у - гг! Ь вЂ” йз ! а гг ! о) — «)з ! ! и нам остается лишь доказать, что при произвольных хо, уо 1тз — т, ! ! и (хо Уа т!) — и (хо Уо. тз) ! » б Выберем любой параллелепипед: х,' » х» х'„ У!»У»уз т;»(»тз, лишь бы х,' » ха» х„', у', » уо» у'„и установим неравенство: с,«', до «, д, ьзХУ (~о!не !«ь..)!5 ) ч!..! !.;~ -а.-„>~ с, «'д' ! с, ) «, д, Далее, «' д' с, «з дз ) (и(х, у, тз) — и (х, у, т!),'Йс(у») ) ),'ис,'с(хс(усу» «' д' ! ! с, с' д' ! Гс гид' «Гс, «' до »~/ ) ) ) и«с(хс(ус(!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
