С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 23
Текст из файла (страница 23)
о<и — «< о Для доказательства вспомним, что каждую функцию, интегрируемую с квадратом на [О, 1), можно как угодно точно прибли. 137 ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ вить (в среднем) полиномом. Пусть и„(х) — такой полипом, что [и„(х) — и (х1(О с(х( — „. О Очевидно, что и„(х — с) будет гладким решением уравнения ди„ дио — + — = 0 и, вследствие этого, удовлетворяет тождеству дС дх 1 и„ (х — 1) ( дс + д ) сзх с(1 + ) ср (х, 0) и„ (х) с7х = 0 о< — с<! с>о с любой допустимой ср. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что для каждой ср существует такое Т, что ср(х, 7) =0 при 1>.Т и что, следовательно, И и„(х — () Я + ~~~)с(хс(7+ [ ср(х, 0)и„(х) с(х=О. о< -с<! о т>с>~о Воспользуемся теперь тем, что 1 с! 1оСо ос .1!с* — 1ооо ос ~о!с*/~ о О Г! Г 1 Г1 ( ~7с $1р'(х, 0) с(х 1ст $(и„— ио)ос(х( — 17с )сро!х, 0) их, о ') Л ".(-'~(-"- У)" "'- О<к †1 т>с>о — ио(х — 1) ( — [ + --~-) ссхс(1 ( О< — 1<1 Т>С>О 1 й + д ) с(хс((' 1ссТ Т ~ (и„— и,)'с(х=О( — '), У О< — С<1 о Т>с>0 ! и„(х — 1) ~ дГ + --~-) 17хс(с+ ) и„(х) ср(х, 0) с7х= О, О<х-С>1 о с>т [гл.
! ВВОДНАЯ ЧАСТЬ и установим равенство: ! иа (х — () ( дт + — ~ ) с(х Й + ) на (х) !р (х, 0) с(х = О, о<а †! о г>о которое доказывает, что иВ ма(х — !) является обобщенным решением. Теорема существования обобщенного решения задачи Коши ди ди для уравнения — + — = 0 доказана. дт дх Задача. Докажите непрерывную зависимость обобщенного решения от начальной функции иа (х).
Сделаем еще следующее замечание. Мы определяли обобщенные решения как функции пространства с нормой г+ ! ')'и)= ф/ шах ~ иа(х, 1) с(х, которое может рассматриваться как пространство, полученное пополнением по этой норме пространства гладких функций. Для элементов такого пространства нельзя сформулировать каких-либо условий непрерывности по й Поэтому приписывание этому решению начального условия и (х, 0) = иа (х) может показаться некоторой натяжкой. Из приведенного рассуждения вытекает однозначность сопоставления ио(х) — ьи(х, 0, но совсем не следует, что и(х, 0) с иа(х) совпадает. Чтобы избежать такого рода неясностей, удобно предположить, что и(х, 1) лежит в каком-либо более узком пространстве, элементы которого в некотором смысле непрерывны по и Например, функции пространства У с нормой ,г т !-ь! ')и(и= юг ~ ~ (иа(х, !)+и!з(х, О+и,'(х, 0)с(хй+ о ! -!- ! + юг шах ~ (из+и„')с(х из-за неравенств леммы 4 З 9 непрерывны в среднем по й !+! т г+! ~ [и(х, 0 — и(х+б, (+6))зс(х (б~ ~ (и,+и!)ас(хс(з=.=26'(и(п.
а ! Мы уже поясняли, что это свойство непрерывности переносится и на пополнение У. Правда, обобщенные решения из У уже ие 1за з Бв ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ будут содержать разрывных решений, так как разрывные функпин не лежат в У (их норма была бы неограниченной). Однако обобщенные решения с разрывными производными допустимы и при этом определении. Напомним, что пространство У было введено в Я 5,9.
Мы уже отмечали, что получение решения с начальными данными из некоторого другого пространства Ф описывалось в ~ 5 действием некоторого ограниченного оператора )с (Фе-+. У). Пополнение пространств Ф, У и соответствующее расширение области действия оператора )т как раз и приводит к тому понятию обобщенного решения, которое мы постарались разъяснить в этом параграфе, исходя первоначально из некоторой другой точки зрения. Глава гг ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ $ 11. Интеграл энергии Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя неза.
вясимыми переменными в окрестности точки. Римановы инварианты. Неоднозначность их определения. Канонический вид — частный случай симметрической по Фридрихсу системы. Специальнан форма симметрической системы с постоянной матрицей коэффициентов при производных по х. Тождество «интеграл энергии» для гладких решений симметрических игиперболических систем. Пример: закон сохранения энергии для уравнений акустики. Интеграл энергии для волнового уравнения.
Лемма об интегральном неравенстве. Система и уравнений ',"-,+С вЂ” ',„"+Ри=1 для и неизвестных грункций и =-(и„и, ..., и,) с матрицами С=1сга )=!/см(х, !) //, Р =// г(сь1'=1с(м(х, 1) !! называется гиперболической, если все корни характеристического уравнения г(е1 // С вЂ” lгЕ !/ = = О (Š— единичная матрица) вещественны и различны.
Мы сейчас покажем, как такую систему можно привести к некоторому специальному каноническому виду. Рассмотрим собственный вектор г матрицы С, отвечающий собственному значению йн Он удовлетворяет системе уравнений (С вЂ” й,Е) г=О. Пусть элементы см(х, 1) матрицы С являются гладкими функциями координат и пусть ят — некратный корень характеристического уравнения. Собственный вектор г (х, 1) определяется в этом случае с точностью до произвольного множителя, являющегося функцией от х и Е Покажем, что можно предполагать вектор г(х, 1) имеющим гладкие составляющие.
Начнем с изучения гладкости корня ят(х, 1) характеристического полинома бе11С вЂ” яЕ1=( — 1)" 1яч+р,(х, 1)й"-'+р,(х, 1) яч-в+ . + р. (х, 1)1=Р(й, х, 1). Его коэффициенты р,(х, 1), р,(х, 1), ..., р„(х, 1) представляют собой полиномы от элементов сза(х, 1) и, следовательно, будут 14! $ !» ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ гладкими.
Выберем некоторую точку (х„(,). Корень й, является некратным и, следовательно, дР (ь„х,, го) дь По теореме о неявной функции у точки (х„(0) существует окрестность, в которой однозначно определена непрерывная функция й=у,(х, 1), удовлетворяющая условиям Р ()г, х, 1) = О, Iг (хо, (0) = (г1(хо, (0). Эта функция будет иметь ту же гладкость, что и коэффициенты рг(х, (), т.
е, ту же, что и элементы матрицы С. В частдь д)г ности производные —, — вычисляются по формулам дх' дг д!г Р,-бь х, г) дх Рг(lг, х, г) дх РА()г, х, г) ' д) РА(А, х, г)' Аналогично могут быть выписаны формулы и для производных более высокого порядка. Так как точка (х„ (0) может быть выбрана произвольно, а через й, может быть обозначен любой корень характеристи. ческого уравнения, нами доказана. Л е м м а.
Если в некоторой области 6 плоскости х, ( все элелгенты матрицы С являются гладкими функциями координат и если все ее характеристические корни в этой области некратны, то сами эти корни будут гладкими функциями х, Е Теперь постараемся построить гладкий собственный вектор г матрицы С вЂ” яЕ. Мы проведем его построение в некоторой окрестности произвольной точки (х„(,). В точке (х„, (0) ранг матрицы С вЂ” йЕ равен п — 1. Значит, существует минор этой матрицы, полученный вычеркиванием одной строки (Г-й) и одного столбца (д-го), такой, что его определитель в точке (х„(,) не равен нулю.
По непрерывности он отличен от нуля и в некоторой окрестности этой точки. Только эту окрестность мы будем рассматривать. Чтобы определить вектор г=(г„г„..., г„), положим г, =1 и рассмотрим все уравнения системы (С вЂ” нЕ) г=О, кроме Г-го. Если вектор г будет удовлетворять этим и — 1 уравнениям, то он будет удовлетворять г-му, линейно с ними зависимому. ДЛЯ а — 1 НеизвестНых г1, го, ..., г 1, 20;1, ..., г„Имеем сИ. стему и — 1 уравнений с неравным нулю определителем.
Ее можно решить по формулам Крамера. Из этих формул очевидно, что все компоненты г, (х, (), г, (х, (), ..., г, (х, (), г (х, () = 1, г „(х, (), ..., г„(х, 1) будут внутри окрестности гладкйми функциями от х, (. Ясно, что если все г,(х, () умножить на одну и ту же гладкую 142 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. И 211 212 ° ° 212 2Т 2„2„... 2,„~ гл1 222 ... глл,/ являются гладкими функциями х, й Столбцы этой матрицы мы составили из собственных векторов так, что г,рз 1 21, С(* -1 ~п ).
р / (2пр ~2лр Иными словами, имеет место тождество А,гп А2212 СЛ вЂ” А!221 й2222 А,гпл А!22„ Ап21п ~2222 Алслл 2И 212 ... 212 Й1 О 1-22. 2м 2лп " 2пл О Ап1 Матрица г"., состоящая из линейно независимых собственных век- торов, отвечающих различным собственным значениям, невырож- дена. Поэтому можно написать г- сл=к. р(х, 1) ~0, то мы опять получим гладкий собственный вектор. В частности, таким путем можно добиться того, чтобы компоненты е1(х, 1) собственного вектора были нормированы условием л Я г1!(х, 1) =1. Так нормированный собственный вектор опреде1= 1 лен однозначно с точностью до знака.
Только этот знак мешает нам воспользоваться теоремой Больцано — Вейерштрасса и, выбрав конечное покрытие окрестностями произвольной замкнутой подобласти, а затем склеив в их пересечениях знаки у г1(х, 1), построить собственный вектор гладкой функцией во всей замкнутой подобласти. На самом деле в случае односвязной области такое построение действительно можно провести. В двусвязной области оно может оказаться невозможным. Мы не будем на этом подробнее останавливаться и ограничимся построением гладкого собственного вектора лишь в некоторой окрестности точки (х„ !2).
Построив такие окрестности для всех собственных векторов, а затем взяв их пересечения, мы можем утверждать, что у точки (х„г,) существует некоторая окрестность, в которой элементы матрицы 143 ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 4 н! Это равенство означает, что подобное преобразование с матрицей Л приводит С к диагональному виду К. Этот факт известен из линейной алгебры. Мы провели подробно его вывод, чтобы показать возможность выбрать Я гладкой хотя бы в некоторой окрестности. Сейчас мы покажем, что если в некоторой области существует гладкая матрица Л такая, что Я-'СУ = К, то в этой области гиперболическая система ди ди — +С вЂ” „+Ри =~ д1 дх может быть приведена к некоторому каноническому виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
